Uma mistura de alcanos a 25^{\circ} \mathrm{C} vai ser separada por destilação continua, a 4,5 bar. A alimentação consiste em um líquido saturado com uma vazão 1200 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} e de composição indicada abaixo. O resíduo deve ter composição máxima de propano de 0,5 \mathrm{mol} \% e pretende-se recuperar 96% do n-butano nesta corrente. Calcule:
a) As composições e as vazões de destilado e do resíduo
b) O número mínimo de estágios
c) O refluxo mínimo
d) Número de estágios reais para um refluxo 2 x o mínimo

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
\text{(a) \,composições e vazões do destilado e do resíduo;}çõõí
\text{(b) \,número mínimo de estágios;}úíá
\text{\text{(c)} \,refluxo mínimo;}í
\text{(d) \,número de estágios reais para }R=2R_{\min}.úá
Dados fornecidos no enunciado:
F = 1200\\ \text{kmol/h (alimentação, líquido saturado a }25^\circ\text{C}),\quad P = 4{,}5\\ \text{bar},çãí
a alimentação é um líquido saturado (portanto q=1), o resíduo deve ter no máximo propano 0{,}5\\ \mathrm{mol}\% (ou seja x_{C3}^B \le 0{,}005) e pretende-se recuperar 96\% do n-butano na corrente de destilado (isto é \text{rec}_{C4}=0{,}96).
Informação faltante e crítica para cálculo numérico: o enunciado menciona “composição indicada abaixo”, mas essa tabela de composição da alimentação não foi enviada. Para calcular numericamente (a)–(d) também são necessários dados de equilíbrio (por exemplo, volatilidades relativas \alpha_{i} ou pressões de vapor/constantes de Antoine) ou a suposição de idealidade com saturação de vapor à pressão dada. Sem a composição da alimentação e sem as volatilidades/constantes, não é possível obter valores numéricos finais.
Nos passos seguintes eu explico passo a passo o método completo que você deve aplicar (com todas as fórmulas e interpretação física) para fazer os cálculos quando tiver a composição e/ou os dados de VLE — assim você consegue reproduzir ou inserir os números na calculadora/projeto da prova.

Passo 2

Definição das incógnitas e equações de balanço (a base para a parte (a)). Vou explicar tudo devagarinho para depois você aplicar com os números.
Defina as variáveis:
D = \text{vazão do destilado (kmol/h)},\quad B = \text{vazão do resíduo (kmol/h)},ããí
para cada componente i (ex.: i= propano, n-butano, n-pentano, etc.) seja
z_i = \text{fração molar do componente }i\text{ na alimentação},çãçã
x_i^B = \text{fração molar do componente }i\text{ no resíduo (bottoms)},çãí
y_i^D = \text{fração molar do componente }i\text{ no destilado (top)}.çã
Equações fundamentais (muito importantes, decore o raciocínio):
  • Balanço total de matéria:
F = D + B.
  • Balanço de componente i:
F z_i = D y_i^D + B x_i^B.
  • Especificação de recuperação do n-butano (chame o n-butano de componente k):
\frac{D\,y_k^D}{F\,z_k} = 0{,}96.
  • Especificação do propano (chame o propano de componente j): requisito do resíduo
x_j^B \le 0{,}005.
Interpretação operativa: se você souber y_k^D (a fração do n-butano no destilado) e x_j^B (a fração do propano no resíduo, aqui limite 0{,}005), então as equações acima permitem resolver D e B. Mas normalmente y e x nas correntes só se obtêm a partir das relações de equilíbrio vapor–líquido e do traçado da coluna — por isso a necessidade de VLE/α.

Passo 3

Como obter as composições y_i^D e x_i^B (parte termodinâmica / VLE) — explico as ideias e fórmula de uso prático.
Conceito chave: equilíbrio líquido–vapor de cada estágio relaciona a composição vapor y_i com a composição líquida x_i através dos coeficientes de equilíbrio K_i:
y_i = K_i x_i.
Para misturas ideais de hidrocarbonetos (alcanos), e com baixa não-idealidade, uma aproximação comum é a Lei de Raoult ideal:
K_i \approx \frac{p_i^\text{sat}(T)}{P},
onde p_i^\text{sat}(T) é a pressão de vapor do componente i à temperatura do estágio e P é pressão total (aqui 4{,}5\\ \text{bar}). Então:
y_i \approx x_i \frac{p_i^\text{sat}(T)}{P}.
O que isso significa na prática:
  • Para obter y_i^D (composição do topo), você precisa da composição líquida do último prato de topo x_i^\text{top} e então aplicar y_i = K_i x_i. Em operação real, a temperatura no topo ajusta-se para que a soma \sum_i y_i = 1.
  • Em resumo: para obter x^B e y^D é preciso resolver o balanço da coluna com as condições de equilíbrio (McCabe–Thiele gráfico para sistemas binários ou cálculo por etapas para multicomponentes). Isso exige K_i (ou \alpha) para os componentes envolvidos.
Observação prática e simplificação de prova: frequentemente a prova foca em dois “componentes chave” (light key LK e heavy key HK). Se isso for o caso, pode-se tratar o processo com aproximações por volatilidade relativa constante \alpha_{LK,HK}, o que facilita usar as fórmulas-lancheira que aparecem abaixo.

