5- Considere as retas
e
com equações paramétricas
e
. Seja
o ponto de intersecção das retas
e defina
. Qual o valor
?
(B)
a)
c) 9
d) 12
e) NRA
(B)
a)
c) 9
d) 12
e) NRA
Passo 1
O enunciado dá duas retas com equações paramétricas e pede o módulo do vetor formado pelo ponto de interseção. Informações dadas:
- Reta
: . (Aqui é o parâmetro de .) - Reta
: . (No enunciado o mesmo símbolo aparece; para evitar confusão, trata-se do parâmetro de .) - Seja
o ponto de interseção de e . - Defina
.
O que se pede: calcular, o módulo (norma) do vetor .
Passo 2
Organização do cálculo: cada reta tem seu próprio parâmetro. Vou usar
para
e
para
. Assim:
-
-
No ponto de interseção as três coordenadas coincidem, então devemos resolver o sistema obtido igualando as coordenadas dee :
Passo 3
Primeira equação
. Simplificando:
Isso significa que, se houver interseção, os parâmetros são iguais. Podemos substituir
por
nas outras duas equações.
Passo 4
Substituindo
na segunda equação
obtemos:
Isolando
:
Passo 5
Com
(e
), calculamos as coordenadas do ponto de interseção usando as fórmulas de
(poderia usar
também, deve dar o mesmo):
Logo
.
Passo 6
Breve verificação (para garantir que o ponto também pertence a
): com
,
coincide com
. Está consistente — as retas se intersectam nesse ponto.
Passo 7
Agora a norma do vetor
é dada pela fórmula da norma euclidiana em
:
Substituindo os valores: