2.10 Em uma tubulação circular, a medida de velocidade do escoamento, a uma distância da parede igual a 0,5 \mathrm{R}, em que R é o raio da seção, é igual a
90% da velocidade na linha central (velocidade máxima). Determine a relação entre a velocidade média V e a velocidade central v_{\text {mix }}, e a rugosidade relativa da tubulação. Sugestcio: utilize o resultado do Exemplo 2.2 e as Equações 2.20 e 2.34.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas claras:
  • Informação dada:
    • Em uma tubulação circular de raio R, a velocidade do escoamento a uma distância da parede igual a 0{,}5\,R (ou seja, no raio r=0{,}5R) é igual a 90\% da velocidade na linha central (velocidade máxima).
    • Em símbolos: a velocidade no ponto r=0{,}5R satisfaz \displaystyle v(r=0{,}5R)=0{,}9\,v_{\text{mix}}, onde \displaystyle v_{\text{mix}} é a velocidade central (velocidade máxima).
  • O que se pede:
    1. Determinar a relação entre a velocidade média \displaystyle V e a velocidade central \displaystyle v_{\text{mix}} (ou seja, encontrar \displaystyle \dfrac{V}{v_{\text{mix}}}).
    2. Determinar a rugosidade relativa da tubulação \displaystyle \dfrac{\varepsilon}{R} (onde \varepsilon é a rugosidade absoluta).
Observação: vou usar duas fórmulas usuais citadas no enunciado-sugestão: a lei de potência do perfil de velocidade (Equação tipo 2.20) e a lei logarítmica (Equação tipo 2.34) para estimar a rugosidade. Vou explicitar cada uma quando usá‑la e listar as hipóteses feitas.

Passo 2

Modelo do perfil — lei de potência (explicação e uso para achar o expoente)
  • Fórmula: supondo o perfil de velocidade empregado pelo enunciado (Lei de potência), escrevemos
    v(r)=v_{\text{mix}}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n},
    onde:
    • \displaystyle v(r) é a velocidade local a uma distância radial r do centro;
    • \displaystyle v_{\text{mix}} é a velocidade na linha central (velocidade máxima);
    • \displaystyle n é um expoente empírico que determina “quão achatado” é o perfil (maior n → perfil mais plano).
  • Usando a condição do enunciado em r=0{,}5R:
    v(0{,}5R)=v_{\text{mix}}\left(1-\frac{0{,}5R}{R}\right)^{1/n}=v_{\text{mix}}(0{,}5)^{1/n}=0{,}9\,v_{\text{mix}}.
    Dividindo por v_{\text{mix}} e resolvendo para n:
    (0{,}5)^{1/n}=0{,}9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n}=\frac{\ln(0{,}9)}{\ln(0{,}5)} \quad\Longrightarrow\quad n=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}.
    Calculemos numericamente:
    n=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}\approx\frac{-0{,}693147}{-0{,}1053605}\approx 6{,}5797.
    Comentário: este n (~6{,}58) indica um perfil típico de turbulência moderada — mais plano que o parabólico do escoamento laminar.

Passo 3

Cálculo da velocidade média \displaystyle V a partir do perfil (integração e fórmula)
  • Definição da velocidade média em uma seção circular:
    V=\frac{1}{\text{área}}\int_{\text{área}} v\,dA =\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} 2\pi r\,v(r)\,dr =\frac{2}{R^{2}}\int_{0}^{R} r\,v(r)\,dr.áá
  • Substituindo o perfil de potência \displaystyle v(r)=v_{\text{mix}}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n} e passando a variável adimensional s=\frac{r}{R}:
    V=\frac{2}{R^{2}}v_{\text{mix}}\int_{0}^{R} r\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n}dr =2v_{\text{mix}}\int_{0}^{1} s(1-s)^{1/n}ds.
  • Avaliando a integral usando a identidade Beta (ou cálculo direto):
    \int_{0}^{1} s(1-s)^{a}ds=\frac{1}{(a+1)(a+2)},\quad\text{aqui }a=\frac{1}{n}.
    Portanto
    V=2v_{\text{mix}}\cdot\frac{1}{\left(\frac{1}{n}+1\right)\left(\frac{1}{n}+2\right)} =2v_{\text{mix}}\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.
    Assim a relação geral é
    \boxed{\displaystyle \frac{V}{v_{\text{mix}}}=\frac{2n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.}
  • Agora substituir n\approx 6{,}5797:
    \frac{V}{v_{\text{mix}}}=\frac{2(6{,}5797)^{2}}{(6{,}5797+1)(2\cdot6{,}5797+1)} \approx 0{,}8060.
    Interpretação: a velocidade média é cerca de 80{,}6\% da velocidade central.

