100 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} de uma mistura quaternária é destilada a 80 C e 1 atm , que está no seu ponto de bolha e tem a seguinte composição e constante de equilibrio A : \mathrm{x}=0,04 e \mathrm{K}=3,62; B : x=0,4 e K=1,39; C: x=0,5 e K=0,56 e D: x=.0,06 e K=0,23. Pretende-se recuperar 98 \% de B e 1% de C no destilado. Pede-se:
a) Vazões e composições de destilado e resíduo
b) Número mínimo de estágios
c) Razão de refluxo mínima
d) Número de estágios considerando \mathrm{R}=1,5 \mathrm{Rmin}
Passo 1
O enunciado dá uma alimentação de F=100\\ \mathrm{kmol/h} (mistura quaternária) que está no ponto de bolha à temperatura de operação (logo é líquido saturado na alimentação). As composições molares na alimentação e as constantes de equilíbrio K (definidas por \;K_i=\dfrac{y_i}{x_i}\;) são:
\begin{aligned} &98\%\\ \text{de B recuperado no destilado}\\\ &1\%\\ \text{de C no destilado} \end{aligned}
O problema pede, explicitamente:
a) vazões e composições do destilado (D) e do resíduo (W);
b) número mínimo de estágios (no refluxo infinito / refluxo mínimo de Fenske);
c) razão de refluxo mínima R_{\min} (Underwood);
d) número de estágios para R=1{,}5\,R_{\min} (usando Gilliland).
Observações/assunções necessárias (não foi dada informação adicional no enunciado): para poder fechar os balanços e aplicar Fenske/Underwood/Gilliland, vou tratar o problema como uma destilação ideal com
condensador total (o destilado é o líquido condensado, composição igual à composição do vapor de topo);
definir como componentes-chave para a separação os que o enunciado controla: componente leve-chave (LK) = B (queremos 98% para o topo) e componente pesado-chave (HK) = C (queremos só 1% no topo);
e, para poder calcular vazões sem mais dados, assumir aproximações razoáveis: praticamente todo A vai para o destilado (A é muito mais volátil, K_A grande) e praticamente todo D vai para o resíduo (D é muito pouco volátil, K_D pequeno). Essas aproximações são comuns para fechar o balanço quando só se especificam recuperações de dois componentes-chave. Vou indicar sempre onde foi usada essa hipótese.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro calcular as quantidades (kmol/h) de B e C que vão para o destilado, pois são dadas pelas recuperações:
\begin{aligned} &\text{Quantidade de B no destilado} = 0{,}98\cdot F z_B = 0{,}98\cdot 100\cdot 0{,}40 = 39{,}2\\ \mathrm{kmol/h}.\\[4pt] &\text{Quantidade de C no destilado} = 0{,}01\cdot F z_C = 0{,}01\cdot 100\cdot 0{,}50 = 0{,}5\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}
As quantidades restantes de B e C (que ficam no resíduo) são:
\begin{aligned} &\text{B no resíduo} = F z_B - 39{,}2 = 40 - 39{,}2 = 0{,}8\\ \mathrm{kmol/h}.\\[4pt] &\text{C no resíduo} = F z_C - 0{,}5 = 50 - 0{,}5 = 49{,}5\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}
Para finalizar vazões D e W precisamos do comportamento de A e D. Pela hipótese indicada no Passo 1 (A vai praticamente toda ao topo; D vai praticamente toda ao fundo) temos:
\begin{aligned} &\text{A no destilado} \approx F z_A = 100\cdot 0{,}04 = 4{,}0\\ \mathrm{kmol/h}.\\[4pt] &\text{D no resíduo} \approx F z_D = 100\cdot 0{,}06 = 6{,}0\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}
Agora somamos as quantidades que vão ao destilado para obter D, e ao resíduo para obter W:
(Se preferir pensar por componentes, o resíduo contém 0{,}8 de B, 49{,}5 de C, 6{,}0 de D e aproximadamente 0 de A, que somam 56{,}3.)]
Passo 3
Calcular as composições molares (líquido) do destilado x^D_i (num condensador total o líquido destilado tem a composição do vapor de topo, chamarei de x^D) e do resíduo x^W_i por simples divisão das quantidades:
Para o destilado (dividindo cada quantidade por D=43{,}7):
Esses valores são consistentes com as hipóteses (destilado rico em A e B, resíduo rico em C e D) e usam só as recuperações especificadas mais as hipóteses indicadas.]
Passo 4
Preparação para cálculo do número mínimo de estágios com Fenske: identificar LK e HK e as volatilidades relativas.
Escolhemos como LK (light key) = B e HK (heavy key) = C (porque se quer colocar B no destilado e deixar C no resíduo).
