Dois sistemas estão contidos em dois cilindros fechados e isolados das vizinhanças, e estão separados entre si por uma parede fixa, adiabática, e impermeável. O sistema 1 contém um gás monoatômico ideal com
, e o sistema 2 contém um gás poliatômico ideal com
. As temperaturas iniciais são
, e o volume total é 30 litros. A presilha que prende a parede e o isolamento térmico são então simultaneamente removidos, permitindo o movimento da parede e o fluxo de calor. Qual a energia interna, volume e pressão de cada sistema após o equilíbrio ter sido atingido?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades finais:
- Número de mols do sistema 1:
. - Número de mols do sistema 2:
. - Temperatura inicial do sistema 1:
. - Temperatura inicial do sistema 2:
. - Volume total (fixo):
. - Condições iniciais da parede: fixa, adiabática e impermeável. Depois a presilha e o isolamento térmico são removidos, permitindo movimento da parede e troca de calor entre os dois gases.
- O enunciado pede: a energia interna, o volume e a pressão de cada sistema depois que o equilíbrio é atingido.
Observações que já podemos anotar sem resolver: os dois subsistemas não trocam partículas, o volume total é constante, a parede pode mover-se (logo ao equilíbrio haverá mesma pressão nos dois lados) e, removida a isolação térmica entre eles, ao equilíbrio haverá mesma temperatura. A energia total do sistema isolado é conservada.
Passo 2
Modelagem e hipóteses físicas (explicação didática):
- Para gases ideais a energia interna depende apenas da temperatura e do número de graus de liberdade por mol. A energia interna molar (por mol) é dada por
onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante. Para o total de um gás:
, com
número de mols.
-
Pela teoria da equipartição de energia (física clássica), cada grau de liberdade contribui com
por mol à energia interna. Assim: - Gás monoatômico tem
(só translação) então
- Gás poliatômico (no nível clássico mais comum, considerando rotações ativas) costuma ser tratado com
. Vou usar esse valor porque é o caso mais usado em problemas de termodinâmica elementar (equivalente a diatômico/poliatômico com rotações ativas).
- Gás monoatômico tem
-
Constante dos gases:
.
Assim ficamos com:
Passo 3
Determinar a temperatura final (
) usando conservação de energia interna total.
Explicação: como o sistema combinado é isolado do meio externo, e as paredes entre as duas substâncias deixam trocar calor e trabalho interno (movimento da parede), a energia interna total inicial é igual à energia interna total final:
Isolando
:
Agora substituímos os valores (observe que o fator
aparece em todos os termos e cancela, mas vou mostrar as contas):
Calculemos os produtos:
Logo
Comentário amigo: legal — deu exatamente
, temperatura intermediária entre as iniciais, como esperado.
Passo 4
Determinar a pressão final (
) usando equilíbrio mecânico e a lei dos gases ideais.
Explicação: a parede pode se mover, então ao equilíbrio as pressões de ambos os lados são iguais:
. Para cada gás vale a equação de estado dos gases ideais:
Somando as duas equações dá para relacionar a pressão ao volume total:
Portanto
Agora substituímos numericamente. Primeiro colocamos
em unidades SI:
. O número total de mols é
. Portanto
Calcule passo a passo:
Em notação científica (com vírgula decimal, estilo brasileiro):
Passo 5
Determinar os volumes finais
e
.
Explicação simples: com mesma temperatura e mesma pressão, os volumes ocupados por cada gás são proporcionais ao número de mols (pela lei dos gases ideais
). Assim podemos usar a razão direta:
Substituindo:
(verificação usando a lei dos gases com
e
levaria ao mesmo valor; aqui a proporcionalidade é mais direta e prática para prova).
Passo 6
Calcular as energias internas finais
e
.
Fórmula:
. Já temos
e
,
.
Cálculo para o sistema 1:
Cálculo para o sistema 2:
Verificação rápida (checagem de energia): energia interna total final
, que coincide com a energia interna total inicial (cálculo inicial dava os mesmos valores quando aplicado a
e
). Isso confirma a consistência.
Passo 7
Resumo final e incentivo: encontramos uma solução compacta e com contas simples — temperatura final
, volumes particionados em
e
, pressões iguais de cerca de
e energias internas calculadas por
. Anda tenso antes da prova? Calma: este tipo de problema é sempre aplicar conservação de energia + equilíbrio térmico e mecânico + lei dos gases. Dá pra levar isso na prova sem pânico — você já tem aqui o passo a passo.
Resposta
Sistema 1:
Sistema 2: