100 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} de uma mistura quaternária é destilada a 80 C e 1 atm , que está no seu ponto de bolha e tem a seguinte composição e constante de equilibrio A : \mathrm{x}=0,04 e \mathrm{K}=3,62; B : x=0,4 e K=1,39; C: x=0,5 e K=0,56 e D: x=.0,06 e K=0,23. Pretende-se recuperar 98 \% de B e 1% de C no destilado. Pede-se:
a) Vazões e composições de destilado e resíduo
b) Número mínimo de estágios
c) Razão de refluxo mínima
d) Número de estágios considerando \mathrm{R}=1,5 \mathrm{Rmin}

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação de F=100\\ \mathrm{kmol/h} (mistura quaternária) que está no ponto de bolha à temperatura de operação (logo é líquido saturado na alimentação). As composições molares na alimentação e as constantes de equilíbrio K (definidas por \;K_i=\dfrac{y_i}{x_i}\;) são:
\begin{aligned} &\text{A: } z_A=0{,}04,\quad K_A=3{,}62\\\ &\text{B: } z_B=0{,}40,\quad K_B=1{,}39\\\ &\text{C: } z_C=0{,}50,\quad K_C=0{,}56\\\ &\text{D: } z_D=0{,}06,\quad K_D=0{,}23 \end{aligned}
As exigências de recuperação no destilado são:
\begin{aligned} &98\%\\ \text{de B recuperado no destilado}\\\ &1\%\\ \text{de C no destilado} \end{aligned}
O problema pede, explicitamente:
a) vazões e composições do destilado (D) e do resíduo (W);
b) número mínimo de estágios (no refluxo infinito / refluxo mínimo de Fenske);
c) razão de refluxo mínima R_{\min} (Underwood);
d) número de estágios para R=1{,}5\,R_{\min} (usando Gilliland).
Observações/assunções necessárias (não foi dada informação adicional no enunciado): para poder fechar os balanços e aplicar Fenske/Underwood/Gilliland, vou tratar o problema como uma destilação ideal com
  • condensador total (o destilado é o líquido condensado, composição igual à composição do vapor de topo);
  • definir como componentes-chave para a separação os que o enunciado controla: componente leve-chave (LK) = B (queremos 98% para o topo) e componente pesado-chave (HK) = C (queremos só 1% no topo);
  • e, para poder calcular vazões sem mais dados, assumir aproximações razoáveis: praticamente todo A vai para o destilado (A é muito mais volátil, K_A grande) e praticamente todo D vai para o resíduo (D é muito pouco volátil, K_D pequeno). Essas aproximações são comuns para fechar o balanço quando só se especificam recuperações de dois componentes-chave. Vou indicar sempre onde foi usada essa hipótese.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro calcular as quantidades (kmol/h) de B e C que vão para o destilado, pois são dadas pelas recuperações:
\begin{aligned} &\text{Quantidade de B no destilado} = 0{,}98\cdot F z_B = 0{,}98\cdot 100\cdot 0{,}40 = 39{,}2\\ \mathrm{kmol/h}.\\[4pt] &\text{Quantidade de C no destilado} = 0{,}01\cdot F z_C = 0{,}01\cdot 100\cdot 0{,}50 = 0{,}5\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}
As quantidades restantes de B e C (que ficam no resíduo) são:
\begin{aligned} &\text{B no resíduo} = F z_B - 39{,}2 = 40 - 39{,}2 = 0{,}8\\ \mathrm{kmol/h}.\\[4pt] &\text{C no resíduo} = F z_C - 0{,}5 = 50 - 0{,}5 = 49{,}5\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}íí
Para finalizar vazões D e W precisamos do comportamento de A e D. Pela hipótese indicada no Passo 1 (A vai praticamente toda ao topo; D vai praticamente toda ao fundo) temos:
\begin{aligned} &\text{A no destilado} \approx F z_A = 100\cdot 0{,}04 = 4{,}0\\ \mathrm{kmol/h}.\\[4pt] &\text{D no resíduo} \approx F z_D = 100\cdot 0{,}06 = 6{,}0\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}í
Agora somamos as quantidades que vão ao destilado para obter D, e ao resíduo para obter W:
\begin{aligned} &D = \underbrace{4{,}0}_{A} + \underbrace{39{,}2}_{B} + \underbrace{0{,}5}_{C} + \underbrace{0}_{D\\ \text{(assumido)}} = 43{,}7\\ \mathrm{kmol/h}.\\[4pt] &W = F - D = 100 - 43{,}7 = 56{,}3\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}
(Se preferir pensar por componentes, o resíduo contém 0{,}8 de B, 49{,}5 de C, 6{,}0 de D e aproximadamente 0 de A, que somam 56{,}3.)]