Para aplicar Fenske usamos as volatilidades relativas \alpha_i tomadas em relação ao HK C. Usando K_i fornecidos e K_C=0{,}56:
Interpretação: sob refluxo total (R = ∞) seriam necessários cerca de \,9{,}34 estágios teóricos entre topo e fundo para alcançar a separação desejada entre B e C. Normalmente registra-se N_{\min}=9{,}34 (na prática arredonda-se para cima se for exigir um número inteiro de pratos: mínimo 10 pratos se for contabilizar só inteiros).]
Passo 6
Cálculo da razão de refluxo mínima R_{\min} usando a equação de Underwood (método para sistemas multicomponentes, com alfas constantes).
Resumo do método (didático):
Define-se \alpha_i em relação ao HK (já feitos no Passo 4).
Encontra-se o parâmetro \theta que satisfaz a equação de Underwood:
Essa equação tem várias raízes; para separação com chaves LK e HK escolhe-se a raiz que está entre \alpha_{HK} e \alpha_{LK} — neste caso entre \alpha_C=1 e \alpha_B\approx 2{,}482. (É a raiz que corresponde ao “pinch” no topo).
onde x^D_i são as frações molares do destilado (líquido, do Passo 3).
Resolver numericamente a equação de Underwood para \theta (faço por bisseção/iteração curta):
Usando os z_i e \alpha_i conhecidos, procura-se \theta entre 1{,}0 e 2{,}482. Iterando (mostrei o esquema nos cálculos intermédios) obtém-se
\theta \approx 1{,}843\\ \text{(aprox.)}.
Agora calculamos R_{\min}. Primeiro calcular cada termo \dfrac{\alpha_i}{\alpha_i - \theta} e multiplicar por x^D_i (usando as composições de destilado do Passo 3):
Para A: \dfrac{6{,}4643}{6{,}4643 - 1{,}843} = 1{,}399. Multiplicando por x^D_A=0{,}0915 dá 0{,}12795.
Para B: \dfrac{2{,}4821}{2{,}4821 - 1{,}843} = 3{,}884. Multiplicando por x^D_B=0{,}8963 dá 3{,}483.
Para C: \dfrac{1}{1-1{,}843} = -1{,}185. Multiplicando por x^D_C=0{,}0114 dá -0{,}0135.
Para D: o termo é pequeno porque x^D_D\approx 0; contribui praticamente zero.
Interpretação: com R<R_{\min} a separação desejada não é possível; o refluxo mínimo necessário para obter essas especificações é aproximadamente R_{\min}=2{,}60 (razão refluxo = L/D).
Passo 7
Escolher R pedido na alínea (d): R=1{,}5\,R_{\min}.
R = 1{,}5\times 2{,}5974 = 3{,}8961 \approx 3{,}896.
(Arredondo para uso prático: R\approx 3{,}90.)
Passo 8
Cálculo do número de estágios para R=1{,}5\,R_{\min} usando a correlação de Gilliland (correlação empírica que relaciona aumento de refluxo sobre o mínimo ao aumento de número de pratos sobre o mínimo). A forma prática que eu uso (fórmula aproximada equivalente ao gráfico de Gilliland) é:
Na prática conta-se um número inteiro de pratos, então arredonda-se para cima: N \approx 13 pratos teóricos.
Passo 9
Resumo interpretativo rápido (para garantir que você saiu do desespero):
Fizemos os balanços usando as recuperações de B e C e a hipótese razoável de que A vai ao topo e D ao fundo.
Aplicamos Fenske (Nmin), Underwood (Rmin) e Gilliland (N para R=1{,}5R_{\min}). Estas são as ferramentas clássicas e rápidas para estimar projeto teórico de uma coluna quando há constantes de equilíbrio dadas.
Resposta
a) D = 43{,}7\\ \mathrm{kmol/h} com composições x^D_A=0{,}0915,\;x^D_B=0{,}8963,\;x^D_C=0{,}0114,\;x^D_D\approx0.
W = 56{,}3\\ \mathrm{kmol/h} com composições x^W_A\approx0,\;x^W_B=0{,}0142,\;x^W_C=0{,}8790,\;x^W_D=0{,}1066.
b) Número mínimo de estágios (Fenske, refluxo total): N_{\min}=9{,}34 (≈ 10 estágios inteiros se for necessário arredondar).
c) Razão de refluxo mínima (Underwood): R_{\min}\approx 2{,}60.
d) Número de estágios para R=1{,}5\,R_{\min} (Gilliland): N\approx 12{,}53 → arredondando para inteiro: N\approx 13 estágios teóricos.