Uma certa coluna de destilação contínua, operando com uma razão de refluxo (L/D) de 3,5 produz um destilado contendo 97 \% em peso de B (benzeno) e um produto de fundo contendo 98 \% em peso de T (tolueno). Devido a um acidente, os 10 pratos na seção de fundo da coluna ruíram; porém os 14 pratos da seção de topo permaneceram intactos.
Sugere-se que a coluna continue sendo utilizada com a alimentação \mathrm{F}=13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} como vapor saturado, contendo 40 \% em peso de B.
a) Pode esta coluna ainda produzir um destilado contendo 97 \% em peso de B ?
b) Quanto destilado é obtido?
c) Qual a composição do resíduo?
Dados de Equilíbrio: (benzeno)
y
0,21
0,37
0,51
0,64
0,72
0,79
0,86
0,91
0,96
0,98
x
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,95
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com cuidado para a gente não se perder):
Razão de refluxo atual: \displaystyle R=\frac{L}{D}=3{,}5.
Destilado especificado (produto de topo): \displaystyle 97\% em massa de B (benzeno). Vou denotar isso por \displaystyle x_D=0{,}97 (fração em massa de B no líquido do destilado).
Fundo especificado originalmente: \displaystyle 98\% em massa de T (tolueno). Isso implica que o fundo original tinha \displaystyle x_B (fração de B no fundo) igual a 1-0{,}98=0{,}02, mas esse dado é apenas histórico — depois do acidente a situação mudou.
Após o acidente, os 10 pratos da seção de fundo ruíram; restaram apenas os 14 pratos da seção de topo (ou seja, só temos a seção de rectificação com 14 pratos teóricos disponíveis).
A alimentação é \displaystyle F=13600\\ \text{kg/h} como vapor saturado contendo \displaystyle 40\% em peso de B. Vou denotar a fração de B na alimentação por \displaystyle z_F=0{,}40.
Dados de equilíbrio (pares (x,y) para benzeno) fornecidos na tabela:\begin{array}{cccccccccc} x: & 0{,}10 & 0{,}20 & 0{,}30 & 0{,}40 & 0{,}50 & 0{,}60 & 0{,}70 & 0{,}80 & 0{,}90 & 0{,}95\\[4pt] y: & 0{,}21 & 0{,}37 & 0{,}51 & 0{,}64 & 0{,}72 & 0{,}79 & 0{,}86 & 0{,}91 & 0{,}96 & 0{,}98 \end{array}onde x = fração de benzeno na fase líquida e y = fração de benzeno na fase vapor em equilíbrio.
Perguntas do enunciado (para deixar explícito):
a) A coluna, com apenas os 14 pratos do topo e R=3{,}5, ainda pode produzir um destilado com \displaystyle x_D=0{,}97 ?
b) Caso afirmativo (ou se quisermos saber a consequência prática), quanto destilado é obtido (D) quando se alimenta \displaystyle F=13600\\ \text{kg/h} com \displaystyle z_F=0{,}40 ?
c) Qual a composição do resíduo (fundo) resultante (x_B) ?
A resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Breve aula necessária: método de McCabe–Thiele e conceito de refluxo mínimo.
Principais ideias (sem jargões): para uma coluna de destilação (seção de rectificação) existem duas curvas importantes no diagrama y vs x:
Curva de equilíbrio y=y_{\text{eq}}(x) (fornecida na tabela).
Reta de operação da seção de rectificação (operating line), que, em termos de razão de refluxo R=L/D, tem a equaçãoy=\frac{R}{R+1}\,x+\frac{x_D}{R+1}.Aqui x é a fração de B no líquido da bandeja, y é a fração de B no vapor acima da bandeja, x_D é a fração de B no destilado e R é o refluxo.
O número de pratos teóricos na seção de rectificação necessários para ir de x_D até a condição de alimentação é obtido pelo procedimento passo-a-passo (McCabe–Thiele) entre essa reta de operação e a curva de equilíbrio.
Há um conceito importante: refluxo mínimo R_{\min}. Se o refluxo real R for menor que R_{\min} para uma separação desejada (x_D, z_F), então, mesmo com número infinito de pratos, a separação pedida não é atingível — ocorre um “pinch” (um ponto de estrangulamento) onde a reta de operação tangencia a curva de equilíbrio. Assim, o primeiro passo prático é verificar se o refluxo disponível R=3{,}5 é pelo menos o refluxo mínimo requerido para obter x_D=0{,}97 a partir da alimentação z_F=0{,}40.
Passo 3
Montando a reta de operação da seção rectificadora com os dados:
Já que R=3{,}5, calculamos a inclinação e o intercepto:\text{slope }m=\frac{R}{R+1}=\frac{3{,}5}{4{,}5}=0{,}777\overline{7},
O q-line para alimentação como vapor saturado tem q=0. A equação do q-line (no plano y vs x) para q=0 é a horizontal
y=z_F=0{,}40.
Esse é o lugar onde a alimentação “corta” a coluna no traçado de McCabe–Thiele.
Para avaliar viabilidade, precisamos verificar se a reta de operação com R=3{,}5 fica suficientemente acima/afastada da curva de equilíbrio entre x_D e a região da alimentação, ou se existe um “pinch” (tangência) — o que caracteriza R<R_{\min}. Se houver tangência com a curva de equilíbrio em algum ponto entre x_D e a alimentação, a separação não é possível mesmo com infinitas bandejas.
