Dois sistemas estão contidos em dois cilindros fechados e isolados das vizinhanças, e estão separados entre si por uma parede fixa, adiabática, e impermeável. O sistema 1 contém um gás monoatômico ideal com \mathrm{N}^{(1)}=1 \mathrm{~mol}, e o sistema 2 contém um gás poliatômico ideal com \mathrm{N}^{(2)}=1,5 \mathrm{~mol}. As temperaturas iniciais são T^{(1)}=200 \mathrm{Ke} \mathrm{T}^{(2)}=340 \mathrm{~K}, e o volume total é 30 litros. A presilha que prende a parede e o isolamento térmico são então simultaneamente removidos, permitindo o movimento da parede e o fluxo de calor. Qual a energia interna, volume e pressão de cada sistema após o equilíbrio ter sido atingido?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades finais:
  • Número de mols do sistema 1: \mathrm{N}^{(1)}=1\\ \text{mol}.
  • Número de mols do sistema 2: \mathrm{N}^{(2)}=1{,}5\\ \text{mol}.
  • Temperatura inicial do sistema 1: T^{(1)}=200\\ \text{K}.
  • Temperatura inicial do sistema 2: T^{(2)}=340\\ \text{K}.
  • Volume total (fixo): V_{\text{tot}}=30\\ \text{L}.
  • Condições iniciais da parede: fixa, adiabática e impermeável. Depois a presilha e o isolamento térmico são removidos, permitindo movimento da parede e troca de calor entre os dois gases.
  • O enunciado pede: a energia interna, o volume e a pressão de cada sistema depois que o equilíbrio é atingido.
Observações que já podemos anotar sem resolver: os dois subsistemas não trocam partículas, o volume total é constante, a parede pode mover-se (logo ao equilíbrio haverá mesma pressão nos dois lados) e, removida a isolação térmica entre eles, ao equilíbrio haverá mesma temperatura. A energia total do sistema isolado é conservada.

Passo 2

Modelagem e hipóteses físicas (explicação didática):
  • Para gases ideais a energia interna depende apenas da temperatura e do número de graus de liberdade por mol. A energia interna molar (por mol) é dada por
u_{\text{molar}} = c_v\,T,
onde c_v é a capacidade calorífica molar a volume constante. Para o total de um gás: U = n\,c_v\,T, com n número de mols.
  • Pela teoria da equipartição de energia (física clássica), cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}R T por mol à energia interna. Assim:
    • Gás monoatômico tem f=3 (só translação) então
    c_v^{(1)} = \frac{3}{2}R.
    • Gás poliatômico (no nível clássico mais comum, considerando rotações ativas) costuma ser tratado com c_v^{(2)} = \frac{5}{2}R. Vou usar esse valor porque é o caso mais usado em problemas de termodinâmica elementar (equivalente a diatômico/poliatômico com rotações ativas).
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
Assim ficamos com:
c_v^{(1)}=\frac{3}{2}R,\qquad c_v^{(2)}=\frac{5}{2}R.

Passo 3

Determinar a temperatura final ( T_f) usando conservação de energia interna total.
Explicação: como o sistema combinado é isolado do meio externo, e as paredes entre as duas substâncias deixam trocar calor e trabalho interno (movimento da parede), a energia interna total inicial é igual à energia interna total final:
n_1 c_{v1} T_1 + n_2 c_{v2} T_2 = n_1 c_{v1} T_f + n_2 c_{v2} T_f.
Isolando T_f:
T_f = \frac{n_1 c_{v1} T_1 + n_2 c_{v2} T_2}{n_1 c_{v1} + n_2 c_{v2}}.
Agora substituímos os valores (observe que o fator R aparece em todos os termos e cancela, mas vou mostrar as contas):
n_1 c_{v1} = 1\cdot\frac{3}{2}R = 1{,}5\,R, \qquad n_2 c_{v2} = 1{,}5\cdot\frac{5}{2}R = 3{,}75\,R.
\text{Numerador} = (1{,}5\,R)\cdot 200 + (3{,}75\,R)\cdot 340 = R(1{,}5\cdot 200 + 3{,}75\cdot 340).
Calculemos os produtos:
1{,}5\cdot 200 = 300,\qquad 3{,}75\cdot 340 = 1275.
\text{Numerador} = R(300 + 1275) = R\cdot 1575.
\text{Denominador} = R(1{,}5 + 3{,}75) = R\cdot 5{,}25.
Logo
T_f = \frac{1575}{5{,}25} = 300\\ \text{K}.
Comentário amigo: legal — deu exatamente 300\\ \text{K}, temperatura intermediária entre as iniciais, como esperado.

