Ache as derivadas parciais, usando a regra da cadeia:
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As informações dadas são:
Portanto queremos calcular
e
.
Passo 2
Regra da cadeia para funções compostas (explicação didática): se
com
e
, então
Aqui
. Vamos primeiro calcular
e
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, tratamos
como constante. Seja
; então
e
. Logo
Analogamente, derivando em relação a
,
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Para
:
- ao derivar em relação a
, é constante, então
- ao derivar em relação a
, usamos que , então
Para
:
- ao derivar em relação a
, é constante e , então
- ao derivar em relação a
, é constante e , então
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia usando os resultados anteriores. Começando por
:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
:
Agora substituímos
e
para simplificar em termos de
e
:
Somando:
Portanto
Lembrando que
, podemos também escrever
.
Passo 7
Agora
. Pela regra da cadeia:
Substituindo
,
,
e
:
Substituindo
e
:
Somando:
Portanto
onde novamente
.
Passo 8
Recapitulando de forma limpa: as derivadas parciais em termos de
e
ficam expressas com
e o fator
. Você conseguiu — foi só aplicar a regra da cadeia passo a passo e calcular
.