Ache as derivadas parciais, usando a regra da cadeia:
z=\sin (u v), u=2 x e^{y} e v=y^{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e a y. As informações dadas são:
z=\sin(uv),
u=2x e^{y},
v=y^{2}e^{-x}.
Portanto queremos calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Regra da cadeia para funções compostas (explicação didática): se z=f(u,v) com u=u(x,y) e v=v(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui f(u,v)=\sin(uv). Vamos primeiro calcular \dfrac{\partial f}{\partial u} e \dfrac{\partial f}{\partial v}.

Passo 3

Derivando f(u,v)=\sin(uv) em relação a u, tratamos v como constante. Seja w=uv; então \dfrac{d}{du}\sin(w)=\cos(w)\dfrac{dw}{du} e \dfrac{dw}{du}=v. Logo
\frac{\partial f}{\partial u}=\cos(uv)\cdot v.
Analogamente, derivando em relação a v,
\frac{\partial f}{\partial v}=\cos(uv)\cdot u.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x e y.
Para u=2x e^{y}:
  • ao derivar em relação a x, e^{y} é constante, então
\frac{\partial u}{\partial x}=2 e^{y}.
  • ao derivar em relação a y, usamos que \dfrac{d}{dy}e^{y}=e^{y}, então
\frac{\partial u}{\partial y}=2x e^{y}.
Para v=y^{2}e^{-x}:
  • ao derivar em relação a x, y^{2} é constante e \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}, então
\frac{\partial v}{\partial x}=-y^{2}e^{-x}.
  • ao derivar em relação a y, e^{-x} é constante e \dfrac{d}{dy}y^{2}=2y, então
\frac{\partial v}{\partial y}=2y e^{-x}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia usando os resultados anteriores. Começando por \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial u}=\cos(uv)\,v e \dfrac{\partial f}{\partial v}=\cos(uv)\,u, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=\cos(uv)\big(v\cdot u_{x} + u\cdot v_{x}\big).

Passo 6

Substituindo u_{x}=2e^{y} e v_{x}=-y^{2}e^{-x} na expressão de \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=\cos(uv)\Big(v\cdot 2e^{y} + u\cdot\big(-y^{2}e^{-x}\big)\Big).
Agora substituímos u=2x e^{y} e v=y^{2}e^{-x} para simplificar em termos de x e y:
v\cdot 2e^{y}=(y^{2}e^{-x})\cdot 2e^{y}=2y^{2}e^{y-x},
u\cdot\big(-y^{2}e^{-x}\big)=-(2x e^{y})(y^{2}e^{-x})=-2x y^{2}e^{y-x}.
Somando:
2y^{2}e^{y-x}-2x y^{2}e^{y-x}=2y^{2}e^{y-x}(1-x).
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=\cos(uv)\,2y^{2}e^{y-x}(1-x).
Lembrando que uv=(2x e^{y})(y^{2}e^{-x})=2x y^{2}e^{y-x}, podemos também escrever \cos(uv)=\cos\big(2x y^{2}e^{y-x}\big).

Passo 7

Agora \dfrac{\partial z}{\partial y}. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial u}=\cos(uv)\,v, \dfrac{\partial f}{\partial v}=\cos(uv)\,u, u_{y}=2x e^{y} e v_{y}=2y e^{-x}:
\frac{\partial z}{\partial y}=\cos(uv)\Big(v\cdot 2x e^{y} + u\cdot 2y e^{-x}\Big).
Substituindo u=2x e^{y} e v=y^{2}e^{-x}:
v\cdot 2x e^{y}=(y^{2}e^{-x})\cdot 2x e^{y}=2x y^{2}e^{y-x},
u\cdot 2y e^{-x}=(2x e^{y})\cdot 2y e^{-x}=4x y e^{y-x}.
Somando:
2x y^{2}e^{y-x}+4x y e^{y-x}=2x y e^{y-x}(y+2).
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=\cos(uv)\,2x y e^{y-x}(y+2),
onde novamente uv=2x y^{2}e^{y-x}.

Passo 8

Recapitulando de forma limpa: as derivadas parciais em termos de x e y ficam expressas com \cos(uv) e o fator e^{y-x}. Você conseguiu — foi só aplicar a regra da cadeia passo a passo e calcular u_x,u_y,v_x,v_y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\cos\big(2x y^{2}e^{y-x}\big)\;2y^{2}e^{y-x}(1-x)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\cos\big(2x y^{2}e^{y-x}\big)\;2x y e^{y-x}(y+2)

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