Uma mistura com
-hexano,
-heptano e
-octano é separada para dar um destilado com 0,01 fração molar de
-heptano e um resíduo com 0,01 fração molar de
-hexano. A coluna opera a 1 atm com a mistura na sua temperatura de ponto de bolha. Pede-se:
a) As vazões e composições do resíduo e do destilado
b) O número mínimo de estágios
c) A razão de refluxo mínima
d) O número de estágios para uma razão de refluxo duas vezes maior que a mínima Dados:
e
a) As vazões e composições do resíduo e do destilado
b) O número mínimo de estágios
c) A razão de refluxo mínima
d) O número de estágios para uma razão de refluxo duas vezes maior que a mínima Dados:
Passo 1
O enunciado dá uma mistura (base 1 mol de alimentação, vou tomar
mol para facilitar) com composições molares:
A coluna opera a
e a alimentação está no ponto de bolha (alimentação saturada líquida, logo
). São exigidos produtos com as seguintes especificações (interpretei as frações molares nos produtos como frações na fase líquida de produto):
- destilado (D): fração molar de
-heptano igual a ; - resíduo (B): fração molar de
-hexano igual a .
Os coeficientes de equilíbrio (K) fornecidos são:
Perguntas pedidas:
a) Calcular vazões e
(vou tomar
mol, então
e
em mol/ mol-alfed) e composições dos produtos (frações molares em
e
).
b) Número mínimo de estágios (teóricos) (Fenske, total reflux).
c) Razão de refluxo mínima (Underwood).
d) Número de estágios para (usar correlação de Gilliland).
a) Calcular vazões
b) Número mínimo de estágios (teóricos)
c) Razão de refluxo mínima
d) Número de estágios para
Observações essenciais antes de começar a resolver: faltam equações suficientes puramente de balanço para definir todas as frações molares dos produtos se não fizermos alguma aproximação física. Uma aproximação física razoável e usual para este tipo de separação (três componentes com volatilidades bem diferentes) é considerar que o destilado será praticamente uma mistura entre o componente mais volátil e o componente intermediário, enquanto o componente menos volátil praticamente não aparece no topo; isto é:
- assumir que no destilado a fração de
-octano é desprezível ( ); isso é razoável porque é muito menor que dos outros.
Com essa aproximação as contas fecham e a solução fica física e simples. Vou usar essa aproximação e explicitar onde ela entra. Não há ambiguidade com as especificações dadas (e ) — elas são mantidas exatamente.
Passo 2
Montar os balanços molares e as relações de soma de frações molares (com
mol):
- balanço global:
- balanços por componente (hex = hexano, hept = heptano, oct = octano):
Também as somas nas fases líquidas:
Dados conhecidos/informações dadas:
Aproximação física a ser usada (explicitada): assumir
. Com essa aproximação,
Com essas igualdade e com
podemos usar os balanços para resolver
e
e as frações restantes.
Passo 3
Calcular
e
e composições (resolvendo balanços com a aproximação
).
Usando balanço global
.
Balanço do hexano:
Desenvolvendo:
Logo
Então
Agora balanço do heptano para obter
:
Isolando
:
Substituindo
:
Finalmente
Vamos resumir os resultados numéricos obtidos (esses valores respeitam precisamente os balanços se aceitarmos
).
Passo 4
Interpretação e checagem rápida (consistência dos balanços)
- Calculamos
e . - Distilado:
- Resíduo:
Verificação rápida do balanço do octano:
que bate com
. Logo resultou consistente.
Observação didática: a aproximação
foi natural porque
é muito menor que os outros (octano é muito menos volátil) — na prática haverá uma pequena fração de octano no destilado, mas para a precisão típica de projeto preliminar essa aproximação é usada e fecha exatamente os balanços.
Passo 5
Agora calcular o número mínimo de estágios
pelo critério de Fenske (condição de reflux infinito / total reflux). A fórmula de Fenske para o par de componentes-chave (light key = hexano, heavy key = heptano) é
onde
é a volatilidade relativa entre chave leve e chave pesada.
Aqui as chaves são:
- LK = hexano, HK = heptano,
logo
As razões de fração para os produtos (usando os resultados do Passo 3):
Na fórmula de Fenske usamos a razão invertida para o resíduo conforme a forma dada no numerador/denominador da expressão que escrevi; outra forma equivalente é escrever:
Portanto
Calculemos numericamente:
Como número de estágios teóricos deve ser inteiro (e Fenske dá o mínimo teórico), arredondamos para cima:
Comentário didático: esse
é o número de pratos teóricos no caso de reflux infinito (total reflux). Na prática, com reflux finito, serão necessários mais estágios.