Passo 4

Determinar a pressão final ( p) usando equilíbrio mecânico e a lei dos gases ideais.
Explicação: a parede pode se mover, então ao equilíbrio as pressões de ambos os lados são iguais: p^{(1)}=p^{(2)}=p. Para cada gás vale a equação de estado dos gases ideais:
p V_i = n_i R T_f.
Somando as duas equações dá para relacionar a pressão ao volume total:
p(V_1+V_2) = (n_1+n_2) R T_f \quad\Rightarrow\quad p V_{\text{tot}} = (n_1+n_2) R T_f.
Portanto
p = \frac{(n_1+n_2) R T_f}{V_{\text{tot}}}.
Agora substituímos numericamente. Primeiro colocamos V_{\text{tot}} em unidades SI: V_{\text{tot}}=30\\ \text{L}=0{,}03\\ \text{m}^3. O número total de mols é n_1+n_2=1+1{,}5=2{,}5\\ \text{mol}. Portanto
p = \frac{2{,}5\cdot 8{,}314\cdot 300}{0{,}03}\\ \text{Pa}.
Calcule passo a passo:
2{,}5\cdot 8{,}314 = 20{,}785, \qquad 20{,}785\cdot 300 = 6235{,}5.
p = \frac{6235{,}5}{0{,}03} = 207850\\ \text{Pa}.
Em notação científica (com vírgula decimal, estilo brasileiro):
p \approx 2{,}0785\times 10^{5}\\ \text{Pa}.

Passo 5

Determinar os volumes finais V^{(1)} e V^{(2)}.
Explicação simples: com mesma temperatura e mesma pressão, os volumes ocupados por cada gás são proporcionais ao número de mols (pela lei dos gases ideais V_i = n_i \frac{R T_f}{p}). Assim podemos usar a razão direta:
V^{(1)} = \frac{n_1}{n_1+n_2}\,V_{\text{tot}},\qquad V^{(2)} = \frac{n_2}{n_1+n_2}\,V_{\text{tot}}.
Substituindo:
V^{(1)} = \frac{1}{2{,}5}\cdot 30\\ \text{L} = 12\\ \text{L}, \qquad V^{(2)} = \frac{1{,}5}{2{,}5}\cdot 30\\ \text{L} = 18\\ \text{L}.
(verificação usando a lei dos gases com p e T_f levaria ao mesmo valor; aqui a proporcionalidade é mais direta e prática para prova).

Passo 6

Calcular as energias internas finais U^{(1)} e U^{(2)}.
Fórmula: U_i = n_i c_{v i} T_f. Já temos c_{v1}=\tfrac{3}{2}R e c_{v2}=\tfrac{5}{2}R, T_f=300\\ \text{K}.
Cálculo para o sistema 1:
U^{(1)} = 1\cdot \frac{3}{2}R\cdot 300 = \frac{3}{2}\cdot 8{,}314\cdot 300.
\frac{3}{2}\cdot 8{,}314 = 12{,}471,\qquad 12{,}471\cdot 300 = 3741{,}3\\ \text{J}.
Cálculo para o sistema 2:
U^{(2)} = 1{,}5\cdot \frac{5}{2}R\cdot 300 = 3{,}75\cdot 8{,}314\cdot 300.
3{,}75\cdot 8{,}314 = 31{,}1775,\qquad 31{,}1775\cdot 300 = 9353{,}3\\ \text{J}.
Verificação rápida (checagem de energia): energia interna total final 3741{,}3 + 9353{,}3 = 13094{,}6\\ \text{J}, que coincide com a energia interna total inicial (cálculo inicial dava os mesmos valores quando aplicado a T^{(1)} e T^{(2)}). Isso confirma a consistência.

Passo 7

Resumo final e incentivo: encontramos uma solução compacta e com contas simples — temperatura final 300\\ \text{K}, volumes particionados em 12\\ \text{L} e 18\\ \text{L}, pressões iguais de cerca de 2,08\times 10^5\\ \text{Pa} e energias internas calculadas por U=n c_v T. Anda tenso antes da prova? Calma: este tipo de problema é sempre aplicar conservação de energia + equilíbrio térmico e mecânico + lei dos gases. Dá pra levar isso na prova sem pânico — você já tem aqui o passo a passo.

Resposta

Sistema 1: U^{(1)}=3741{,}3\\ \text{J};\quad V^{(1)}=12\\ \text{L};\quad p=2{,}0785\times 10^{5}\\ \text{Pa}
Sistema 2: U^{(2)}=9353{,}3\\ \text{J};\quad V^{(2)}=18\\ \text{L};\quad p=2{,}0785\times 10^{5}\\ \text{Pa}

Exercícios relacionados