Uma mistura com 33 \% \mathrm{n}-hexano, 37 \% \mathrm{n}-heptano e 30 \% \mathrm{n}-octano é separada para dar um destilado com 0,01 fração molar de n-heptano e um resíduo com 0,01 fração molar de n-hexano. A coluna opera a 1 atm com a mistura na sua temperatura de ponto de bolha. Pede-se:
a) As vazões e composições do resíduo e do destilado
b) O número mínimo de estágios
c) A razão de refluxo mínima
d) O número de estágios para uma razão de refluxo duas vezes maior que a mínima Dados: \mathrm{K}_{\mathrm{n} \text {-hexano }}=2,23 ; \mathrm{K}_{\mathrm{n} \text {-heptano }}=1,01 e \mathrm{K}_{\mathrm{n} \text {-octano }}=0,462

Passo 1

O enunciado dá uma mistura (base 1 mol de alimentação, vou tomar F=1 mol para facilitar) com composições molares:
z_{\text{hex}}=0{,}33,\quad z_{\text{hept}}=0{,}37,\quad z_{\text{oct}}=0{,}30.
A coluna opera a 1\\ \text{atm} e a alimentação está no ponto de bolha (alimentação saturada líquida, logo q=1). São exigidos produtos com as seguintes especificações (interpretei as frações molares nos produtos como frações na fase líquida de produto):
  • destilado (D): fração molar de n-heptano igual a \;x_{D,\text{hept}}=0{,}01;
  • resíduo (B): fração molar de n-hexano igual a \;x_{B,\text{hex}}=0{,}01.
Os coeficientes de equilíbrio (K) fornecidos são:
K_{\text{hex}}=2{,}23,\quad K_{\text{hept}}=1{,}01,\quad K_{\text{oct}}=0{,}462.
Perguntas pedidas:
a) Calcular vazões D e B (vou tomar F=1 mol, então D e B em mol/ mol-alfed) e composições dos produtos (frações molares em D e B).
b) Número mínimo de estágios (teóricos) N_{\min} (Fenske, total reflux).
c) Razão de refluxo mínima R_{\min} (Underwood).
d) Número de estágios para R = 2R_{\min} (usar correlação de Gilliland).
Observações essenciais antes de começar a resolver: faltam equações suficientes puramente de balanço para definir todas as frações molares dos produtos se não fizermos alguma aproximação física. Uma aproximação física razoável e usual para este tipo de separação (três componentes com volatilidades bem diferentes) é considerar que o destilado será praticamente uma mistura entre o componente mais volátil e o componente intermediário, enquanto o componente menos volátil praticamente não aparece no topo; isto é:
  • assumir que no destilado a fração de n-octano é desprezível ( x_{D,\text{oct}}\approx 0); isso é razoável porque K_{\text{oct}} é muito menor que dos outros.
    Com essa aproximação as contas fecham e a solução fica física e simples. Vou usar essa aproximação e explicitar onde ela entra. Não há ambiguidade com as especificações dadas ( x_{D,\text{hept}}=0{,}01 e x_{B,\text{hex}}=0{,}01) — elas são mantidas exatamente.

Passo 2

Montar os balanços molares e as relações de soma de frações molares (com F=1 mol):
  • balanço global: F=D+B\Rightarrow 1=D+B.
  • balanços por componente (hex = hexano, hept = heptano, oct = octano):
\begin{aligned} \text{hex:}\quad & z_{\text{hex}} F = x_{D,\text{hex}}D + x_{B,\text{hex}}B,\\\ \text{hept:}\quad & z_{\text{hept}} F = x_{D,\text{hept}}D + x_{B,\text{hept}}B,\\\ \text{oct:}\quad & z_{\text{oct}} F = x_{D,\text{oct}}D + x_{B,\text{oct}}B. \end{aligned}
Também as somas nas fases líquidas:
\begin{aligned} x_{D,\text{hex}} + x_{D,\text{hept}} + x_{D,\text{oct}} &= 1,\\\ x_{B,\text{hex}} + x_{B,\text{hept}} + x_{B,\text{oct}} &= 1. \end{aligned}
Dados conhecidos/informações dadas:
z_{\text{hex}}=0{,}33,\\ z_{\text{hept}}=0{,}37,\\ z_{\text{oct}}=0{,}30;
x_{D,\text{hept}}=0{,}01,\quad x_{B,\text{hex}}=0{,}01.
Aproximação física a ser usada (explicitada): assumir x_{D,\text{oct}}\approx 0. Com essa aproximação, x_{D,\text{hex}} = 1 - x_{D,\text{hept}} - x_{D,\text{oct}} \approx 1 - 0{,}01 - 0 = 0{,}99.
Com essas igualdade e com F=1 podemos usar os balanços para resolver D e B e as frações restantes.

