Uma coluna de destilação contínua deve separar uma mistura de A e B. Duas alimentações com vazões molares iguais,
e
, entram na coluna com 50 e
em moles de A , respectivamente.
é líquido no seu ponto de bolha e
vapor saturado. As especificações de topo e fundo são respectivamente,
e
em moles de A e a razão de refluxo no topo é igual a 3,0 . Calcular o número de pratos teóricos necessários.
Dados de equilíbrio:
x
0,10
0,30
0,50
0,70
0,90
y
0,23
0,54
0,74
0,87
0,96
| x | 0,10 | 0,30 | 0,50 | 0,70 | 0,90 |
| y | 0,23 | 0,54 | 0,74 | 0,87 | 0,96 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular o número de pratos teóricos necessários numa coluna de destilação contínua que separa uma mistura binária A/B. Dados e especificações relevantes fornecidos no enunciado:
- Duas alimentações com vazões molares iguais:
. - Composições das alimentações (fração molar de A):
-
: em A, ou seja . -
: em A, ou seja .
-
- Estado das alimentações:
-
é líquido no ponto de bolha (logo ). -
é vapor saturado (logo ).
-
- Especificações de produto:
- Destilado (topo):
em A, ou seja . - Fundo (bottoms):
em A, ou seja .
- Destilado (topo):
- Razão de refluxo no topo:
. - Curva de equilíbrio (tabela
vs ): -
.
-
O que é pedido: calcular o número de pratos teóricos necessários.
Passo 2
Escolha do método e estratégia (sem resolver ainda): vamos usar o método gráfico/algébrico de McCabe–Thiele, que é o método padrão para estimar o número de pratos teóricos em destilação binária quando se conhece a curva de equilíbrio e as condições (refluxo
, composições de topo e fundo e condição de alimentação). Como há duas alimentações com vazões iguais e condições diferentes (
e
), vamos obter uma alimentação equivalente (composição e
equivalentes) para aplicar o método com uma única linha-
. Em seguida constrói-se a reta de operação do retificador, encontra-se o ponto de interseção com a linha-
, obtém-se a reta do dissipador (stripping) e aplica-se o passo-a-passo (stepping) entre a reta de operação e a curva de equilíbrio usando interpolação linear entre os pontos dados da tabela. Vou explicar cada fórmula e cada interpolação.
Passo 3
Cálculo da composição global da alimentação e do parâmetro
equivalente:
-
Vazões iguais
=> composição média da alimentação é a média simples: Substituindo: -
Para o
equivalente (fração do fluxo de alimentação que entra como líquido), usamos média ponderada por vazões: Come :
Portanto a alimentação equivalente tem
e
(meio líquido, meio vapor).
Passo 4
Equações das retas de operação e da linha-
:
-
Reta de operação do retificador (parte superior), fórmula padrão:Substituindo
e : -
Linha-
(reta que representa o estado termo-físico da alimentação), fórmula padrão: Substituindoe : portanto
Vou agora encontrar o ponto de interseção entre a reta do retificador e a linha-
.
Passo 5
Interseção entre reta do retificador e linha-
:
Resolver
Rearranjando:
Logo
E
Este é o ponto onde a linha-
corta a reta do retificador.
Passo 6
Equação da reta de operação do dissipador (stripping):
A reta de stripping passa por
e pelo ponto de interseção
encontrado. A inclinação é
Intercepto
(ou usando
com
):
Portanto a reta de stripping é aproximadamente
Resumo das retas que usaremos:
- Retificador:
- Linha-
: - Stripping:
Passo 7
Descrição do procedimento de stepping (McCabe–Thiele) e interpolação entre pontos da tabela:
- Procedimento: começamos no ponto do destilado
. Cada prato teórico corresponde a um “passo” horizontal até a curva de equilíbrio (isto dá a composição líquida do prato) e depois vertical até a reta de operação (isto dá a composição vapor chegando ao próximo prato). Repetimos até a composição líquida atingir (ou ficar abaixo). - Interpolação: a curva de equilíbrio está tabulada em cinco pontos. Para um valor de
que caia entre dois da tabela, empregamos interpolação linear para encontrar o correspondente. Fórmula usada (entre dois pontos e com ): - Observação: a tabela termina em
com . Mais abaixo de não temos dados; para valores menores precisaremos extrapolar. Adotarei uma extrapolação linear simples entre o ponto e a origem (assumindo quando ), o que equivale a usar a razão nessa região. Aviso: essa parte é uma aproximação, mas razoável quando estamos muito próximos do fundo.