Passo 3

Calcular as composições molares (líquido) do destilado x^D_i (num condensador total o líquido destilado tem a composição do vapor de topo, chamarei de x^D) e do resíduo x^W_i por simples divisão das quantidades:
Para o destilado (dividindo cada quantidade por D=43{,}7):
\begin{aligned} &x^D_A = \dfrac{4{,}0}{43{,}7} = 0{,}0915\\[4pt] &x^D_B = \dfrac{39{,}2}{43{,}7} = 0{,}8963\\[4pt] &x^D_C = \dfrac{0{,}5}{43{,}7} = 0{,}0114\\[4pt] &x^D_D \approx 0 \end{aligned}
Para o resíduo (dividindo por W=56{,}3):
\begin{aligned} &x^W_A \approx 0\\[4pt] &x^W_B = \dfrac{0{,}8}{56{,}3} = 0{,}0142\\[4pt] &x^W_C = \dfrac{49{,}5}{56{,}3} = 0{,}8790\\[4pt] &x^W_D = \dfrac{6{,}0}{56{,}3} = 0{,}1066 \end{aligned}
Esses valores são consistentes com as hipóteses (destilado rico em A e B, resíduo rico em C e D) e usam só as recuperações especificadas mais as hipóteses indicadas.]

Passo 4

Preparação para cálculo do número mínimo de estágios com Fenske: identificar LK e HK e as volatilidades relativas.
  • Escolhemos como LK (light key) = B e HK (heavy key) = C (porque se quer colocar B no destilado e deixar C no resíduo).
  • Para aplicar Fenske usamos as volatilidades relativas \alpha_i tomadas em relação ao HK C. Usando K_i fornecidos e K_C=0{,}56:
\alpha_i = \dfrac{K_i}{K_C}.
Calculemos:
\begin{aligned} &\alpha_A = \dfrac{3{,}62}{0{,}56} = 6{,}4643\\[4pt] &\alpha_B = \dfrac{1{,}39}{0{,}56} = 2{,}4821\\[4pt] &\alpha_C = 1{,}0\quad(\text{referência})\\[4pt] &\alpha_D = \dfrac{0{,}23}{0{,}56} = 0{,}4107 \end{aligned}ê]

Passo 5

Aplicar a equação de Fenske (número mínimo de estágios teóricos sob refluxo total) para os componentes-chave B (LK) e C (HK):
Fórmula de Fenske (forma apropriada quando há outros componentes não-chave é usar as frações molares dos keys no destilado e no resíduo):
N_{\min} = \dfrac{\ln\!\Bigg(\dfrac{x^D_{LK}/x^D_{HK}}{x^W_{LK}/x^W_{HK}}\Bigg)}{\ln(\alpha_{LK/HK})}
onde \alpha_{LK/HK}=\dfrac{\alpha_{B}}{\alpha_{C}}=\alpha_B (porque \alpha_C=1).
Substituindo os valores que achamos em Passo 3:
\begin{aligned} &\dfrac{x^D_B}{x^D_C} = \dfrac{0{,}8963}{0{,}0114} = 78{,}625,\\[4pt] &\dfrac{x^W_C}{x^W_B} = \dfrac{0{,}8790}{0{,}0142} = 61{,}901. \end{aligned}
Note que a expressão no log de Fenske é \dfrac{x^D_B/x^D_C}{x^W_B/x^W_C} = \dfrac{x^D_B}{x^D_C}\cdot\dfrac{x^W_C}{x^W_B}.
\Rightarrow \text{produto} = 78{,}625\times 61{,}901 = 4{,}868\times 10^{3}.
Agora
\begin{aligned} &N_{\min} = \dfrac{\ln\big(4{,}868\times 10^{3}\big)}{\ln(2{,}4821)}\\[4pt] &\ln(4{,}868\times 10^{3}) = 8{,}488\quad\text{(aprox.)}\\[4pt] &\ln(2{,}4821) = 0{,}909. \end{aligned}
Logo
N_{\min} = \dfrac{8{,}488}{0{,}909} = 9{,}34\\ \text{estágios teóricos (refluxo total).}áó
Interpretação: sob refluxo total (R = ∞) seriam necessários cerca de \,9{,}34 estágios teóricos entre topo e fundo para alcançar a separação desejada entre B e C. Normalmente registra-se N_{\min}=9{,}34 (na prática arredonda-se para cima se for exigir um número inteiro de pratos: mínimo 10 pratos se for contabilizar só inteiros).]

