1000 moles de um gás ideal diatômico estão inicialmente3 a 1 atm e
.
se este gás for aquecido quase-estaticamente a volume constante até
encontre
e W nesse processo.
se este gás for aquecido quase-estaticamente a volume constante até
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas abaixo:
- Quantidade de gás:
mol. - Tipo de gás: gás ideal diatômico (assumimos que só têm as contribuições translação + rotação, ou seja, 5 graus de liberdade).
- Estado inicial: pressão
(não vamos precisar do valor numérico em Pa para este processo a volume constante), temperatura . Vou transformar para Kelvin: . - Estado final: aquecido quase-estaticamente a volume constante até
, ou seja . - Processo: isotérmico? Não — é a volume constante (isocórico).
- O que pedir:
(variação da energia interna), (variação da entropia), (calor trocado) e (trabalho) para esse processo.
Observações explícitas que o enunciado dá: aquecimento quase-estático (processo reversível praticamente), volume constante. Não há figura faltando.
Passo 2
Definir as fórmulas físicas que vamos usar (explicando cada símbolo) e justificar parâmetros:
- Constante universal dos gases:
. Aqui uso a vírgula como separador decimal em . - Para um gás ideal diatômico (sem ativação de modos vibracionais à temperatura dada) o número de graus de liberdade é
(3 translação + 2 rotação). A energia interna molar depende apenas da temperatura e é
Aqui
é a energia interna por mol.
- A capacidade calorífica molar a volume constante é
Explicando:
tem unidade
e dá quanto de energia interna (por mol) muda por unidade de temperatura a volume constante. Substituindo
:
Passo 3
Calcular numericamente
(molar a volume constante) e a variação de temperatura
:
- Calculemos
:
Aqui
significa
(ou seja, aproximadamente
J por mol por kelvin).
- Variação de temperatura:
Passo 4
Calcular
usando a relação para gás ideal a volume constante:
- Fórmula: para um gás ideal a volume constante a variação da energia interna total é
onde
é o número de mols,
a capacidade molar a volume constante e
a variação de temperatura. Essa fórmula vem de
com
e diferencial
.
- Substituindo os números:
Eu mostrei as multiplicações diretas:
por mol, e multiplicando por
mol dá
. (Valor positivo: energia interna aumentou porque a temperatura subiu.)
Passo 5
Calcular o trabalho
realizado no processo a volume constante e explicar convenção de sinais:
- Definição (convenção usada aqui): a Primeira Lei que vou usar é
onde
é o trabalho realizado pelo sistema sobre o meio. Essa é a convenção comum em muitos livros de termodinâmica.
- Trabalho a volume constante:
. Como o processo é a volume constante, em todo o percurso, logo
(Trabalho realizado pelo gás é nulo num processo isocórico.)
Passo 6
Calcular o calor
usando a Primeira Lei:
- Da fórmula
e sabendo temos
- Portanto
Significado: todo o calor fornecido foi usado para aumentar a energia interna (aumentar a temperatura), não houve trabalho de expansão.
Passo 7
Calcular a variação de entropia
do gás no processo reversível a volume constante:
- Conceito e fórmula: para um processo reversível, a variação infinitesimal de entropia é
. A calor trocada reversível a volume constante é . Então, integrando de a :
Aqui
é temperatura em Kelvin e o logaritmo é natural.
- Substituindo os valores:
Calcule
:
. Logo
(Valor positivo: entropia do gás aumentou porque a temperatura aumentou num processo reversível em que calor foi adicionado.)
Passo 8
Resumo físico rápido e checagens:
-
porque temperatura aumentou. -
porque calor foi adicionado. -
como exigido pelo processo isocórico. -
para um aquecimento reversível, consistente com 2ª Lei.