Passo 4

Estimativa da rugosidade relativa usando a lei logarítmica e a fricção (princípio e eliminação de constantes)
  • Para estimar a rugosidade relativa \varepsilon/R vou usar a lei logarítmica da camada de velocidade (Equação do “muro” ou lei logarítmica), que em forma usual de engenharia pode ser escrita como
    u(y)=\frac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\bigl(y\,u_{*}/\nu\bigr)+B,
    onde:
    • u(y) é a velocidade num ponto cuja distância à parede é y;
    • u_{*} é a velocidade de fricção ( u_{*}=\sqrt{\tau_{w}/\rho});
    • \kappa é a constante de von Kármán (usualmente \kappa\approx 0{,}41);
    • \nu é a viscosidade cinemática (não precisaremos do seu valor explicitamente);
    • B é uma constante de integração que depende do regime (liso/áspero) e da normalização.
  • Vou aplicar a lei logarítmica em dois pontos da mesma reta vertical (centro e ponto a r=0{,}5R — note que, para usar a variável y distância à parede, temos y=R-r):
    • No centro: r=0\Rightarrow y=R. A velocidade é v_{\text{mix}}: v_{\text{mix}}=\frac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\bigl(R\,u_{*}/\nu\bigr)+B.
    • No ponto dado: r=0{,}5R\Rightarrow y=R-0{,}5R=0{,}5R. A velocidade é 0{,}9\,v_{\text{mix}}: 0{,}9\,v_{\text{mix}}=\frac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\bigl(0{,}5R\,u_{*}/\nu\bigr)+B.
  • Subtraindo as equações (o B cancela), obtemos:
    v_{\text{mix}}-0{,}9\,v_{\text{mix}}=0{,}1\,v_{\text{mix}} =\frac{u_{*}}{\kappa}\Bigl[\ln(R\,u_{*}/\nu)-\ln(0{,}5R\,u_{*}/\nu)\Bigr] =\frac{u_{*}}{\kappa}\ln 2.
    Logo
    0{,}1\,v_{\text{mix}}=\frac{u_{*}}{\kappa}\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u_{*}}{v_{\text{mix}}}=\frac{0{,}1\,\kappa}{\ln 2}.
  • Substituindo \kappa=0{,}41 e \ln 2\approx 0{,}693147:
    \frac{u_{*}}{v_{\text{mix}}}\approx\frac{0{,}1\cdot 0{,}41}{0{,}693147}\approx 0{,}059165.
  • Como já sabemos a razão \displaystyle \dfrac{V}{v_{\text{mix}}}\approx 0{,}8060 do Passo 3, obtemos
    \frac{u_{*}}{V}=\frac{u_{*}}{v_{\text{mix}}}\cdot\frac{v_{\text{mix}}}{V} \approx 0{,}059165\cdot\frac{1}{0{,}8060}\approx 0{,}07339.

Passo 5

Determinação do fator de atrito f e uso da equação de Colebrook na aproximação totalmente rugosa
  • Relação padrão entre u_{*}, \;V e o fator de atrito de Darcy f:
    u_{*}=V\sqrt{\frac{f}{8}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{f}{8}}=\frac{u_{*}}{V}.
    Substituindo \displaystyle \frac{u_{*}}{V}\approx 0{,}07339,
    \sqrt{\frac{f}{8}}\approx 0{,}07339 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{f}\approx 0{,}07339\sqrt{8}\approx 0{,}20754,
    portanto
    f\approx (0{,}20754)^{2}\approx 0{,}04306.
  • Agora a equação de Colebrook (forma geral) relaciona f, razão de Reynolds \mathrm{Re} e rugosidade relativa \varepsilon/D:
    \frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
    Para estimar a rugosidade relativa de forma simples, adotamos a aproximação de regime totalmente rugoso (escolha típica quando a componente de Reynolds é desprezível), isto é, assumimos \mathrm{Re} suficientemente grande para desprezar o termo \dfrac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}. Nesse caso:
    \frac{1}{\sqrt{f}}\approx -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right).
    Resolva para \varepsilon/D:
    \log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{f}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\varepsilon}{D}=3{,}7\cdot 10^{-1/(2\sqrt{f})}.
  • Substituindo f\approx 0{,}04306 e calculando:
    \sqrt{f}\approx 0{,}20754\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2\sqrt{f}}\approx \frac{1}{0{,}41508}\approx 2{,}4097,
\frac{\varepsilon}{D}=3{,}7\cdot 10^{-2{,}4097}\approx 3{,}7\cdot 3{,}890\times 10^{-3}\approx 0{,}014392.
Finalmente, a rugosidade relativa pedida é \varepsilon/R. Como D=2R,
\frac{\varepsilon}{R}=2\frac{\varepsilon}{D}\approx 2\cdot 0{,}014392\approx 0{,}02878\\ (\text{adimensional}).
  • Observações importantes sobre esta estimativa:
    • A obtenção de \varepsilon/R acima usou a combinação da lei logarítmica (para eliminar a constante B), a relação u_{*}=V\sqrt{f/8} e a aproximação de escoamento totalmente rugoso (termo com \mathrm{Re} desprezado na equação de Colebrook). Se o escoamento não estiver em regime totalmente rugoso (ou seja, \mathrm{Re} não for suficientemente alto), o termo com \mathrm{Re} na equação de Colebrook não pode ser desprezado e \varepsilon/R dependerá de \mathrm{Re}. Então o valor numérico dado é uma estimativa assumindo regime suficientemente turbulento e que a lei log já é válida até as posições usadas.
    • Usei \kappa=0{,}41. Mudanças pequenas nesse valor mudam pouco o resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{V}{v_{\text{mix}}}\approx 0{,}8060.
\displaystyle \frac{\varepsilon}{R}\approx 0{,}0288 (estimativa na aproximação totalmente rugosa).

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