100 \mathrm{~mol} / \mathrm{s} de uma mistura equimolar de metano (\mathrm{CH} 4) e etano (\mathrm{C} 2 \mathrm{H} 6) são alimentados a um reator com excesso de oxigênio onde ocorre a combustão. A conversāo de passagem única do metano é de 85 % e a conversão de passagem única do etano é de 70 %. O gás do produto, que é 30 % molar de O 2 , é enviado para um separador onde todos os produtos da reação e 20% do metano e etano saem. O metano e etano restantes formam uma corrente de reciclo. 95 mol de CO2 são produzidos para cada 5 mol de CO produzido.
a) Calcule as conversões globais de metano e etano.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular as conversões globais do metano e do etano.
Informações dadas (listei tudo explicitamente):
  • Vazão total da alimentação fresca: 100\\ \mathrm{mol/s} de uma mistura equimolar de metano e etano.
  • Logo, vazão fresca de metano: \,F_{0,\mathrm{CH}_4}=50\\ \mathrm{mol/s}.
  • Vazão fresca de etano: \,F_{0,\mathrm{C_2H_6}}=50\\ \mathrm{mol/s}.
  • Conversão de passagem única (no reator) do metano: \,X_{\text{pass},\mathrm{CH}_4}=85\%.
  • Conversão de passagem única (no reator) do etano: \,X_{\text{pass},\mathrm{C_2H_6}}=70\%.
  • O gás do produto é enviado a um separador onde: todos os produtos da reação são removidos e 20\% do metano e do etano saem do sistema (ou seja, 20\% dos hidrocarbonetos não reagidos são retirados na corrente de purga) e os restantes 80\% do metano e etano formam a corrente de reciclo.
  • Informação extra (provavelmente não necessária para (a) mas presente no enunciado): a razão de produção de \mathrm{CO_2} para \mathrm{CO} é 95:5.
Observação: a partir daí vamos fazer balanços para cada hidrocarboneto separadamente, considerando a reciclagem de 80\% do não reagido.

Passo 2

Definições e notação (vou explicar bem, passo a passo):
  • Definição de conversão de passagem única: para uma espécie, \,X_{\text{pass}} é a fração da quantidade que entra no reator e reage durante essa única passagem.
    • Ex.: \,X_{\text{pass}}=0{,}85 significa que 85\% do que entra no reator reage nessa passagem e 15\% sai não reagido.
  • Definição de conversão global: \,X_{\text{global}} é a fração da alimentação fresca que, no balanço em regime permanente com reciclo, acaba reagindo (considerando todas as passagens possíveis devido à reciclagem).
  • Notação que usaremos:
    • \,F_0 = vazão fresca da espécie (mol/s).
    • \,F_r = vazão que entra no reator (mol/s) — isto é, fresca + reciclo.
    • \,X_{\text{pass}} = conversão por passagem.
    • \,\alpha = fração do não reagido que é reciclada (aqui \alpha=0{,}80).
    • \,X_{\text{global}}=\dfrac{\text{mol reagidos por unidade de tempo}}{F_0}.
Vou mostrar o balanço e a fórmula geral que permite calcular a conversão global a partir dos dados.

Passo 3

Balanço para a espécie (derivação da fórmula):
  • Quantidade que sai do reator não reagida por unidade de tempo: (1-X_{\text{pass}})\,F_r.
  • Dessas, a fração \alpha vai para reciclo; então a vazão reciclada é
\alpha\,(1-X_{\text{pass}})\,F_r.
  • Em regime permanente, a vazão que entra no reator é a soma da vazão fresca mais a vazão reciclada:
F_r = F_0 + \alpha\,(1-X_{\text{pass}})\,F_r.
  • Isolando F_r:
F_r\bigl[1 - \alpha(1-X_{\text{pass}})\bigr] = F_0,
portanto
F_r = \dfrac{F_0}{1 - \alpha(1-X_{\text{pass}})}.
  • A vazão que reage por unidade de tempo é X_{\text{pass}}\,F_r. Logo a conversão global (fração da fresca que reage) é
X_{\text{global}} = \dfrac{X_{\text{pass}}\,F_r}{F_0} = \dfrac{X_{\text{pass}}}{1 - \alpha(1-X_{\text{pass}})}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar para cada hidrocarboneto. Repare que faz sentido: se \alpha=0 (sem reciclo) então X_{\text{global}}=X_{\text{pass}}; se \alpha>0 a conversão global aumenta.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao metano: explico cada número e conto passo a passo.
  • Dados para o metano: \,X_{\text{pass},\mathrm{CH}_4}=0{,}85 e \,\alpha=0{,}80.
  • Primeiro calcule o denominador:
1 - \alpha(1-X_{\text{pass},\mathrm{CH}_4}) = 1 - 0{,}80\cdot(1 - 0{,}85).
  • Calcule 1 - 0{,}85 = 0{,}15.
  • Então \,0{,}80\cdot 0{,}15 = 0{,}12.
  • Logo o denominador é 1 - 0{,}12 = 0{,}88.
  • Agora a conversão global:
X_{\text{global},\mathrm{CH}_4} = \dfrac{0{,}85}{0{,}88}.

Passo 5

Continuação do cálculo do metano (divisão e interpretação):
  • Faça a divisão \dfrac{0{,}85}{0{,}88}. Um jeito rápido é reconhecer que \dfrac{85}{88}\approx 0{,}965909\ldots.
  • Arredondando a quatro casas decimais: X_{\text{global},\mathrm{CH}_4}\approx 0{,}9659.
  • Em porcentagem: X_{\text{global},\mathrm{CH}_4}\approx 96{,}59\%.
Comentário curto: faz sentido que a conversão global seja maior que 85\% porque parte do metano não reagido é reciclada e tem novas chances de reagir.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao etano com passos análogos:
  • Dados para o etano: \,X_{\text{pass},\mathrm{C_2H_6}}=0{,}70 e \alpha=0{,}80.
  • Denominador:
1 - \alpha(1-X_{\text{pass},\mathrm{C_2H_6}}) = 1 - 0{,}80\cdot(1 - 0{,}70).
  • Calcule 1 - 0{,}70 = 0{,}30.
  • Então 0{,}80\cdot 0{,}30 = 0{,}24.
  • Denominador = 1 - 0{,}24 = 0{,}76.
  • Conversão global:
X_{\text{global},\mathrm{C_2H_6}} = \dfrac{0{,}70}{0{,}76}.

Passo 7

Continuação do cálculo do etano (divisão e resultado):
  • Dividindo \dfrac{0{,}70}{0{,}76} obtemos aproximadamente 0{,}9210526\ldots.
  • Arredondando a quatro casas decimais: X_{\text{global},\mathrm{C_2H_6}}\approx 0{,}9211.
  • Em porcentagem: X_{\text{global},\mathrm{C_2H_6}}\approx 92{,}11\%.

Passo 8

Pequena verificação e interpretação final (para te deixar confiante):
  • Resultado faz sentido qualitativamente: ambas conversões globais são maiores que suas conversões por passagem porque a reciclagem dá múltiplas oportunidades de reação.
  • Metano tinha passagem única mais alta ( 85\%) e termina com conversão global maior ( \approx 96{,}6\%); etano parte de 70\% e sobe para \approx 92{,}1\%.

Resposta

X_{\text{global},\mathrm{CH}_4}=0{,}9659\quad(96{,}59\%)
X_{\text{global},\mathrm{C_2H_6}}=0{,}9211\quad(92{,}11\%)

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