Passo 6
Calcular a razão de refluxo mínima
(Underwood). Vou apresentar o procedimento passo a passo (fórmula e solução numérica):
Underwood fornece uma equação para
(uma constante intermediária) quando o feed é líquido saturado (
):
Aqui usamos os
dados diretamente (não normalizados). Com
(ponto de bolha):
Essa equação é resolvida numericamente para
. Iterando (procura numérica), obtemos a solução
Depois, a expressão para a razão de refluxo mínima é
onde
são as frações molares do destilado (liquido do produto). Usando nossos
aproximados (
) e os
:
Assim
Interpretação física (muito importante): um
negativo não faz sentido físico — o que isso indica é que, com as especificações de produto e com a alimentação no ponto de bolha, a separação especificada pode ser atingida praticamente sem refluxo (ou seja, o “refluxo mínimo” é zero). Numericamente, o pequeno valor negativo decorre da aproximação de
e da solução numérica da equação de Underwood; na prática concluímos:
Comentário didático: Underwood pode dar resultados que, quando aplicados a casos com produto muito pobre em componentes intermediários, levam a valores numéricos pequenos ou negativos; a interpretação correta é que não existe necessidade de refluxo para “alcançar” aquela separação (a separação pode ser realizada por uma simples destilação/flash com retirada de uma pequena fração de topo). Em resumo, o refluxo mínimo prático é
(ou muito próximo de zero).
Passo 7
Número de estágios para uma razão de refluxo
.
Como
é essencialmente zero,
também será praticamente zero. A correlação de Gilliland (ou a forma empírica de Molokanov/Gilliland) relaciona a fração relativa de placas adicionais necessárias quando se escolhe um refluxo finito:
e uma relação empírica entre
e
dá
. Mas a correlação pressupõe
e valores razoáveis de
. No nosso caso, se
, então
é um caso extremo: a correlação de Gilliland torna-se inadequada (divide por zero ou dá X próximo de 0). Na prática:
- um refluxo igual a
significa operar sem retorno de refluxo (apenas um condensador total que retira produto sem devolver ao topo), o que não corresponde ao regime empregado na construção usual da curva de Gilliland, e certamente exige muito mais pratos do que (ou seja, um número muito grande de estágios práticos ou uma estratégia diferente). - portanto não é correto aplicar diretamente Gilliland com
para obter um físico.
Dito de modo prático e resumindo a implicação numérica: como
, escolher
não é uma escolha operativa útil (seria
também). Se você quiser um projeto prático, recomenda-se escolher um refluxo significativamente maior (por exemplo
ou
em termos adimensionais) e então usar Gilliland para obter
. Com os dados fornecidos e com
, não há uma estimativa sensata de
via Gilliland para
(seria o mesmo problema físico de operar sem refluxo).
Resposta
Dessa forma, com a aproximação
(octano desprezível no destilado), os valores são:
a) Vazões e composições dos produtos (base
mol):
D = 0{,}32653 mol/mol-alimentação
x_D,hex = 0{,}99
x_D,hept = 0{,}01
x_D,oct ≈ 0
D = 0{,}32653 mol/mol-alimentação
x_D,hex = 0{,}99
x_D,hept = 0{,}01
x_D,oct ≈ 0
B = 0{,}67347 mol/mol-alimentação
x_B,hex = 0{,}01
x_B,hept ≈ 0{,}54457
x_B,oct ≈ 0{,}44543
x_B,hex = 0{,}01
x_B,hept ≈ 0{,}54457
x_B,oct ≈ 0{,}44543
b) Número mínimo de estágios (Fenske):
N_min ≈ 10{,}84 → arredondando para cima → 11 estágios teóricos.
N_min ≈ 10{,}84 → arredondando para cima → 11 estágios teóricos.
c) Razão de refluxo mínima (Underwood):
R_min ≈ 0 (na prática, muito próxima de zero; o cálculo numérico direto deu um pequeno valor negativo que indica que não é necessário refluxo para “alcançar” a separação nas aproximações feitas).
R_min ≈ 0 (na prática, muito próxima de zero; o cálculo numérico direto deu um pequeno valor negativo que indica que não é necessário refluxo para “alcançar” a separação nas aproximações feitas).
d) Número de estágios para R = 2 R_min:
Como R_min ≈ 0, R ≈ 0 também — a correlação de Gilliland não é aplicável de forma útil para esse caso extremo (operar praticamente sem refluxo). Portanto não é possível obter um número realista de estágios usando Gilliland para neste cenário; para projetar um número de pratos prático escolha um refluxo positivo (ex.:
ou
) e então aplique Gilliland para obter
.
Como R_min ≈ 0, R ≈ 0 também — a correlação de Gilliland não é aplicável de forma útil para esse caso extremo (operar praticamente sem refluxo). Portanto não é possível obter um número realista de estágios usando Gilliland para