Questão 3: (3 pontos)
Encontre os valores de n \in \mathbb{N} para os quais, a solução y do problema de valor inicial
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(t)+y(t) & =1-u_{n \pi / 2}(t) \\\ y(0) & =0 \\\ y^{\prime}(0) & =0 \end{aligned}\right.
satisfaz
y(t)=0 \quad \text { para todo } t \geq \frac{n \pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para y(t)\): \[\begin{cases} y''(t)+y(t)=1-u_{n\pi/2}(t),\\[4pt] y(0)=0,\\[4pt] y'(0)=0, \end{cases}
e pede: para quais n\in\mathbb{N}\] a solução satisfaz \[y(t)=0\quad\text{para todo }t\ge \frac{n\pi}{2}.\] Informações relevantes que recebemos: - \(u_{n\pi/2}(t) é a função degrau (Heaviside) centrada em a=\dfrac{n\pi}{2}; ou seja, u_a(t)=0 para t<a e u_a(t)=1 para t\ge a.
- Portanto o termo forçante 1-u_{n\pi/2}(t) vale 1 quando 0\le t<a e vale 0 quando t\ge a, onde a=\dfrac{n\pi}{2}.
- Precisamos estudar a solução em duas regiões: 0\le t<a (equação inhomogênea com termo constante 1) e t\ge a (equação homogênea).]

Passo 2

Vamos resolver a equação para 0\le t<a. A equação é
y''(t)+y(t)=1.
Para resolver esse tipo de equação linear com coeficientes constantes, usamos a decomposição em solução geral como soma da solução geral da homogênea e de uma particular. Primeiro a homogênea associada é
y_h''+y_h=0,
cuja solução geral é
y_h(t)=C\cos t + D\sin t,
porque \cos t e \sin t são as funções que satisfazem y''+y=0. Para encontrar uma solução particular y_p da equação completa, tentamos uma solução constante, já que o termo do lado direito é constante. Se y_p for constante, y_p''=0 e a equação vira 0+y_p=1, logo y_p=1. Portanto a solução geral em 0\le t<a é
y(t)=C\cos t + D\sin t + 1.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais em t=0: y(0)=0 e y'(0)=0.
Calcule y(0):
y(0)=C\cos 0 + D\sin 0 + 1 = C\cdot 1 + D\cdot 0 + 1 = C+1.
Como y(0)=0, temos C+1=0, ou seja C=-1.
Agora calcule y'(t) e use y'(0)=0. Derivando y:
y'(t) = -C\sin t + D\cos t + 0.
Substituindo t=0 e C=-1:
y'(0) = -(-1)\sin 0 + D\cos 0 = 1\cdot 0 + D\cdot 1 = D.
Como y'(0)=0, obtemos D=0.
Portanto, na região 0\le t<a a solução é
y(t)=1-\cos t.
E sua derivada é
y'(t)=\sin t.

Passo 4

Agora calculemos os valores de y e y' no instante de “salto” t=a pela esquerda (isto é, t\to a^-). Esses valores servem de condições iniciais para a solução na região t\ge a.
Como obtivemos y(t)=1-\cos t e y'(t)=\sin t para t<a, temos
y(a^-)=1-\cos a,\qquad y'(a^-)=\sin a,
onde lembramos que a=\dfrac{n\pi}{2}.

Passo 5

Para t\ge a a equação vira homogênea:
y''(t)+y(t)=0.
A solução geral desta homogênea pode ser escrita em termos de deslocamento de fase a partir de t=a:
y(t)=A\cos(t-a)+B\sin(t-a),
porque essas funções satisfazem a homogênea e permitem aplicar diretamente as condições iniciais em t=a. Avaliando em t=a obtemos
y(a)=A,\qquad y'(a)=B.
Pelo acoplamento entre as duas regiões, devemos ter continuidade de y e y' em t=a, portanto
A = y(a)=y(a^-)=1-\cos a,
B = y'(a)=y'(a^-)=\sin a.
Logo, para t\ge a a solução é
y(t)=(1-\cos a)\cos(t-a)+(\sin a)\sin(t-a).

Passo 6

Queremos que y(t)=0 para todo t\ge a. A função para t\ge a é uma solução da homogênea da forma A\cos(t-a)+B\sin(t-a). Uma combinação linear dessas funções é identicamente zero para todo t se, e somente se, os coeficientes A e B forem ambos zero. Portanto exigimos simultaneamente
1-\cos a = 0\quad\text{e}\quad \sin a = 0.
A primeira equação dá \cos a=1. Quando \cos a=1 ocorre que também \sin a=0, então a condição essencial é \cos a=1. As soluções de \cos a=1 são
a = 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Lembrando que a=\dfrac{n\pi}{2}, temos
\dfrac{n\pi}{2} = 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{n}{2}=2k \quad\Longrightarrow\quad n=4k.

Passo 7

Concluímos que os n\in\mathbb{N} que funcionam são exatamente os múltiplos de 4. Como o enunciado pede n\in\mathbb{N}, escrevemos a resposta final como n=4k com k\in\mathbb{N} (ou, equivalente, o conjunto dos n divisíveis por 4: 4,8,12,\dots).

Resposta

n=4k,\;k\in\mathbb{N}

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