6- Qual a distância entre os planos paralelos
e
? E) NRA a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede a distância entre os dois planos paralelos
e
Informações relevantes dadas:
- As duas equações têm os mesmos coeficientes para
: , , . - Escrevendo no formato geral
, os termos constantes são para o primeiro plano e para o segundo plano. - O enunciado apresenta alternativas: (a)
, (b) , (c) , (d) e (e) NRA (nenhuma das anteriores).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e sua derivação didática):
- A distância entre dois planos paralelos
e
pode ser obtida tomando um ponto qualquer
no primeiro plano e calculando a distância desse ponto ao segundo plano usando a fórmula da distância ponto-plano:
- Como
está no primeiro plano temos , ou seja . - Substituindo na expressão da distância obtemos
- Explicação das quantidades:
são as componentes do vetor normal ao plano; é o comprimento desse vetor normal, e a fórmula projeta a diferença entre as constantes ao longo da normal, dando a distância mínima entre os planos.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos nossos planos:
- Coeficientes:
, , . - Constantes:
, . - Calcula-se o denominador:
- Calcula-se o numerador:
- Portanto a distância é
Passo 4
Deixar o resultado numa forma mais “bonitinha” (racionalizar o denominador):
Agora comparar com as alternativas: as alternativas a–d têm fatores multiplicativos de
sendo, respectivamente,
,
,
e
. O nosso fator multiplicativo é
, que não coincide com nenhum desses valores. Logo nenhuma das alternativas (a) a (d) é correta.
Passo 5
Conclusão e dica rápida para a prova:
- Resultado final:
(ou ). - Dica prática: para planos paralelos basta usar diretamente
; isso economiza tempo em prova porque não é preciso encontrar pontos nem projetar manualmente.
Resposta
E) NRA