Uma coluna de destilação contínua deve separar uma mistura de A e B. Duas alimentações com vazões molares iguais, F_{1} e F_{2}, entram na coluna com 50 e 25 \% em moles de A , respectivamente. \mathrm{F}_{1} é líquido no seu ponto de bolha e \mathrm{F}_{2} vapor saturado. As especificações de topo e fundo são respectivamente, 95 \% e 5 \% em moles de A e a razão de refluxo no topo é igual a 3,0 . Calcular o número de pratos teóricos necessários.
Dados de equilíbrio:
x 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90
y 0,23 0,54 0,74 0,87 0,96

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número de pratos teóricos necessários numa coluna de destilação contínua que separa uma mistura binária A/B. Dados e especificações relevantes fornecidos no enunciado:
  • Duas alimentações com vazões molares iguais: F_{1}=F_{2}.
  • Composições das alimentações (fração molar de A):
    • F_{1}: 50\% em A, ou seja x_{F1}=0{,}50.
    • F_{2}: 25\% em A, ou seja x_{F2}=0{,}25.
  • Estado das alimentações:
    • F_{1} é líquido no ponto de bolha (logo q_{1}=1).
    • F_{2} é vapor saturado (logo q_{2}=0).
  • Especificações de produto:
    • Destilado (topo): x_{D}=95\% em A, ou seja x_{D}=0{,}95.
    • Fundo (bottoms): x_{B}=5\% em A, ou seja x_{B}=0{,}05.
  • Razão de refluxo no topo: R=3{,}0.
  • Curva de equilíbrio (tabela x vs y):
    • (x,y)=(0{,}10,0{,}23),\;(0{,}30,0{,}54),\;(0{,}50,0{,}74),\;(0{,}70,0{,}87),\;(0{,}90,0{,}96).
O que é pedido: calcular o número de pratos teóricos necessários.

Passo 2

Escolha do método e estratégia (sem resolver ainda): vamos usar o método gráfico/algébrico de McCabe–Thiele, que é o método padrão para estimar o número de pratos teóricos em destilação binária quando se conhece a curva de equilíbrio e as condições (refluxo R, composições de topo e fundo e condição de alimentação). Como há duas alimentações com vazões iguais e condições diferentes ( q_1 e q_2), vamos obter uma alimentação equivalente (composição e q equivalentes) para aplicar o método com uma única linha- q. Em seguida constrói-se a reta de operação do retificador, encontra-se o ponto de interseção com a linha- q, obtém-se a reta do dissipador (stripping) e aplica-se o passo-a-passo (stepping) entre a reta de operação e a curva de equilíbrio usando interpolação linear entre os pontos dados da tabela. Vou explicar cada fórmula e cada interpolação.

Passo 3

Cálculo da composição global da alimentação e do parâmetro q equivalente:
  • Vazões iguais F_{1}=F_{2} => composição média da alimentação z_F é a média simples:
    z_F=\frac{F_1 x_{F1} + F_2 x_{F2}}{F_1+F_2}=\frac{x_{F1}+x_{F2}}{2}.
    Substituindo:
    z_F=\frac{0{,}50+0{,}25}{2}=0{,}375.
  • Para o q equivalente (fração do fluxo de alimentação que entra como líquido), usamos média ponderada por vazões:
    q_{eq}=\frac{F_1 q_1 + F_2 q_2}{F_1+F_2}=\frac{q_1+q_2}{2}.
    Com q_1=1 e q_2=0:
    q_{eq}=\frac{1+0}{2}=0{,}5.
Portanto a alimentação equivalente tem z_F=0{,}375 e q=0{,}5 (meio líquido, meio vapor).

Passo 4

Equações das retas de operação e da linha- q:
  • Reta de operação do retificador (parte superior), fórmula padrão:
    y = \frac{R}{R+1}x + \frac{x_D}{R+1}.
    Substituindo R=3 e x_D=0{,}95:
    y = \frac{3}{4}x + \frac{0{,}95}{4} = 0{,}75\,x + 0{,}2375.
  • Linha- q (reta que representa o estado termo-físico da alimentação), fórmula padrão:
    y = \frac{q}{q-1}x - \frac{z_F}{q-1}.
    Substituindo q=0{,}5 e z_F=0{,}375:
    \frac{q}{q-1}=\frac{0{,}5}{-0{,}5}=-1,\quad -\frac{z_F}{q-1}=-\frac{0{,}375}{-0{,}5}=0{,}75,
    portanto
    y = -1\cdot x + 0{,}75\quad\text{ou}\quad y = 0{,}75 - x.
Vou agora encontrar o ponto de interseção entre a reta do retificador e a linha- q.

Passo 5

Interseção entre reta do retificador e linha- q:
Resolver
0{,}75\,x + 0{,}2375 = 0{,}75 - x.
Rearranjando:
0{,}75x + x = 0{,}75 - 0{,}2375 \quad\Rightarrow\quad 1{,}75x = 0{,}5125.
Logo
x_{q} = \frac{0{,}5125}{1{,}75} = 0{,}2928571429 \approx 0{,}292857.
E
y_{q} = 0{,}75 - x_{q} = 0{,}75 - 0{,}292857 = 0{,}4571428571 \approx 0{,}457143.
Este é o ponto onde a linha- q corta a reta do retificador.

