10- A temperatura em um ponto
sobre uma placa de metal no plano
é
graus. Suponha que a distância seja medida em centímetros. Qual a taxa na qual a temperatura varia com a distância (medida em graus por cm) se iniciarmos em no ponto
e movermos para a direita e paralelamente ao eixo
?
(A) 5
(b) 4
(c) 3
(d) 2
(e) NRA
(A) 5
(b) 4
(c) 3
(d) 2
(e) NRA
Passo 1
O enunciado dá a temperatura numa placa por
(graus), a distância é em centímetros, e pede a taxa de variação da temperatura (em graus por cm) se partirmos do ponto
e nos movermos para a direita, paralelamente ao eixo
.
Informações relevantes:
- Função temperatura:
. - Ponto inicial:
. - Direção do movimento: para a direita, paralela ao eixo
(vetor direção ). - O que se pede: a taxa de variação instantânea de
ao longo desse movimento, em graus por cm.
Passo 2
Ideia-chave (intuição útil na prova): quando uma função depende de duas variáveis
e
, a taxa de variação de
na direção de um vetor unitário
é o derivada direcional, dada por produto escalar entre o gradiente de
e
.
Definição importante:
então a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
é
Explicação simples:
mede quanto
muda por unidade de
mantendo
fixo;
mede quanto
muda por unidade de
mantendo
fixo. O gradiente junta essas informações; ao projetar o gradiente sobre a direção
(produto escalar) obtemos a taxa na direção escolhida.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Lembra: ao derivar em relação a
trata-se
como constante; ao derivar em relação a
trata-se
como constante.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
Logo
Passo 5
Determinar o vetor unitário na direção do movimento. Mover para a direita paralelo ao eixo
corresponde ao vetor direção
. A norma de
é
portanto o vetor já é unitário:
.
Passo 6
Calcular a derivada direcional (taxa procurada) como produto escalar:
Interpretação: a temperatura aumenta a uma taxa de
graus por centímetro ao mover-se para a direita a partir de
.
Resposta
(A)