5- Considere as retas L_{1} e L_{2} com equações paramétricas L_{1}: x=2+t, y=2+3 t, z=3+t e L_{2}: x=2+t, y=3+4 t, z=4+2 t. Seja \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) o ponto de intersecção das retas L_{1} \mathrm{e} L_{2} e defina \mathbf{v}=\left\langle x_{0}, y_{0}, z_{0}\right\rangle. Qual o valor \|\mathbf{v}\| ?
(B) \sqrt{6}
a) \sqrt{3}
c) 9
d) 12
e) NRA

Passo 1

O enunciado dá duas retas com equações paramétricas e pede o módulo do vetor formado pelo ponto de interseção. Informações dadas:
  • Reta L_{1}: x=2+t,\; y=2+3t,\; z=3+t. (Aqui t é o parâmetro de L_{1}.)
  • Reta L_{2}: x=2+t,\; y=3+4t,\; z=4+2t. (No enunciado o mesmo símbolo t aparece; para evitar confusão, trata-se do parâmetro de L_{2}.)
  • Seja \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) o ponto de interseção de L_{1} e L_{2}.
  • Defina \mathbf{v}=\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle.
    O que se pede: calcular \|\mathbf{v}\|, o módulo (norma) do vetor \mathbf{v}.

Passo 2

Organização do cálculo: cada reta tem seu próprio parâmetro. Vou usar t para L_{1} e s para L_{2}. Assim:
  • L_{1}:\; x=2+t,\; y=2+3t,\; z=3+t.
  • L_{2}:\; x=2+s,\; y=3+4s,\; z=4+2s.
    No ponto de interseção as três coordenadas coincidem, então devemos resolver o sistema obtido igualando as coordenadas de L_{1} e L_{2}:
2+t=2+s,\qquad 2+3t=3+4s,\qquad 3+t=4+2s.

Passo 3

Primeira equação 2+t=2+s. Simplificando:
t=s.
Isso significa que, se houver interseção, os parâmetros são iguais. Podemos substituir s por t nas outras duas equações.

Passo 4

Substituindo s=t na segunda equação 2+3t=3+4s obtemos:
2+3t=3+4t.
Isolando t:
2+3t=3+4t \quad\Rightarrow\quad 2=3+t \quad\Rightarrow\quad t=-1.

Passo 5

Com t=-1 (e s=t), calculamos as coordenadas do ponto de interseção usando as fórmulas de L_{1} (poderia usar L_{2} também, deve dar o mesmo):
x_{0}=2+t=2+(-1)=1,
y_{0}=2+3t=2+3(-1)=2-3=-1,
z_{0}=3+t=3+(-1)=2.
Logo \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=(1,-1,2).

Passo 6

Breve verificação (para garantir que o ponto também pertence a L_{2}): com s=-1,
x=2+s=2-1=1,\quad y=3+4s=3+4(-1)=3-4=-1,\quad z=4+2s=4+2(-1)=4-2=2,
coincide com (1,-1,2). Está consistente — as retas se intersectam nesse ponto.

Passo 7

Agora a norma do vetor \mathbf{v}=\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle=\langle 1,-1,2\rangle é dada pela fórmula da norma euclidiana em \mathbb{R}^{3}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}.
Substituindo os valores:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.

Resposta

\sqrt{6}

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