Passo 6

Equação da reta de operação do dissipador (stripping):
A reta de stripping passa por (x_B,y_B)=(0{,}05,0{,}05) e pelo ponto de interseção (x_q,y_q) encontrado. A inclinação é
m_s=\frac{y_q - x_B}{x_q - x_B} = \frac{0{,}4571428571 - 0{,}05}{0{,}2928571429 - 0{,}05} = \frac{0{,}4071428571}{0{,}2428571429} \approx 1{,}6764705882.
Intercepto b_s (ou usando y = m_s x + b_s com x_B):
b_s = y_B - m_s x_B = 0{,}05 - 1{,}6764705882\times 0{,}05 = -0{,}03382352941.
Portanto a reta de stripping é aproximadamente
y = 1{,}6764705882\,x - 0{,}03382352941.
Resumo das retas que usaremos:
  • Retificador: \displaystyle y = 0{,}75\,x + 0{,}2375.
  • Linha- q: \displaystyle y = 0{,}75 - x.
  • Stripping: \displaystyle y = 1{,}6764705882\,x - 0{,}03382352941.

Passo 7

Descrição do procedimento de stepping (McCabe–Thiele) e interpolação entre pontos da tabela:
  • Procedimento: começamos no ponto do destilado (x_D,y_D)=(0{,}95,0{,}95). Cada prato teórico corresponde a um “passo” horizontal até a curva de equilíbrio (isto dá a composição líquida x do prato) e depois vertical até a reta de operação (isto dá a composição vapor y chegando ao próximo prato). Repetimos até a composição líquida atingir x_B (ou ficar abaixo).
  • Interpolação: a curva de equilíbrio está tabulada em cinco pontos. Para um valor de y que caia entre dois y da tabela, empregamos interpolação linear para encontrar o x correspondente. Fórmula usada (entre dois pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1) com y_0<y<y_1): x = x_0 + (x_1-x_0)\,\frac{y - y_0}{y_1-y_0}.
  • Observação: a tabela termina em x=0{,}10 com y=0{,}23. Mais abaixo de y=0{,}23 não temos dados; para valores menores precisaremos extrapolar. Adotarei uma extrapolação linear simples entre o ponto (0{,}10,0{,}23) e a origem (0,0) (assumindo y\approx 0 quando x\approx 0), o que equivale a usar a razão y/x \approx 2{,}3 nessa região. Aviso: essa parte é uma aproximação, mas razoável quando estamos muito próximos do fundo.
Agora vamos executar os passos numéricos um a um, fazendo as interpolações necessárias.

Passo 8

Stage 1 (do topo para baixo) — primeira etapa do retificador:
  • Ponto inicial: (x,y)=(0{,}95,0{,}95).
  • Horizontal até curva de equilíbrio: achar x tal que y_{eq}=0{,}95. Entre (0{,}70,0{,}87) e (0{,}90,0{,}96). Aplicando interpolação: x = 0{,}70 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}95-0{,}87}{0{,}96-0{,}87}} = 0{,}70 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}08}{0{,}09} = 0{,}87777778.
  • Vertical até a reta do retificador: y = 0{,}75\cdot 0{,}87777778 + 0{,}2375 = 0{,}895833335.
Esse conjunto horizontal+vertical corresponde ao 1º prato.

Passo 9

Stage 2:
  • Horizontal até equilíbrio para y=0{,}895833335 (entre 0{,}70,0{,}87 e 0{,}90,0{,}96): x = 0{,}70 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}895833335-0{,}87}{0{,}09} = 0{,}757407412.
  • Vertical até retificador: y = 0{,}75\cdot0{,}757407412 + 0{,}2375 = 0{,}805555559.
Esse é o 2º prato.

Passo 10

Stage 3:
  • Horizontal até equilíbrio para y=0{,}805555559 (entre (0{,}50,0{,}74) e (0{,}70,0{,}87)): x = 0{,}50 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}805555559-0{,}74}{0{,}13} = 0{,}600854706.
  • Vertical até retificador: y = 0{,}75\cdot0{,}600854706 + 0{,}2375 = 0{,}6881410295.
Esse é o 3º prato.

Passo 11

Stage 4:
  • Horizontal até equilíbrio para y=0{,}6881410295 (entre (0{,}30,0{,}54) e (0{,}50,0{,}74)): x = 0{,}30 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}6881410295-0{,}54}{0{,}20} = 0{,}44814103.
  • Vertical até retificador: y = 0{,}75\cdot0{,}44814103 + 0{,}2375 = 0{,}5736057725.
Esse é o 4º prato.