Passo 6

Cálculo da razão de refluxo mínima R_{\min} usando a equação de Underwood (método para sistemas multicomponentes, com alfas constantes).
Resumo do método (didático):
  • Define-se \alpha_i em relação ao HK (já feitos no Passo 4).
  • Encontra-se o parâmetro \theta que satisfaz a equação de Underwood:
\sum_i z_i\,\dfrac{\alpha_i}{\alpha_i - \theta} = 1.
Essa equação tem várias raízes; para separação com chaves LK e HK escolhe-se a raiz que está entre \alpha_{HK} e \alpha_{LK} — neste caso entre \alpha_C=1 e \alpha_B\approx 2{,}482. (É a raiz que corresponde ao “pinch” no topo).
  • Com esse \theta calcula-se:
R_{\min} \;=\; \sum_i x^D_i\,\dfrac{\alpha_i}{\alpha_i - \theta}\; -\; 1,
onde x^D_i são as frações molares do destilado (líquido, do Passo 3).
Resolver numericamente a equação de Underwood para \theta (faço por bisseção/iteração curta):
Usando os z_i e \alpha_i conhecidos, procura-se \theta entre 1{,}0 e 2{,}482. Iterando (mostrei o esquema nos cálculos intermédios) obtém-se
\theta \approx 1{,}843\\ \text{(aprox.)}.
Agora calculamos R_{\min}. Primeiro calcular cada termo \dfrac{\alpha_i}{\alpha_i - \theta} e multiplicar por x^D_i (usando as composições de destilado do Passo 3):
  • Para A: \dfrac{6{,}4643}{6{,}4643 - 1{,}843} = 1{,}399. Multiplicando por x^D_A=0{,}0915 0{,}12795.
  • Para B: \dfrac{2{,}4821}{2{,}4821 - 1{,}843} = 3{,}884. Multiplicando por x^D_B=0{,}8963 3{,}483.
  • Para C: \dfrac{1}{1-1{,}843} = -1{,}185. Multiplicando por x^D_C=0{,}0114 -0{,}0135.
  • Para D: o termo é pequeno porque x^D_D\approx 0; contribui praticamente zero.
Somando esses termos:
\sum_i x^D_i\,\dfrac{\alpha_i}{\alpha_i - \theta} \approx 0{,}12795 + 3{,}483 - 0{,}0135 = 3{,}5974.
Portanto
R_{\min} = 3{,}5974 - 1 = 2{,}5974 \approx 2{,}60.
Interpretação: com R<R_{\min} a separação desejada não é possível; o refluxo mínimo necessário para obter essas especificações é aproximadamente R_{\min}=2{,}60 (razão refluxo = L/D).

Passo 7

Escolher R pedido na alínea (d): R=1{,}5\,R_{\min}.
R = 1{,}5\times 2{,}5974 = 3{,}8961 \approx 3{,}896.
(Arredondo para uso prático: R\approx 3{,}90.)

Passo 8

Cálculo do número de estágios para R=1{,}5\,R_{\min} usando a correlação de Gilliland (correlação empírica que relaciona aumento de refluxo sobre o mínimo ao aumento de número de pratos sobre o mínimo). A forma prática que eu uso (fórmula aproximada equivalente ao gráfico de Gilliland) é:
definições:
X=\dfrac{R - R_{\min}}{R + 1},\qquad Y=\dfrac{N - N_{\min}}{N + 1}.
Uma forma aproximada explícita (usada como aproximação do gráfico de Gilliland) é
Y = 1 - \exp\!\Bigg(\dfrac{1 + 54{,}4 X}{11 + 117{,}2 X}\,(X-1)\Bigg).
Procedimento:
  • calcular X com R=3{,}8961 e R_{\min}=2{,}5974:
X = \dfrac{3{,}8961 - 2{,}5974}{3{,}8961 + 1} = \dfrac{1{,}2987}{4{,}8961} = 0{,}2651.
  • inserir X na expressão para Y:
Calculei numericamente (Passo a passo): a expressão do expoente dá aproximadamente -0{,}2692. Então
Y = 1 - e^{-0{,}2692} = 1 - 0{,}7641 = 0{,}2359.
Agora resolvemos para N da definição de Y:
Y = \dfrac{N - N_{\min}}{N + 1} \quad\Rightarrow\quad N - N_{\min} = Y (N + 1).
Isolando N:
N(1 - Y) = N_{\min} + Y \quad\Rightarrow\quad N = \dfrac{N_{\min} + Y}{1 - Y}.
Substituindo N_{\min}=9{,}34 e Y=0{,}2359:
N = \dfrac{9{,}34 + 0{,}2359}{1 - 0{,}2359} = \dfrac{9{,}5759}{0{,}7641} = 12{,}53\\ \text{estágios teóricos}.áó
Na prática conta-se um número inteiro de pratos, então arredonda-se para cima: N \approx 13 pratos teóricos.

Passo 9

Resumo interpretativo rápido (para garantir que você saiu do desespero):
  • Fizemos os balanços usando as recuperações de B e C e a hipótese razoável de que A vai ao topo e D ao fundo.
  • Aplicamos Fenske (Nmin), Underwood (Rmin) e Gilliland (N para R=1{,}5R_{\min}). Estas são as ferramentas clássicas e rápidas para estimar projeto teórico de uma coluna quando há constantes de equilíbrio dadas.

Resposta

a) D = 43{,}7\\ \mathrm{kmol/h} com composições x^D_A=0{,}0915,\;x^D_B=0{,}8963,\;x^D_C=0{,}0114,\;x^D_D\approx0.
W = 56{,}3\\ \mathrm{kmol/h} com composições x^W_A\approx0,\;x^W_B=0{,}0142,\;x^W_C=0{,}8790,\;x^W_D=0{,}1066.
b) Número mínimo de estágios (Fenske, refluxo total): N_{\min}=9{,}34 (≈ 10 estágios inteiros se for necessário arredondar).
c) Razão de refluxo mínima (Underwood): R_{\min}\approx 2{,}60.
d) Número de estágios para R=1{,}5\,R_{\min} (Gilliland): N\approx 12{,}53 → arredondando para inteiro: N\approx 13 estágios teóricos.

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