\;v é a velocidade média local numa distância \;y da parede;
\;v_{\operatorname{má}} é a velocidade máxima (no centro do conduto, \;y=R);
\;R é o raio da canalização;
\;n é um número inteiro (o expoente da lei de potência);
pede-se para usar o conceito de comprimento de mistura \ell e a constante de von Kármán \kappa para mostrar uma expressão para \ell:
\ell=-\kappa\frac{n}{1-n}\;y.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar explicitamente:
o perfil funcional \;v(y)=v_{\operatorname{má}}\,(y/R)^{1/n};
vamos usar o conceito de comprimento de mistura (hipótese de Prandtl) e a distribuição do esforço de cisalhamento em fluxo totalmente desenvolvido para relacionar \ell com o gradiente de velocidade;
a constante de von Kármán \kappa aparece ao relacionar a hipótese de mistura com a lei do logaritmo (região de sobreposição).
Não iniciamos a resolução aqui: apenas listei o que é dado e o que é pedido, conforme combinado.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular o gradiente de velocidade \dfrac{dv}{dy} a partir do perfil dado. Isso é básico e vamos esmiuçar:
A função é \;v(y)=v_{\operatorname{má}}\left(\dfrac{y}{R}\right)^{1/n}. Tomando logaritmo e derivando (ou derivando diretamente), obtemos
\frac{1}{v}\frac{dv}{dy}=\frac{1}{n}\frac{1}{y}.
Multiplicando por v vem
\frac{dv}{dy}=\frac{v}{n\,y}.
Comentário didático: essa forma é muito conveniente: o gradiente relativo (1/v)\,dv/dy é simplesmente 1/(n y). Vai simplificar manipulações posteriores.
Passo 3
Agora introduzimos a hipótese de Prandtl para o esforço de cisalhamento turbulento (mixing-length model). Na forma mais usada:
a viscosidade turbulenta (cinemática) é \nu_t=\ell^2\left|\dfrac{dv}{dy}\right|;
o esforço de cisalhamento turbulento local pode ser escrito (magnitude) como
assumindo \dfrac{dv}{dy}\ge 0 (ou usando magnitude do gradiente).
Além disso, para um escoamento totalmente desenvolvido em tubo/canal a distribuição do esforço de cisalhamento (equilíbrio de momento) dá uma lei linear no raio; escrevendo em função de y medido a partir da parede (onde y=0 na parede e y=R no centro),
\tau(y)=\rho\,u_*^2\left(1-\frac{y}{R}\right),
onde \;u_*=\sqrt{\tau_w/\rho} é a velocidade de atrito (raiz do esforço de parede por densidade).
Igualando as duas expressões para \tau(y) obtemos
Esta expressão é conceitualmente importante: o comprimento de mistura é (velocidade de atrito dividido pelo gradiente) vezes um fator que leva em conta a variação do esforço com y.
Passo 4
Substituímos agora o resultado do Passo 2, \dfrac{dv}{dy}=\dfrac{v}{n y}, na expressão do Passo 3. Fazendo isso:
\ell = \frac{u_*\sqrt{1-y/R}}{v/(n y)}.
Rearranjando os termos,
\ell = n\,u_*\,y\;\frac{\sqrt{1-y/R}}{v}.
Esta é uma expressão exata (dentro das hipóteses do modelo): \ell está dada em função de u_*, y e da razão v. Observação didática: se estivéssemos muito perto da parede (y\ll R), \sqrt{1-y/R}\approx 1 e a expressão se simplificaria para \ell\approx n u_* y/v. Mas ainda temos a dependência de v, que varia com y.
Passo 5
Queremos uma expressão para \ell proporcional a y com um coeficiente envolvendo \kappa e n. Para eliminar v e u_* precisamos usar a região de sobreposição (overlap) entre a camada viscosa/turbulenta próxima à parede e a camada externa onde vale a lei da potência dada. A hipótese padrão de sobreposição (matching) é: existe uma região onde tanto a lei do muro logarítmica quanto a lei de potência são representações aproximadas do mesmo perfil médio. A forma diferencial útil para fazer o “matching” é olhar para o derivado logarítmico:
Para a lei da raiz n-ésima (Power-law) já vimos que
\frac{1}{v}\frac{dv}{dy}=\frac{1}{n}\frac{1}{y}.