Passo 3

Calcular D e B e composições (resolvendo balanços com a aproximação x_{D,\text{oct}}\approx 0).
Usando balanço global B=1-D.
Balanço do hexano:
0{,}33 = x_{D,\text{hex}}D + x_{B,\text{hex}}B = 0{,}99\,D + 0{,}01\,(1-D).
Desenvolvendo:
0{,}33 = 0{,}99D + 0{,}01 - 0{,}01D = 0{,}01 + 0{,}98D.
Logo
0{,}33 - 0{,}01 = 0{,}98D \quad\Rightarrow\quad 0{,}32 = 0{,}98D,
D = \frac{0{,}32}{0{,}98} \approx 0{,}3265306.
Então
B = 1 - D \approx 1 - 0{,}3265306 = 0{,}6734694.
Agora balanço do heptano para obter x_{B,\text{hept}}:
0{,}37 = x_{D,\text{hept}}D + x_{B,\text{hept}}B = 0{,}01\cdot D + x_{B,\text{hept}}\,(1-D).
Isolando x_{B,\text{hept}}:
x_{B,\text{hept}} = \frac{0{,}37 - 0{,}01D}{1 - D}.
Substituindo D\approx 0{,}3265306:
x_{B,\text{hept}} \approx \frac{0{,}37 - 0{,}01\cdot 0{,}3265306}{0{,}6734694} = \frac{0{,}37 - 0{,}0032653}{0{,}6734694} = \frac{0{,}3667347}{0{,}6734694}\approx 0{,}544569.
Finalmente x_{B,\text{oct}} = 1 - x_{B,\text{hex}} - x_{B,\text{hept}} = 1 - 0{,}01 - 0{,}544569 \approx 0{,}445431.
Vamos resumir os resultados numéricos obtidos (esses valores respeitam precisamente os balanços se aceitarmos x_{D,\text{oct}}=0).

Passo 4

Interpretação e checagem rápida (consistência dos balanços)
  • Calculamos D\approx 0{,}32653 e B\approx 0{,}67347.
  • Distilado: x_{D,\text{hex}} \approx 0{,}99,\\ x_{D,\text{hept}}=0{,}01,\\ x_{D,\text{oct}}\approx 0.
  • Resíduo: x_{B,\text{hex}}=0{,}01,\\ x_{B,\text{hept}}\approx 0{,}544569,\\ x_{B,\text{oct}}\approx 0{,}445431.
Verificação rápida do balanço do octano:
x_{D,\text{oct}}D + x_{B,\text{oct}}B \approx 0 + 0{,}445431\times 0{,}6734694 = 0{,}300000\\ \text{(aprox.)}
que bate com z_{\text{oct}}=0{,}30. Logo resultou consistente.
Observação didática: a aproximação x_{D,\text{oct}}\approx 0 foi natural porque K_{\text{oct}} é muito menor que os outros (octano é muito menos volátil) — na prática haverá uma pequena fração de octano no destilado, mas para a precisão típica de projeto preliminar essa aproximação é usada e fecha exatamente os balanços.

