1000 moles de um gás ideal diatômico estão inicialmente3 a 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}.
se este gás for aquecido quase-estaticamente a volume constante até 80^{\circ} \mathrm{C} encontre \Delta \mathrm{U}, \Delta \mathrm{S}, \mathrm{Q} e W nesse processo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas abaixo:
  • Quantidade de gás: n=1000 mol.
  • Tipo de gás: gás ideal diatômico (assumimos que só têm as contribuições translação + rotação, ou seja, 5 graus de liberdade).
  • Estado inicial: pressão 1\\ \mathrm{atm} (não vamos precisar do valor numérico em Pa para este processo a volume constante), temperatura 27^\circ\mathrm{C}. Vou transformar para Kelvin: T_i = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K}.
  • Estado final: aquecido quase-estaticamente a volume constante até 80^\circ\mathrm{C}, ou seja T_f = 80^\circ\mathrm{C} = 353\\ \mathrm{K}.
  • Processo: isotérmico? Não — é a volume constante (isocórico).
  • O que pedir: \Delta U (variação da energia interna), \Delta S (variação da entropia), Q (calor trocado) e W (trabalho) para esse processo.
Observações explícitas que o enunciado dá: aquecimento quase-estático (processo reversível praticamente), volume constante. Não há figura faltando.

Passo 2

Definir as fórmulas físicas que vamos usar (explicando cada símbolo) e justificar parâmetros:
  • Constante universal dos gases: R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Aqui uso a vírgula como separador decimal em 8{,}314.
  • Para um gás ideal diatômico (sem ativação de modos vibracionais à temperatura dada) o número de graus de liberdade é f=5 (3 translação + 2 rotação). A energia interna molar depende apenas da temperatura e é
u = \frac{f}{2}RT.
Aqui u é a energia interna por mol.
  • A capacidade calorífica molar a volume constante é
C_v = \frac{f}{2}R.
Explicando: C_v tem unidade \mathrm{J/(mol\cdot K)} e dá quanto de energia interna (por mol) muda por unidade de temperatura a volume constante. Substituindo f=5:
C_v = \frac{5}{2}R.

Passo 3

Calcular numericamente C_v (molar a volume constante) e a variação de temperatura \Delta T:
  • Calculemos C_v:
C_v = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2}\cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Aqui 20{,}785 significa 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} (ou seja, aproximadamente 20{,}785 J por mol por kelvin).
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_f - T_i = 353\\ \mathrm{K} - 300\\ \mathrm{K} = 53\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular \Delta U usando a relação para gás ideal a volume constante:
  • Fórmula: para um gás ideal a volume constante a variação da energia interna total é
\Delta U = n C_v \Delta T,
onde n é o número de mols, C_v a capacidade molar a volume constante e \Delta T a variação de temperatura. Essa fórmula vem de U=n u com u=\frac{f}{2}RT e diferencial dU = n C_v dT.
  • Substituindo os números:
\Delta U = 1000\cdot 20{,}785\cdot 53 = 1\,101\,605\\ \mathrm{J}.
Eu mostrei as multiplicações diretas: 20{,}785\cdot 53 \approx 1{,}101{,}605/1000 por mol, e multiplicando por 1000 mol dá 1{,}101{,}605\\ \mathrm{J}. (Valor positivo: energia interna aumentou porque a temperatura subiu.)

Passo 5

Calcular o trabalho W realizado no processo a volume constante e explicar convenção de sinais:
  • Definição (convenção usada aqui): a Primeira Lei que vou usar é
\Delta U = Q - W,
onde W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o meio. Essa é a convenção comum em muitos livros de termodinâmica.
  • Trabalho a volume constante: W = \int P\,dV. Como o processo é a volume constante, dV=0 em todo o percurso, logo
W = 0.
(Trabalho realizado pelo gás é nulo num processo isocórico.)

Passo 6

Calcular o calor Q usando a Primeira Lei:
  • Da fórmula \Delta U = Q - W e sabendo W=0 temos
Q = \Delta U + W = \Delta U.
  • Portanto
Q = 1\,101\,605\\ \mathrm{J}.
Significado: todo o calor fornecido foi usado para aumentar a energia interna (aumentar a temperatura), não houve trabalho de expansão.

Passo 7

Calcular a variação de entropia \Delta S do gás no processo reversível a volume constante:
  • Conceito e fórmula: para um processo reversível, a variação infinitesimal de entropia é dS = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}. A calor trocada reversível a volume constante é \delta Q_\text{rev} = n C_v\, dT. Então, integrando de T_i a T_f:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{n C_v\, dT}{T} = n C_v \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui T é temperatura em Kelvin e o logaritmo é natural.
  • Substituindo os valores:
\Delta S = 1000\cdot 20{,}785 \cdot \ln\!\left(\frac{353}{300}\right).
Calcule \ln(353/300): \ln\!\left(\frac{353}{300}\right)\approx 0{,}1626805. Logo
\Delta S \approx 1000\cdot 20{,}785 \cdot 0{,}1626805 \approx 3\,381{,}314\\ \mathrm{J/K}.
(Valor positivo: entropia do gás aumentou porque a temperatura aumentou num processo reversível em que calor foi adicionado.)

Passo 8

Resumo físico rápido e checagens:
  • \Delta U>0 porque temperatura aumentou.
  • Q>0 porque calor foi adicionado.
  • W=0 como exigido pelo processo isocórico.
  • \Delta S>0 para um aquecimento reversível, consistente com 2ª Lei.

Resposta

\Delta U = 1\,101\,605\\ \mathrm{J}
\Delta S \approx 3\,381{,}314\\ \mathrm{J/K}
Q = 1\,101\,605\\ \mathrm{J}
W = 0\\ \mathrm{J}

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