Passo 4
Como testar a existência do “pinch” (estimar R_{\min}) de forma prática com os dados tabulados.
Condição de tangência (pinch): existe um ponto x_p tal que a reta de operação é tangente à curva de equilíbrio. Se a reta de operação é y=m x + b e a curva de equilíbrio tem derivada local \mathrm{d}y/\mathrm{d}x|_{x_p}, na tangência
m=\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x_p} \quad\text{e}\quad y_{\text{eq}}(x_p)=m x_p + b.
Como b=\dfrac{x_D}{R+1}=x_D(1-m) (porque m=\dfrac{R}{R+1}\Rightarrow \dfrac{1}{R+1}=1-m), podemos escrever a segunda condição como
y_{\text{eq}}(x_p)-x_D = m (x_p-x_D).
Então, para um candidato x_p podemos calcular o “m candidato”
e comparar com a derivada local \mathrm{d}y/\mathrm{d}x|_{x_p}. Na tangência devem coincidir (numa aproximação linear com os pontos da tabela).
Com os dados tabulados, aproximamos \mathrm{d}y/\mathrm{d}x por diferenças finitas entre pontos consecutivos. Vou calcular algumas inclinações médias entre pares de pontos da tabela (usando Δy/Δx):
Entre x=0{,}90 e 0{,}95: \displaystyle \frac{0{,}98-0{,}96}{0{,}95-0{,}90}=0{,}02/0{,}05=0{,}4.
Entre x=0{,}80 e 0{,}90: \displaystyle \frac{0{,}96-0{,}91}{0{,}90-0{,}80}=0{,}05/0{,}10=0{,}5.
Entre x=0{,}70 e 0{,}80: \;0{,}5.
Entre x=0{,}60 e 0{,}70: \displaystyle \frac{0{,}86-0{,}79}{0{,}70-0{,}60}=0{,}07/0{,}10=0{,}7.
Entre x=0{,}50 e 0{,}60: 0{,}7.
Entre x=0{,}40 e 0{,}50: \displaystyle \frac{0{,}72-0{,}64}{0{,}50-0{,}40}=0{,}08/0{,}10=0{,}8.
Entre x=0{,}30 e 0{,}40: 1{,}3 (mais acentuado à medida que x diminui).
Note que a inclinação média da curva de equilíbrio na região x\approx0{,}40\!-\!0{,}50 é aproximadamente 0{,}8. Esse valor de inclinação dá um valor de m e, por consequência, um refluxo mínimo aproximado:
Ou seja, se a tangência ocorrer por volta de x\approx0{,}45\!-\!0{,}50, o refluxo mínimo exigido para obter a separação desejada seria da ordem de R_{\min}\approx 4.
Comparação direta: o refluxo atual é R=3{,}5, que é menor que essa estimativa de R_{\min}\approx 4. Quando R<R_{\min} a operação para atingir x_D não é possível nem mesmo com um número infinito de pratos — há um “pinch” entre a reta de operação e a curva de equilíbrio que impede a separação até o ponto desejado.
(Resumo didático: usar a tabela de equilíbrio, estimar a inclinação local onde a tangência deveria ocorrer e calcular R_{\min}=m/(1-m). Aqui a inclinação local estimada é ≈0,8 ⇒ R_{\min}\approx 4. Como 3{,}5<4, não dá.)
Passo 5
Consequência prática e conclusão (resposta à pergunta a) com justificativa):
Como R=3{,}5 é menor que o refluxo mínimo estimado necessário (R_{\min}\approx 4), não existe reta de operação com R=3{,}5 que permita a coluna alcançar \displaystyle x_D=0{,}97 — mesmo com número ilimitado de pratos. Em termos físicos: há um “pinch” entre a reta de operação e a curva de equilíbrio; as etapas não conseguem progredir até a alimentação e a separação pedida é inviável.
Portanto a resposta à pergunta (a) é negativa: não é possível produzir um destilado contendo 97\% de benzeno com o refluxo e a configuração que restaram.
Passo 6
Resposta às perguntas (b) e (c) — interpretação correta quando a especificação não é alcançável.
Se a especificação do destilado (x_D=0{,}97) não é alcançável com as condições operacionais (R, número de pratos disponíveis), então não faz sentido calcular D e x_B assumindo que a coluna esteja produzindo exatamente esse destilado — pois tal operação não pode ser mantida em regime estacionário.
Em outras palavras: não existe um par (D,x_B) consistente com balanços de massa e com a curva de equilíbrio para a operação pretendida porque a separação alvo é inatingível com R=3{,}5. A única conclusão segura é que, para obter x_D=0{,}97, é necessário aumentar o refluxo (por exemplo para R\gtrsim 4) ou recuperar/repôr as bandejas da seção inferior (ou uma combinação de ambos).
Se, por outro lado, for necessário saber qual é a máxima taxa de destilado com exatamente x_D=0{,}97, a resposta é prática e imediata: zero — ou melhor dizendo, não existe uma operação estacionária com x_D=0{,}97 e R=3{,}5, logo não há valor consistente de D nem de x_B para essa especificação.
Resposta
a) Não — com R=3{,}5 e os 14 pratos remanescentes não é possível atingir x_D=0{,}97.
b) Não existe operação estacionária que produza destilado com 97\% B nas condições dadas (portanto não há D consistente para essa especificação).
c) Não aplicável — a composição do resíduo x_B não pode ser determinada para uma especificação de destilado que é inatingível nas condições dadas.