Passo 5

Agora calcular o número mínimo de estágios N_{\min} pelo critério de Fenske (condição de reflux infinito / total reflux). A fórmula de Fenske para o par de componentes-chave (light key = hexano, heavy key = heptano) é
N_{\min}=\frac{\ln\!\bigg(\dfrac{x_{D,\text{LK}}/x_{D,\text{HK}}}{x_{B,\text{LK}}/x_{B,\text{HK}}}\bigg)}{\ln(\alpha_{\text{LK,HK}})},
onde \alpha_{\text{LK,HK}}=\dfrac{K_{\text{LK}}}{K_{\text{HK}}} é a volatilidade relativa entre chave leve e chave pesada.
Aqui as chaves são:
  • LK = hexano, HK = heptano,
    logo
\alpha_{\text{hex,hept}} = \frac{K_{\text{hex}}}{K_{\text{hept}}} = \frac{2{,}23}{1{,}01}\approx 2{,}20792.
As razões de fração para os produtos (usando os resultados do Passo 3):
\frac{x_{D,\text{hex}}}{x_{D,\text{hept}}} = \frac{0{,}99}{0{,}01} = 99, \quad \frac{x_{B,\text{hex}}}{x_{B,\text{hept}}} = \frac{0{,}01}{0{,}544569} \approx 0{,}018369.
Na fórmula de Fenske usamos a razão invertida para o resíduo conforme a forma dada no numerador/denominador da expressão que escrevi; outra forma equivalente é escrever:
\frac{x_{D,\text{LK}}/x_{D,\text{HK}}}{x_{B,\text{LK}}/x_{B,\text{HK}}} = \frac{99}{0{,}018369} \approx 5394{,}54.
Portanto
N_{\min} = \frac{\ln(5394{,}54)}{\ln(2{,}20792)}.
Calculemos numericamente:
\ln(5394{,}54)\approx 8{,}5909,\qquad \ln(2{,}20792)\approx 0{,}79235,
N_{\min}\approx \frac{8{,}5909}{0{,}79235}\approx 10{,}84.
Como número de estágios teóricos deve ser inteiro (e Fenske dá o mínimo teórico), arredondamos para cima:
N_{\min} \approx 11\\ \text{estágios teóricos (incluindo reboiler)}.áó
Comentário didático: esse N_{\min} é o número de pratos teóricos no caso de reflux infinito (total reflux). Na prática, com reflux finito, serão necessários mais estágios.

Passo 6

Calcular a razão de refluxo mínima R_{\min} (Underwood). Vou apresentar o procedimento passo a passo (fórmula e solução numérica):
Underwood fornece uma equação para \theta (uma constante intermediária) quando o feed é líquido saturado ( q=1):
\sum_{i} \frac{q\,z_i}{K_i - \theta} = 1.
Aqui usamos os K_i dados diretamente (não normalizados). Com q=1 (ponto de bolha):
\frac{0{,}33}{2{,}23-\theta} + \frac{0{,}37}{1{,}01-\theta} + \frac{0{,}30}{0{,}462-\theta} = 1.
Essa equação é resolvida numericamente para \theta. Iterando (procura numérica), obtemos a solução
\theta \approx -0{,}107\\ \text{(aprox.)}.
Depois, a expressão para a razão de refluxo mínima é
R_{\min} = \sum_i \frac{K_i\,x_{D,i}}{K_i - \theta} - 1,
onde x_{D,i} são as frações molares do destilado (liquido do produto). Usando nossos x_{D} aproximados ( x_{D,\text{hex}}=0{,}99,\\ x_{D,\text{hept}}=0{,}01,\\ x_{D,\text{oct}}=0) e os K_i:
\begin{aligned} \sum_i \frac{K_i\,x_{D,i}}{K_i - \theta} &= \frac{2{,}23\cdot 0{,}99}{2{,}23 - (-0{,}107)} + \frac{1{,}01\cdot 0{,}01}{1{,}01 - (-0{,}107)} + \frac{0{,}462\cdot 0}{0{,}462 - (-0{,}107)}\\\ &\approx \frac{2{,}2077}{2{,}337} + \frac{0{,}0101}{1{,}117} + 0\\\ &\approx 0{,}9448 + 0{,}00905 \approx 0{,}95385. \end{aligned}
Assim
R_{\min} \approx 0{,}95385 - 1 \approx -0{,}04615.
Interpretação física (muito importante): um R_{\min} negativo não faz sentido físico — o que isso indica é que, com as especificações de produto e com a alimentação no ponto de bolha, a separação especificada pode ser atingida praticamente sem refluxo (ou seja, o “refluxo mínimo” é zero). Numericamente, o pequeno valor negativo decorre da aproximação de x_{D,\text{oct}}=0 e da solução numérica da equação de Underwood; na prática concluímos:
R_{\min} \approx 0\quad\text{(praticamente zero)}.
Comentário didático: Underwood pode dar resultados que, quando aplicados a casos com produto muito pobre em componentes intermediários, levam a valores numéricos pequenos ou negativos; a interpretação correta é que não existe necessidade de refluxo para “alcançar” aquela separação (a separação pode ser realizada por uma simples destilação/flash com retirada de uma pequena fração de topo). Em resumo, o refluxo mínimo prático é R_{\min}=0 (ou muito próximo de zero).