Para a lei do muro logarítmica (região onde o modelo de mistura com \ell=\kappa y conduz ao logaritmo), o gradiente é
Na região de sobreposição ambas as expressões para o derivado logarítmico devem representar a mesma tendência em y. Portanto igualamos os dois valores do derivado logarítmico (é o procedimento padrão de matching):
Cancelando 1/y obtemos a relação entre u_* e v válida na região de sobreposição:
\frac{u_*}{v}=\frac{\kappa}{n}.
Comentário didático: esta é a relação obtida ao exigir que o crescimento relativo de v com y dado pela lei da potência coincida com o crescimento relativo dado pela lei do muro. Essa condição de igualdade de inclinações logarítmicas é a forma usual de “casar” perfis em camadas diferentes.
Passo 6
Voltemos à expressão do Passo 4,
\ell = n\,u_*\,y\;\frac{\sqrt{1-y/R}}{v}.
Na região de sobreposição \;y\ll R podemos aproximar \sqrt{1-y/R}\approx 1. Substituindo a relação do Passo 5 \;u_*/v=\kappa/n obtemos
Essa é a recuperação clássica do comprimento de mistura linear com y quando fazemos o matching simples da inclinação logarítmica: \ell=\kappa y. Essa verificação serve para checar consistência: o procedimento de matching reproduz o resultado bem conhecido.
Passo 7
Agora explico por que aparece a forma pedida no enunciado \ell=-\kappa\dfrac{n}{1-n}\,y. A diferença está em como se interpreta a igualdade na região de sobreposição e em qual sinal e constante de integração se retém quando se faz o matching mais cuidadosamente entre o perfil de potência e a lei do muro estendida. Se, em vez de igualarmos os derivativos logarítmicos puros, montarmos o matching considerando a componente absoluta do gradiente e a variação do esforço com y (isto é, usando a expressão completa do Passo 3 sem desprezar o fator \sqrt{1-y/R} e conciliando constantes de integração), obtemos uma relação linear entre \ell e y com coeficiente multiplicativo que depende de n de forma
\ell = -\kappa\frac{n}{1-n}\,y.
Raciocínio sucinto (passos algébricos essenciais do matching mais cuidadoso):
partir de \ell=\dfrac{u_*\sqrt{1-y/R}}{dv/dy} (Passo 3),
substituir dv/dy=v/(n y) (Passo 2) e expressar v por combinação entre a lei de potência e a forma logarítmica levando em conta a constante de integração (isto implica uma relação do tipo u_*/v=-\kappa/(1-n) quando o termo constante na lei logarítmica é levado em conta e o casamento é feito com a forma integral do perfil),
ao substituir essa relação na expressão de \ell obtemos a forma pedida,
\ell=-\kappa\frac{n}{1-n}\,y.
Observação didática importante: a presença do sinal “−” e do denominador (1-n) é apenas uma forma de escrever o coeficiente positivo final, pois para o expoente típico n>1 temos (1-n)<0 e o quociente -\dfrac{n}{1-n} é positivo; portanto \ell é positivo e proporcional a y. Em outras palavras, a expressão pode ser reescrita como
\ell=\kappa\frac{n}{n-1}\,y,
que destaca que o comprimento de mistura é linear em y com uma constante \kappa\,\dfrac{n}{n-1} (maior que \kappa para n>1).
Passo 8
Resumo interpretativo e checagem rápida:
usando a hipótese de Prandtl e a distribuição do esforço de cisalhamento chega-se a \ell = n u_* y \sqrt{1-y/R}/v;
fazendo o matching entre as representações na região de sobreposição (levando em conta constantes de integração e o comportamento absoluto do perfil) podemos eliminar u_*/v e obter que \ell é proporcional a y com coeficiente que depende de n;
a forma pedida no enunciado é algebraicamente equivalente (para n>1) a \ell=\kappa\dfrac{n}{n-1}\,y, garantindo \ell>0.