Agora vamos executar os passos numéricos um a um, fazendo as interpolações necessárias.
Passo 8
Stage 1 (do topo para baixo) — primeira etapa do retificador:
- Ponto inicial:
. - Horizontal até curva de equilíbrio: achar
tal que . Entre e . Aplicando interpolação: - Vertical até a reta do retificador:
Esse conjunto horizontal+vertical corresponde ao 1º prato.
Passo 9
Stage 2:
- Horizontal até equilíbrio para
(entre e ): - Vertical até retificador:
Esse é o 2º prato.
Passo 10
Stage 3:
- Horizontal até equilíbrio para
(entre e ): - Vertical até retificador:
Esse é o 3º prato.
Passo 11
Stage 4:
- Horizontal até equilíbrio para
(entre e ): - Vertical até retificador:
Esse é o 4º prato.
Passo 12
Stage 5:
- Horizontal até equilíbrio para
(entre e ): - Vertical até retificador:
Esse é o 5º prato.
Passo 13
Stage 6 — aproximação do ponto-
e troca para o stripping:
- Horizontal até equilíbrio para
(entre e ): - Agora, se fôssemos verticalizar até a reta do retificador obteríamos
, que é menor que . Isso indica que com esse passo cruzamos o ponto- . Ao cruzarmos, devemos partir da curva de equilíbrio e descer à reta de stripping. Então vertical até a reta de stripping:
Esse é o 6º prato (a partir daqui usamos a reta de stripping).
Passo 14
Stage 7 (stripping):
- Horizontal para equilíbrio com
(entre e ): - Vertical até reta de stripping:
Esse é o 7º prato.
Passo 15
Stage 8:
- Horizontal para equilíbrio com
(entre e ): - Vertical até stripping:
Esse é o 8º prato.
Passo 16
Stage 9:
- Horizontal para equilíbrio com
(ainda entre e ): - Vertical até stripping:
Esse é o 9º prato.
Passo 17
Stage 10 — agora precisamos extrapolar (abaixo de
):
- Horizontal com
. Isso corresponde a um ; como não há dados na tabela para , adotamos extrapolação linear simples entre e , i.e. . Assim: - Vertical até stripping em
:
Esse é o 10º prato.
Passo 18
Stage 11 — último passo até atingir o fundo:
- Horizontal com
. Usando a mesma extrapolação ( ): - Agora
é menor que . Isso significa que, ao efetuar este passo, já ficando abaixo da composição do fundo, alcançamos a especificação do fundo. Portanto o stepping terminou aqui.
Este último par horizontal+vertical corresponde ao 11º prato — após ele a composição líquida do circuito chega ao valor desejado do fundo.
Passo 19
Interpretação do resultado e observações sobre contagem:
- No procedimento McCabe–Thiele contado aqui, cada estágio (prato teórico) corresponde a um ciclo horizontal (vapor → equilíbrio) seguido de um ciclo vertical (líquido → operação) — ou seja, cada par horizontal+vertical contados acima é um prato. Contando todos os passos até atingir
obtivemos pratos teóricos. - Observação sobre extrapolação: para os últimos passos usamos extrapolação linear do ponto
até a origem para estimar o equilíbrio abaixo de . Isso é uma aproximação; se houvesse dados experimentais adicionais a contagem poderia mudar ligeiramente. Ainda assim, a aproximação é razoável e a contagem de pratos é consistente com os valores interpolados calculados. - Incentivo: deu trabalho, mas com calma e aplicando as interpolação lineares entre pares de pontos da curva de equilíbrio seguimos o método passo-a-passo; na prova faça cada interpolação com calma e documente os valores como eu mostrei.