2.10 Em uma tubulação circular, a medida de velocidade do escoamento, a uma distância da parede igual a
, em que R é o raio da seção, é igual a
90% da velocidade na linha central (velocidade máxima). Determine a relação entre a velocidade média
e a velocidade central
, e a rugosidade relativa da tubulação. Sugestcio: utilize o resultado do Exemplo 2.2 e as Equações 2.20 e 2.34.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas claras:
-
Informação dada:
- Em uma tubulação circular de raio
, a velocidade do escoamento a uma distância da parede igual a (ou seja, no raio ) é igual a da velocidade na linha central (velocidade máxima). - Em símbolos: a velocidade no ponto
satisfaz , onde é a velocidade central (velocidade máxima).
- Em uma tubulação circular de raio
-
O que se pede:
- Determinar a relação entre a velocidade média
e a velocidade central (ou seja, encontrar ). - Determinar a rugosidade relativa da tubulação
(onde é a rugosidade absoluta).
- Determinar a relação entre a velocidade média
Observação: vou usar duas fórmulas usuais citadas no enunciado-sugestão: a lei de potência do perfil de velocidade (Equação tipo 2.20) e a lei logarítmica (Equação tipo 2.34) para estimar a rugosidade. Vou explicitar cada uma quando usá‑la e listar as hipóteses feitas.
Passo 2
Modelo do perfil — lei de potência (explicação e uso para achar o expoente)
-
Fórmula: supondo o perfil de velocidade empregado pelo enunciado (Lei de potência), escrevemosonde:
-
é a velocidade local a uma distância radial do centro; -
é a velocidade na linha central (velocidade máxima); -
é um expoente empírico que determina “quão achatado” é o perfil (maior → perfil mais plano).
-
-
Usando a condição do enunciado em
: Dividindo pore resolvendo para : Calculemos numericamente:Comentário: este(~6{,}58) indica um perfil típico de turbulência moderada — mais plano que o parabólico do escoamento laminar.
Passo 3
Cálculo da velocidade média
a partir do perfil (integração e fórmula)
-
Definição da velocidade média em uma seção circular:
-
Substituindo o perfil de potência
e passando a variável adimensional : -
Avaliando a integral usando a identidade Beta (ou cálculo direto):PortantoAssim a relação geral é
-
Agora substituir
: Interpretação: a velocidade média é cerca deda velocidade central.
Passo 4
Estimativa da rugosidade relativa usando a lei logarítmica e a fricção (princípio e eliminação de constantes)
-
Para estimar a rugosidade relativa
vou usar a lei logarítmica da camada de velocidade (Equação do “muro” ou lei logarítmica), que em forma usual de engenharia pode ser escrita como onde:-
é a velocidade num ponto cuja distância à parede é ; -
é a velocidade de fricção ( ); -
é a constante de von Kármán (usualmente ); -
é a viscosidade cinemática (não precisaremos do seu valor explicitamente); -
é uma constante de integração que depende do regime (liso/áspero) e da normalização.
-
-
Vou aplicar a lei logarítmica em dois pontos da mesma reta vertical (centro e ponto a
— note que, para usar a variável distância à parede, temos ): - No centro:
. A velocidade é : - No ponto dado:
. A velocidade é :
- No centro:
-
Subtraindo as equações (o
cancela), obtemos: Logo -
Substituindo
e : -
Como já sabemos a razão
do Passo 3, obtemos
Passo 5
Determinação do fator de atrito
e uso da equação de Colebrook na aproximação totalmente rugosa
-
Relação padrão entre
, e o fator de atrito de Darcy : Substituindo, portanto -
Agora a equação de Colebrook (forma geral) relaciona
, razão de Reynolds e rugosidade relativa : Para estimar a rugosidade relativa de forma simples, adotamos a aproximação de regime totalmente rugoso (escolha típica quando a componente de Reynolds é desprezível), isto é, assumimossuficientemente grande para desprezar o termo . Nesse caso: Resolva para: -
Substituindo
e calculando:
Finalmente, a rugosidade relativa pedida é
. Como
,
- Observações importantes sobre esta estimativa:
- A obtenção de
acima usou a combinação da lei logarítmica (para eliminar a constante ), a relação e a aproximação de escoamento totalmente rugoso (termo com desprezado na equação de Colebrook). Se o escoamento não estiver em regime totalmente rugoso (ou seja, não for suficientemente alto), o termo com na equação de Colebrook não pode ser desprezado e dependerá de . Então o valor numérico dado é uma estimativa assumindo regime suficientemente turbulento e que a lei log já é válida até as posições usadas. - Usei
. Mudanças pequenas nesse valor mudam pouco o resultado.
- A obtenção de