Passo 4

Cálculo das vazões D e B quando você já tem as composições do destilado e bottoms (como aplicar as equações do Passo 2). Exemplo do procedimento algébrico:
  • A partir da recuperação de n-butano,
D\,y_{C4}^D = 0{,}96\,F\,z_{C4}.
Assim,
D = \frac{0{,}96\,F\,z_{C4}}{y_{C4}^D}.
  • A partir do balanço total:
B = F - D.
  • Verificação com o balanço do propano:
F z_{C3} = D y_{C3}^D + B x_{C3}^B.
Aqui você impõe x_{C3}^B = 0{,}005 (ou menor) e verifica compatibilidade; se não for compatível, precisa ajustar o especificado y_{C3}^D ou a operação da coluna (ou então o objetivo não é factível com a recuperação pedida).
Resumo prático: para (a) — composições e vazões — precisa primeiro obter y^D (destilado) e x^B (bottoms) a partir do modelo VLE/coluna e então aplicar os balanços acima.

Passo 5

Número mínimo de estágios N_{\min}: método Fenske (válido para separação entre uma chave leve LK e uma chave pesada HK com volatilidade constante). Eu explico a fórmula, cada termo, e como usá-la.
Fórmula de Fenske (número mínimo de pratos teóricos a refluxo total):
N_{\min} = \frac{\ln\left(\dfrac{x_{D,\mathrm{LK}}/x_{D,\mathrm{HK}}}{x_{B,\mathrm{LK}}/x_{B,\mathrm{HK}}}\right)}{\ln\left(\alpha_{\mathrm{LK,HK}}\right)}.
O que significa cada termo:
  • x_{D,\mathrm{LK}} e x_{D,\mathrm{HK}} são as frações molares do light key e do heavy key no destilado. Em muitos problemas, o destilado é praticamente rico em LK, então x_{D,\mathrm{LK}} será alto (ex.: 0{,}9).
  • x_{B,\mathrm{LK}} e x_{B,\mathrm{HK}} são as frações molares no resíduo (bottoms). No seu caso, o LK poderia ser o n-butano e o HK o propano ou vice-versa — você decide as chaves conforme o que se quer separar. Escolha as chaves de modo que o LK seja o componente mais volátil que queremos concentrar no destilado.
  • \alpha_{\mathrm{LK,HK}} é a volatilidade relativa média (assumida constante) entre LK e HK:
\alpha_{\mathrm{LK,HK}} = \frac{K_{\mathrm{LK}}}{K_{\mathrm{HK}}} \approx \frac{p_{\mathrm{LK}}^\text{sat}}{p_{\mathrm{HK}}^\text{sat}}.
Como usar: com x_{D} e x_{B} conhecidas (obtidas por VLE/objetivo de separação) e \alpha calculada à temperatura média de operação, usa-se a fórmula acima para obter N_{\min}. Essa é a menor quantidade de estágios teóricos que permite a separação dada em refluxo total (R→∞).

Passo 6

Refluxo mínimo R_{\min}: ideia e roteiro (Underwood). Eu explico a intuição, os passos numéricos e o que precisa ser calculado. Não apresento uma dedução lunga nem fórmulas obscuras — apresento o procedimento prático que se aplica em prova.
Intuição: o refluxo mínimo é o menor refluxo que permite alcançar a composição do destilado desejada com um número infinito de estágios teóricos; para calculá-lo com multicomponentes usa-se o método de Underwood. Passos práticos:
  1. Escolha as chaves (LK e HK) e compute as volatilidades relativas \alpha_i de todos os componentes em relação ao LK:
\alpha_i = \frac{K_i}{K_{\mathrm{LK}}}.
  1. Para um dado conjunto z_i de alimentação e sabendo que q=1 (alimentação líquido saturado), resolve-se numericamente a equação de Underwood para obter a raiz \theta (essa equação envolve as \alpha_i e as frações z_i). A forma a resolver numericamente é padrão em livros e softwares de separação. (Observação: a solução exige somar termos do tipo \dfrac{z_i \alpha_i}{\alpha_i - \theta} e achar \theta que satisfaça a igualdade correspondente ao especificado conjunto de chaves.)
  2. Com a raiz \theta obtida, calcula-se R_{\min} usando a expressão de Underwood que, na prática, toma a forma de uma soma ponderada dos termos \dfrac{\alpha_i x_{D,i}}{\alpha_i - \theta} menos 1; ou ainda a forma equivalente que aparece em tabelas/textos. Em muitos exercícios de prova essa soma se reduz a uma expressão simples porque poucos termos dominam.
    Observação importante: o cálculo exato exige escrita da equação de Underwood correta e solução numérica — por isso em prova normalmente te dão volatilidades ou pedem procedimento. Se você quiser, eu posso mostrar a equação exata e a resolução numérica assim que você enviar a composição da alimentação; por ora o importante é saber que Underwood é o método obrigatório para R_{\min} em multicomponentes.

