100 Kmol de uma carga contendo 30 \% molar de hexano e 70 \% de octano devem ser destilados em uma coluna consistindo de um refervedor, um prato e um condensador parcial. A alimentação, líquido no seu ponto de bolha, é introduzida no refervedor, do qual o resíduo é continuamente retirado. O refluxo retorna ao prato. O destilado (vapor) contém 80 \% de hexano e a razão de refluxo líquido de topo para o destilado é 2,0 . Se \alpha=\mathrm{k}_{\text {hexano }} / \mathrm{k}_{\text {octano }}=6,0 calcule analiticamente e graficamente a composição do fundo e a vazão de destilado.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado\n
  • Pedido: calcular a composição em hexano do fundo (fração molar do componente volátil no produto de fundo) e a vazão de destilado (em kmol).\n
  • Dados fornecidos:
    • carga inicial (alimentação total): F=100\\ \text{kmol}.
    • fração molar inicial de hexano na carga: z_F=0{,}30.
    • a coluna tem um reboiler, um prato (um estágio de equilíbrio) e um condensador parcial.
    • a alimentação é líquida no ponto de bolha e é introduzida no reboiler (logo, não altera massa total além de entrar como líquido).
    • o destilado (vapor) tem 80\% de hexano, isto é y_D=0{,}80.
    • razão de refluxo R=\dfrac{L}{D}=2{,}0.
    • volatilidade relativa constante: \alpha=\dfrac{k_{\text{hex}}}{k_{\text{oct}}}=6{,}0.\n
      Observações úteis aqui (aqui só enumero o que há no enunciado; a resolução começa de fato no próximo passo).

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (aula rápida e direta, sem pular etapas)\n
  1. Balanços gerais\n
  • Balanço de massa total em regime estacionário (coluna operando continuamente): \;F = D + B\; onde D é vazão de destilado e B a vazão do fundo.\n
  • Balanço do componente hexano: \;F\,z_F = D\,y_D + B\,x_B\; onde x_B é a fração molar de hexano no fundo (produto do reboiler) e y_D é a fração molar de hexano no vapor que sai para o condensador (aqui dada como 0{,}80).\n\n
  1. Curva de equilíbrio (relativa volatilidade constante)\n
  • Para uma mistura binária ideal com volatilidade relativa \alpha constante, a relação equilíbrio vapor–líquido pode ser escrita (forma conveniente) como:
y = \frac{\alpha\,x}{1 + (\alpha - 1)\,x}
onde x é a fração molar de hexano na fase líquida e y a fração molar de hexano na fase vapor.\n
Explicação curta: \alpha = razão das pressões de vapor relativas; essa fórmula vem de y = \dfrac{\alpha x}{1 + (\alpha-1)x}, que é a forma direta para binária com idealidade.\n\n
3) Reta de operação (secção de retificação) — derivação simples\n
  • No trecho acima do prato (entre prato e condensador parcial), balanceando o vapor e liquido sobre essa secção, obtém-se a reta de operação usual:
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{y_D}{R+1},
onde R=L/D é a razão de refluxo e y_D é a composição em vapor que chega ao condensador (aqui 0{,}80).\n
Breve justificativa: pensar num balanço ao redor do topo (condensador + retorno de refluxo) leva a essa forma; a inclinação é \dfrac{R}{R+1} e o intercepto é \dfrac{y_D}{R+1}.\n\n
4) Para uma coluna com um único prato (um estágio) e um reboiler: ponto de operação\n
  • O ponto de operação do prato (fração líquida no prato, que vai para o reboiler, e fração de vapor ascendente) é dado pela interseção da reta de operação da secção de retificação com a curva de equilíbrio. Nesse caso, a composição líquida no prato é a composição do fundo x_B (porque só há um prato e o líquido deste retorna ao reboiler), então resolveremos a igualdade entre equilíbrio e reta de operação para obter x_B.\n
    Portanto, vamos igualar:
\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x} \;=\; \frac{R}{R+1}\,x + \frac{y_D}{R+1}.

Passo 3

Aplicando os dados numéricos nas equações e montando a equação a resolver\n
  • Substitua \alpha=6, R=2 e y_D=0{,}80=\dfrac{4}{5}.\n
    A curva de equilíbrio fica:
y = \frac{6x}{1+5x}.
A reta de operação fica (usar R/(R+1)=2/3 e 1/(R+1)=1/3):
y = \frac{2}{3}x + \frac{y_D}{3} = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5} = \frac{2}{3}x + \frac{4}{15}.
Igualando equilíbrio e reta:
\frac{6x}{1+5x} \;=\; \frac{2}{3}x + \frac{4}{15}.

