10- A temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa de metal no plano x y é T(x, y)=x^{3}+x y graus. Suponha que a distância seja medida em centímetros. Qual a taxa na qual a temperatura varia com a distância (medida em graus por cm) se iniciarmos em no ponto (1,2) e movermos para a direita e paralelamente ao eixo x ?
(A) 5
(b) 4
(c) 3
(d) 2
(e) NRA

Passo 1

O enunciado dá a temperatura numa placa por T(x,y)=x^{3}+x y (graus), a distância é em centímetros, e pede a taxa de variação da temperatura (em graus por cm) se partirmos do ponto (1,2) e nos movermos para a direita, paralelamente ao eixo x.
Informações relevantes:
  • Função temperatura: T(x,y)=x^{3}+x y.
  • Ponto inicial: (1,2).
  • Direção do movimento: para a direita, paralela ao eixo x (vetor direção (1,0)).
  • O que se pede: a taxa de variação instantânea de T ao longo desse movimento, em graus por cm.

Passo 2

Ideia-chave (intuição útil na prova): quando uma função depende de duas variáveis x e y, a taxa de variação de T na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o derivada direcional, dada por produto escalar entre o gradiente de T e \mathbf{u}.
Definição importante:
\text{Se } \nabla T(x,y)=\bigl(T_x(x,y),\,T_y(x,y)\bigr),
então a derivada direcional de T na direção do vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}T(x,y)=\nabla T(x,y)\cdot\mathbf{u}.
Explicação simples: T_x mede quanto T muda por unidade de x mantendo y fixo; T_y mede quanto T muda por unidade de y mantendo x fixo. O gradiente junta essas informações; ao projetar o gradiente sobre a direção \mathbf{u} (produto escalar) obtemos a taxa na direção escolhida.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T. Lembra: ao derivar em relação a x trata-se y como constante; ao derivar em relação a y trata-se x como constante.
Derivada parcial em relação a x:
T_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+x y\bigr)=3x^{2}+y.
Derivada parcial em relação a y:
T_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+x y\bigr)=x.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,2):
T_x(1,2)=3\cdot1^{2}+2=3+2=5, \qquad T_y(1,2)=1.
Logo
\nabla T(1,2)=(5,\,1).

Passo 5

Determinar o vetor unitário na direção do movimento. Mover para a direita paralelo ao eixo x corresponde ao vetor direção (1,0). A norma de (1,0) é
\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1,
portanto o vetor já é unitário: \mathbf{u}=(1,0).

Passo 6

Calcular a derivada direcional (taxa procurada) como produto escalar:
D_{\mathbf{u}}T(1,2)=\nabla T(1,2)\cdot\mathbf{u}=(5,1)\cdot(1,0)=5\cdot1+1\cdot0=5.
Interpretação: a temperatura aumenta a uma taxa de 5 graus por centímetro ao mover-se para a direita a partir de (1,2).

Resposta

(A) 5

Exercícios relacionados