Passo 7

Número de estágios reais para um refluxo R dado (Gilliland). Depois de ter N_{\min} e R_{\min}, o método empírico mais usado para estimar o número de pratos teóricos N para um refluxo finito é a correlação de Gilliland (gráfico ou formulação empírica). Procedimento prático:
  1. Calcule
X = \frac{R - R_{\min}}{R + 1},
Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1}.
  1. A correlação de Gilliland dá uma relação entre X e Y que normalmente é usada via gráfico, mas existe uma forma aproximada numérica (Eduljee, Molokanov ou aproximações empíricas) que permite calcular Y a partir de X. Uma forma aproximada útil é:
Y \approx 1 - \exp\!\Big(-1{,}33\,X^{0{,}75}\Big) \quad\text{(aproximação prática; use gráfico para maior precisão).}çãááã
  1. Resolva para N:
N = \frac{N_{\min} + Y}{1 - Y}.
Aplicação ao seu caso: se te derem R=2R_{\min}, primeiro computa X com R=2R_{\min}, obtém Y pela correlação, e daí N. Atenção: essa é uma estimativa de estágios teóricos; para obter estágios reais (com eficiência de prato), divide-se pelo rendimento de prato (ex.: eficiência de Murphree) se fornecido.

Passo 8

Resumo prático do algoritmo completo (passo a passo que você deve aplicar na prova assim que tiver a composição):
  1. Identifique LK (light key) e HK (heavy key) — aqui muito provavelmente LK = propano e HK = n-butano ou vice-versa; decida conforme volatilidades.
  2. Calcule ou obtenha as volatilidades/coeficientes K_i (ou pressões de vapor via Antoine) à pressão de operação P=4{,}5\\ \text{bar}. Para alcanos puros, use Raoult se a mistura for ideal: K_i = p_i^\text{sat}/P.
  3. Use VLE / balanço de estágio ou aproximação de chaves para obter x_{D,\text{chaves}} e x_{B,\text{chaves}}. No caso do enunciado temos restrições: x_{C3}^B \le 0{,}005 e \dfrac{D y_{C4}^D}{F z_{C4}} = 0{,}96. Combine com balanços do Passo 2 para encontrar D e B.
  4. Use Fenske (Passo 5) para obter N_{\min}.
  5. Use Underwood (Passo 6) para obter R_{\min} (resolver numericamente a equação de Underwood).
  6. Use Gilliland (Passo 7) com R=2R_{\min} para estimar N (número de estágios teóricos) e, se necessário, converta para estágios reais aplicando eficiência de estágio.
    Se quiser, quando me enviar a composição z_i da alimentação e, se possível, as constantes de Antoine (ou pelo menos os dados de p_i^\text{sat} à faixa de operação), eu aplico imediatamente esse algoritmo e entrego todos os números pedidos.

Passo 9

Dicas para a prova e erros comuns (ponto prático, para não se enrolar):
  • Verifique unidades: p^\text{sat} normalmente em bar ou kPa; converta para a mesma unidade de P.
  • Ao usar Fenske, as composições x_{D} e x_{B} no numerador/denominador devem ser das chaves (frações molares, não percentagens).
  • Se a alimentação for saturada líquida, q=1 simplifica Underwood (mas ainda exige solução numérica).
  • Se na prova os dados de volatilidade não forem dados, normalmente assumem \alpha constantes ou fornecem tabela simplificada; não invente números.
  • Se o enunciado tiver múltiplos componentes além de C3 e C4, a metodologia multicomponente (Underwood/Fenske/Gilliland) é a correta; para binário use McCabe–Thiele (gráfico).

Resposta

Não é possível fornecer os valores numéricos de (a)–(d) porque a composição da alimentação (a tabela “indicada abaixo”) e os dados de equilíbrio (volatilidades/pressões de vapor) não foram fornecidos no enunciado. Sem esses dados não se pode calcular as composições x e y, nem D, B, N_{\min}, R_{\min} ou o número de estágios para R=2R_{\min}.

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