Passo 12

Stage 5:
  • Horizontal até equilíbrio para y=0{,}5736057725 (entre (0{,}30,0{,}54) e (0{,}50,0{,}74)): x = 0{,}30 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}5736057725-0{,}54}{0{,}20} = 0{,}3336057725.
  • Vertical até retificador: y = 0{,}75\cdot0{,}3336057725 + 0{,}2375 = 0{,}4877043294.
Esse é o 5º prato.

Passo 13

Stage 6 — aproximação do ponto- q e troca para o stripping:
  • Horizontal até equilíbrio para y=0{,}4877043294 (entre (0{,}10,0{,}23) e (0{,}30,0{,}54)): x = 0{,}10 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}4877043294-0{,}23}{0{,}31} = 0{,}26632447.
  • Agora, se fôssemos verticalizar até a reta do retificador obteríamos y_{r}=0{,}75\cdot 0{,}26632447 + 0{,}2375 = 0{,}437243, que é menor que y_q=0{,}457143. Isso indica que com esse passo cruzamos o ponto- q. Ao cruzarmos, devemos partir da curva de equilíbrio e descer à reta de stripping. Então vertical até a reta de stripping: y_s = 1{,}6764705882\cdot 0{,}26632447 - 0{,}03382352941 = 0{,}41267447.
Esse é o 6º prato (a partir daqui usamos a reta de stripping).

Passo 14

Stage 7 (stripping):
  • Horizontal para equilíbrio com y=0{,}41267447 (entre (0{,}10,0{,}23) e (0{,}30,0{,}54)): x = 0{,}10 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}41267447-0{,}23}{0{,}31} = 0{,}21785482.
  • Vertical até reta de stripping: y_s = 1{,}6764705882\cdot 0{,}21785482 - 0{,}03382352941 = 0{,}33137747.
Esse é o 7º prato.

Passo 15

Stage 8:
  • Horizontal para equilíbrio com y=0{,}33137747 (entre (0{,}10,0{,}23) e (0{,}30,0{,}54)): x = 0{,}10 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}33137747-0{,}23}{0{,}31} = 0{,}1654043.
  • Vertical até stripping: y_s = 1{,}6764705882\cdot 0{,}1654043 - 0{,}03382352941 = 0{,}24334147.
Esse é o 8º prato.

Passo 16

Stage 9:
  • Horizontal para equilíbrio com y=0{,}24334147 (ainda entre (0{,}10,0{,}23) e (0{,}30,0{,}54)): x = 0{,}10 + 0{,}20\cdot\frac{0{,}24334147-0{,}23}{0{,}31} = 0{,}10860727.
  • Vertical até stripping: y_s = 1{,}6764705882\cdot 0{,}10860727 - 0{,}03382352941 = 0{,}14819347.
Esse é o 9º prato.

Passo 17

Stage 10 — agora precisamos extrapolar (abaixo de x=0{,}10):
  • Horizontal com y=0{,}14819347. Isso corresponde a um x<0{,}10; como não há dados na tabela para x<0{,}10, adotamos extrapolação linear simples entre (0{,}10,0{,}23) e (0,0), i.e. y\approx 2{,}3\,x. Assim: x \approx \frac{y}{2{,}3} = \frac{0{,}14819347}{2{,}3} = 0{,}06443977.
  • Vertical até stripping em x=0{,}06443977: y_s = 1{,}6764705882\cdot 0{,}06443977 - 0{,}03382352941 = 0{,}07409010.
Esse é o 10º prato.

Passo 18

Stage 11 — último passo até atingir o fundo:
  • Horizontal com y=0{,}07409010. Usando a mesma extrapolação ( x\approx y/2{,}3 ): x \approx \frac{0{,}07409010}{2{,}3} = 0{,}0322131.
  • Agora x=0{,}0322131 é menor que x_B=0{,}05. Isso significa que, ao efetuar este passo, já ficando abaixo da composição do fundo, alcançamos a especificação do fundo. Portanto o stepping terminou aqui.
Este último par horizontal+vertical corresponde ao 11º prato — após ele a composição líquida do circuito chega ao valor desejado do fundo.

Passo 19

Interpretação do resultado e observações sobre contagem:
  • No procedimento McCabe–Thiele contado aqui, cada estágio (prato teórico) corresponde a um ciclo horizontal (vapor → equilíbrio) seguido de um ciclo vertical (líquido → operação) — ou seja, cada par horizontal+vertical contados acima é um prato. Contando todos os passos até atingir x_B obtivemos 11 pratos teóricos.
  • Observação sobre extrapolação: para os últimos passos usamos extrapolação linear do ponto (0{,}10,0{,}23) até a origem para estimar o equilíbrio abaixo de x=0{,}10. Isso é uma aproximação; se houvesse dados experimentais adicionais a contagem poderia mudar ligeiramente. Ainda assim, a aproximação é razoável e a contagem de 11 pratos é consistente com os valores interpolados calculados.
  • Incentivo: deu trabalho, mas com calma e aplicando as interpolação lineares entre pares de pontos da curva de equilíbrio seguimos o método passo-a-passo; na prova faça cada interpolação com calma e documente os valores como eu mostrei.

Resposta

11 pratos teóricos

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