2.3 A fim de determinar a tensão de atrito exercida por um fluido sobre a parede de um tubo rugoso, as velocidades v1 e v2 são medidas na região turbulenta, nas distâncias yı e yz da parede do tubo. Mostre que a tensão de atríto é dada por:
O enunciado dá que duas velocidades são medidas em regiões turbulentas próximas à parede do tubo: v_{1} medida a uma distância \;y_{1}\; da parede e v_{2} medida a uma distância \;y_{2}\; da parede. Pede-se demonstrar que a tensão de atrito na parede \tau_{0} é dada por
v_{1},\;v_{2},\;y_{1},\;y_{2}\\ \text{(medidas na região turbulenta)},
e o símbolo p aparece multiplicando a expressão final (vou interpretar p como a densidade do fluido, isto é, p=\rho, pois é o uso habitual em problemas de tensão de atrito). A resolução começará a seguir.
Passo 2
Apresentando a lei empírica do perfil logarítmico (lei do log) na região turbulenta próxima à parede: existe uma velocidade característica chamada velocidade de atrito u_{*} (também chamada de velocidade de fricção), definida por
u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{0}}{p}}.
Explicação: \tau_{0} é a tensão de cisalhamento na parede (força por unidade de área) e p é a densidade do fluido; a combinação u_{*} tem dimensões de velocidade e é usada para não-dimensionalizar o perfil. Empiricamente, no “log layer” (camada logarítmica) o perfil médio de velocidade em função da distância y da parede satisfaz
\kappa é a constante de von Kármán (valor empírico \kappa\approx0,4);
y_{0} é uma referência de escala relacionada à rugosidade (um deslocamento vertical);
C é uma constante aditiva que depende de condições de rugosidade/empilhamento.
Observação importante: como y_{0} e C são as mesmas para ambos os pontos medidos (assumindo mesma região e mesma parede), se fizermos a diferença v_{1}-v_{2} esses termos cancelam — isso é o truque que nos permite eliminar incógnitas empíricas.
Passo 3
Aplicando a lei logarítmica aos dois pontos y_{1} e y_{2} e subtraindo, obtemos:
Explicação desta linha: escrevemos v_{1}=\dfrac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\left(\dfrac{y_{1}}{y_{0}}\right)+C e v_{2}=\dfrac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\left(\dfrac{y_{2}}{y_{0}}\right)+C. Subtraindo, C e y_{0} desaparecem, sobrando a expressão acima.
Explicação: é só multiplicar ambos os lados por \kappa e dividir por \ln(y_{1}/y_{2}). Esse u_{*} indica quão grande é a velocidade característica associada ao atrito da parede, obtida a partir da diferença de velocidades medidas.
Passo 5
Agora substituímos a definição de u_{*} em termos de \tau_{0}. Lembrando que
u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{0}}{p}},
substituímos e elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
Usamos o valor empírico da constante de von Kármán \kappa. Tomando \kappa=0,4 temos 1/\kappa=2,5 e \kappa^{2}=(0,4)^{2}=0,16. Podemos reescrever \kappa^{2} como 1/(2,5)^{2}. Substituindo isso em \tau_{0} dá:
é válida quando v_{1} e v_{2} foram medidas dentro da camada logarítmica turbulenta (ou seja, suficientemente afastadas da subcamada viscosa e não tão longe a ponto de perturbações externas dominarem), e a constante \kappa\approx0,4 vale para fluxos turbulentos comuns. Se essas condições não forem respeitadas, o perfil pode não seguir exatamente a lei do log e a fórmula será apenas aproximada.