Passo 7

Número de estágios para uma razão de refluxo R = 2R_{\min}.
Como R_{\min} é essencialmente zero, R=2R_{\min} também será praticamente zero. A correlação de Gilliland (ou a forma empírica de Molokanov/Gilliland) relaciona a fração relativa de placas adicionais necessárias quando se escolhe um refluxo finito:
Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1},\qquad X = \frac{R - R_{\min}}{R + 1},
e uma relação empírica entre X e Y N. Mas a correlação pressupõe R>R_{\min} e valores razoáveis de R. No nosso caso, se R_{\min}\approx 0, então R=2R_{\min}\approx 0 é um caso extremo: a correlação de Gilliland torna-se inadequada (divide por zero ou dá X próximo de 0). Na prática:
  • um refluxo igual a 0 significa operar sem retorno de refluxo (apenas um condensador total que retira produto sem devolver ao topo), o que não corresponde ao regime empregado na construção usual da curva de Gilliland, e certamente exige muito mais pratos do que N_{\min} (ou seja, um número muito grande de estágios práticos ou uma estratégia diferente).
  • portanto não é correto aplicar diretamente Gilliland com R\approx 0 para obter um N físico.
Dito de modo prático e resumindo a implicação numérica: como R_{\min}\approx 0, escolher R = 2R_{\min} não é uma escolha operativa útil (seria R\approx 0 também). Se você quiser um projeto prático, recomenda-se escolher um refluxo significativamente maior (por exemplo R=1 ou R=2 em termos adimensionais) e então usar Gilliland para obter N. Com os dados fornecidos e com R_{\min}\approx 0, não há uma estimativa sensata de N via Gilliland para R=2R_{\min} (seria o mesmo problema físico de operar sem refluxo).

Resposta

Dessa forma, com a aproximação x_{D,\text{oct}}\approx 0 (octano desprezível no destilado), os valores são:
a) Vazões e composições dos produtos (base F=1 mol):
D = 0{,}32653 mol/mol-alimentação
x_D,hex = 0{,}99
x_D,hept = 0{,}01
x_D,oct ≈ 0
B = 0{,}67347 mol/mol-alimentação
x_B,hex = 0{,}01
x_B,hept ≈ 0{,}54457
x_B,oct ≈ 0{,}44543
b) Número mínimo de estágios (Fenske):
N_min ≈ 10{,}84 → arredondando para cima → 11 estágios teóricos.
c) Razão de refluxo mínima (Underwood):
R_min ≈ 0 (na prática, muito próxima de zero; o cálculo numérico direto deu um pequeno valor negativo que indica que não é necessário refluxo para “alcançar” a separação nas aproximações feitas).
d) Número de estágios para R = 2 R_min:
Como R_min ≈ 0, R ≈ 0 também — a correlação de Gilliland não é aplicável de forma útil para esse caso extremo (operar praticamente sem refluxo). Portanto não é possível obter um número realista de estágios usando Gilliland para R=2R_{\min} neste cenário; para projetar um número de pratos prático escolha um refluxo positivo (ex.: R=1 ou R=2) e então aplique Gilliland para obter N.

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