6- Qual a distância entre os planos paralelos x+y+z-1=0 e x+y+z+1=0 ? E) NRA a) \sqrt{3} b) \frac{\sqrt{3}}{3} c) \frac{\sqrt{3}}{2} d) \frac{\sqrt{3}}{4}

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os dois planos paralelos
x+y+z-1=0
e
x+y+z+1=0.
Informações relevantes dadas:
  • As duas equações têm os mesmos coeficientes para x,y,z: a=1, b=1, c=1.
  • Escrevendo no formato geral ax+by+cz+d=0, os termos constantes são d_1=-1 para o primeiro plano e d_2=1 para o segundo plano.
  • O enunciado apresenta alternativas: (a) \sqrt{3}, (b) \dfrac{\sqrt{3}}{3}, (c) \dfrac{\sqrt{3}}{2}, (d) \dfrac{\sqrt{3}}{4} e (e) NRA (nenhuma das anteriores).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e sua derivação didática):
  • A distância entre dois planos paralelos
ax+by+cz+d_1=0
e
ax+by+cz+d_2=0
pode ser obtida tomando um ponto qualquer P_1=(x_1,y_1,z_1) no primeiro plano e calculando a distância desse ponto ao segundo plano usando a fórmula da distância ponto-plano:
\text{dist}=\frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
  • Como P_1 está no primeiro plano temos a x_1 + b y_1 + c z_1 + d_1=0, ou seja a x_1 + b y_1 + c z_1 = -d_1.
  • Substituindo na expressão da distância obtemos
\text{dist}=\frac{|-d_1 + d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
  • Explicação das quantidades: a,b,c são as componentes do vetor normal ao plano; \sqrt{a^2+b^2+c^2} é o comprimento desse vetor normal, e a fórmula projeta a diferença entre as constantes d_1,d_2 ao longo da normal, dando a distância mínima entre os planos.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos nossos planos:
  • Coeficientes: a=1, b=1, c=1.
  • Constantes: d_1=-1, d_2=1.
  • Calcula-se o denominador:
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
  • Calcula-se o numerador:
|d_2-d_1|=|1-(-1)|=|2|=2.
  • Portanto a distância é
\text{dist}=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Deixar o resultado numa forma mais “bonitinha” (racionalizar o denominador):
\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{3}.
Agora comparar com as alternativas: as alternativas a–d têm fatores multiplicativos de \sqrt{3} sendo, respectivamente, 1, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{4}. O nosso fator multiplicativo é \tfrac{2}{3}, que não coincide com nenhum desses valores. Logo nenhuma das alternativas (a) a (d) é correta.

Passo 5

Conclusão e dica rápida para a prova:
  • Resultado final: \dfrac{2}{\sqrt{3}} (ou \dfrac{2\sqrt{3}}{3}).
  • Dica prática: para planos paralelos basta usar diretamente \text{dist}=\dfrac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}; isso economiza tempo em prova porque não é preciso encontrar pontos nem projetar manualmente.

Resposta

E) NRA

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