2.3 A fim de determinar a tensão de atrito exercida por um fluido sobre a parede de um tubo rugoso, as velocidades v1 e v2 são medidas na região turbulenta, nas distâncias yı e yz da parede do tubo. Mostre que a tensão de atríto é dada por:
\tau_{0}=p\left[\frac{v_{1}-v_{2}}{2,5 \ln \left(y_{1} / y_{2}\right)}\right]^{2}

Passo 1

O enunciado dá que duas velocidades são medidas em regiões turbulentas próximas à parede do tubo: v_{1} medida a uma distância \;y_{1}\; da parede e v_{2} medida a uma distância \;y_{2}\; da parede. Pede-se demonstrar que a tensão de atrito na parede \tau_{0} é dada por
\tau_{0}=p\left[\frac{v_{1}-v_{2}}{2,5 \ln \left(y_{1} / y_{2}\right)}\right]^{2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
v_{1},\;v_{2},\;y_{1},\;y_{2}\\ \text{(medidas na região turbulenta)},ã
e o símbolo p aparece multiplicando a expressão final (vou interpretar p como a densidade do fluido, isto é, p=\rho, pois é o uso habitual em problemas de tensão de atrito). A resolução começará a seguir.

Passo 2

Apresentando a lei empírica do perfil logarítmico (lei do log) na região turbulenta próxima à parede: existe uma velocidade característica chamada velocidade de atrito u_{*} (também chamada de velocidade de fricção), definida por
u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{0}}{p}}.
Explicação: \tau_{0} é a tensão de cisalhamento na parede (força por unidade de área) e p é a densidade do fluido; a combinação u_{*} tem dimensões de velocidade e é usada para não-dimensionalizar o perfil. Empiricamente, no “log layer” (camada logarítmica) o perfil médio de velocidade em função da distância y da parede satisfaz
v(y)=\frac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\left(\frac{y}{y_{0}}\right)+C,
onde:
  • \kappa é a constante de von Kármán (valor empírico \kappa\approx0,4);
  • y_{0} é uma referência de escala relacionada à rugosidade (um deslocamento vertical);
  • C é uma constante aditiva que depende de condições de rugosidade/empilhamento.
Observação importante: como y_{0} e C são as mesmas para ambos os pontos medidos (assumindo mesma região e mesma parede), se fizermos a diferença v_{1}-v_{2} esses termos cancelam — isso é o truque que nos permite eliminar incógnitas empíricas.

Passo 3

Aplicando a lei logarítmica aos dois pontos y_{1} e y_{2} e subtraindo, obtemos:
v_{1}-v_{2}=\frac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\left(\frac{y_{1}}{y_{2}}\right).
Explicação desta linha: escrevemos v_{1}=\dfrac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\left(\dfrac{y_{1}}{y_{0}}\right)+C e v_{2}=\dfrac{u_{*}}{\kappa}\ln\!\left(\dfrac{y_{2}}{y_{0}}\right)+C. Subtraindo, C e y_{0} desaparecem, sobrando a expressão acima.

Passo 4

Isolamos u_{*} a partir da diferença:
u_{*}=\kappa\;\frac{v_{1}-v_{2}}{\ln\!\left(\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\right)}.
Explicação: é só multiplicar ambos os lados por \kappa e dividir por \ln(y_{1}/y_{2}). Esse u_{*} indica quão grande é a velocidade característica associada ao atrito da parede, obtida a partir da diferença de velocidades medidas.

Passo 5

Agora substituímos a definição de u_{*} em termos de \tau_{0}. Lembrando que
u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{0}}{p}},
substituímos e elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
\frac{\tau_{0}}{p}=u_{*}^{2}=\left[\kappa\;\frac{v_{1}-v_{2}}{\ln\!\left(\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\right)}\right]^{2}.
Multiplicando ambos os lados por p obtemos
\tau_{0}=p\,\kappa^{2}\left[\frac{v_{1}-v_{2}}{\ln\!\left(\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\right)}\right]^{2}.

Passo 6

Usamos o valor empírico da constante de von Kármán \kappa. Tomando \kappa=0,4 temos 1/\kappa=2,5 e \kappa^{2}=(0,4)^{2}=0,16. Podemos reescrever \kappa^{2} como 1/(2,5)^{2}. Substituindo isso em \tau_{0} dá:
\tau_{0}=p\left[\frac{v_{1}-v_{2}}{(1/\kappa)\,\ln\!\left(\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\right)}\right]^{2} = p\left[\frac{v_{1}-v_{2}}{2,5\;\ln\!\left(\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\right)}\right]^{2}.
Aqui apenas usamos a identidade \kappa=1/2,5 para colocar o fator 2,5 no denominador, exatamente como pedido.

Passo 7

Interpretação final e condições de validade (importante para a prova): a fórmula
\tau_{0}=p\left[\frac{v_{1}-v_{2}}{2,5\;\ln\!\left(\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\right)}\right]^{2}
é válida quando v_{1} e v_{2} foram medidas dentro da camada logarítmica turbulenta (ou seja, suficientemente afastadas da subcamada viscosa e não tão longe a ponto de perturbações externas dominarem), e a constante \kappa\approx0,4 vale para fluxos turbulentos comuns. Se essas condições não forem respeitadas, o perfil pode não seguir exatamente a lei do log e a fórmula será apenas aproximada.

Resposta

\tau_{0}=p\left[\frac{v_{1}-v_{2}}{2,5 \ln \left(y_{1} / y_{2}\right)}\right]^{2}

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