Passo 4

Resolver a equação algébrica passo a passo (faça na prova do mesmo jeito)\n
  1. Multiplicar ambos os lados por (1+5x):
6x = \Big(\frac{2}{3}x + \frac{4}{15}\Big)(1+5x).
  1. Expandir o lado direito:
6x = \frac{2}{3}x(1+5x) + \frac{4}{15}(1+5x).
Calcule termo a termo:
\frac{2}{3}x(1+5x) = \frac{2}{3}x + \frac{10}{3}x^2, \quad \frac{4}{15}(1+5x) = \frac{4}{15} + \frac{20}{15}x = \frac{4}{15} + \frac{4}{3}x.
Somando:
\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}x = 2x,
logo o lado direito é
\frac{10}{3}x^2 + 2x + \frac{4}{15}.
  1. Então:
6x = \frac{10}{3}x^2 + 2x + \frac{4}{15}.
  1. Colocar em forma polinomial (multiplicar por 15 para eliminar denominadores):
90x = 50x^2 + 30x + 4.
  1. Rearranjar:
0 = 50x^2 + 30x + 4 - 90x = 50x^2 - 60x + 4.
  1. Dividir por 2 para simplificar:
25x^2 - 30x + 2 = 0.
  1. Resolver a quadrática com a fórmula:
x = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4\cdot25\cdot2}}{2\cdot25} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 200}}{50} = \frac{30 \pm \sqrt{700}}{50}.
  1. Calcular \sqrt{700} = 10\sqrt{7}\approx 26{,}458. Assim as raízes são
x_1 = \frac{30 + 26{,}458}{50}\approx 1{,}129\quad(\text{não física, }x>1)ãí
x_2 = \frac{30 - 26{,}458}{50}\approx 0{,}07084.
Escolhemos a raiz física (entre 0 e 1):
\boxed{x_B \approx 0{,}07084.}
Interpretação: o fundo contém cerca de 7{,}084\% em mol de hexano.

Passo 5

Calcular a vazão de destilado usando balanços (passo a passo)\n
  • Balanço de massa total: F = D + B \Rightarrow B = F - D.\n
  • Balanço do componente hexano: F z_F = D y_D + B x_B.\n
    Substitua F=100, z_F=0{,}30, y_D=0{,}80, x_B=0{,}07084 e B=100-D:
100\cdot 0{,}30 = D\cdot 0{,}80 + (100 - D)\cdot 0{,}07084.
Calcule o lado esquerdo e expanda o direito:
30 = 0{,}80D + 7{,}084 - 0{,}07084D.
Combine termos em D:
30 - 7{,}084 = (0{,}80 - 0{,}07084)D.
22{,}916 = 0{,}72916\,D.
Então:
D = \frac{22{,}916}{0{,}72916}\approx 31{,}44\\ \text{kmol}.
E o fundo:
B = 100 - D \approx 68{,}56\\ \text{kmol}.

Passo 6

Verificação rápida / interpretação e método gráfico (como desenhar para conferir)\n
  • A solução analítica corresponde geometricamente ao ponto de interseção entre a curva de equilíbrio
y = \frac{6x}{1+5x}
e a reta de operação
y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{15}.
  • Para plotar (no papel ou software), trace:
    • a diagonal y=x (referência),
    • a curva de equilíbrio usando alguns pontos (por exemplo: x=0\Rightarrow y=0; x=0{,}05\Rightarrow y=\dfrac{6\cdot0{,}05}{1+0{,}25}=0{,}3/1{,}25=0{,}24; x=0{,}10\Rightarrow y=0{,}6/1{,}5=0{,}4; etc.),
    • a reta de operação com intercepto 4/15\approx0{,}2667 e inclinação 2/3.
  • O ponto de interseção dessas duas curvas dará x_B\approx0{,}0708 (coordenada em x); a ordenada naquele ponto é y\approx0{,}3139. Esse é o procedimento gráfico (McCabe–Thiele simplificado com um estágio).\n
  • Observação: o líquido de refluxo (condensado) terá composição x_D tal que está em equilíbrio com y_D=0{,}80. Se quiser, calcule x_D resolvendo \dfrac{6x_D}{1+5x_D}=0{,}80 que dá x_D=0{,}40. (Não era solicitado, mas é útil para o entendimento: o líquido de refluxo é menos rico em hexano que o vapor que condensa.)

Resposta

x_B \approx 0{,}07084 (fração molar de hexano no fundo)
D \approx 31{,}44\\ \text{kmol}

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