is controlled by a proportional controller with gain
.
(a) Using the Nyquist theorem test the closed loop stability for
and
.
(b) Using the Nyquist criterion, compute the limiting value of
for which the system is stable.
(a) Using the Nyquist theorem test the closed loop stability for
(b) Using the Nyquist criterion, compute the limiting value of
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a planta é
e que ela está em malha fechada com um controlador proporcional de ganho
A parte (a) quer que a gente use o critério de Nyquist pra checar se o sistema fica estável quando
A parte (b) pede o valor limite de
que deixa a malha fechada exatamente “na beira” da estabilidade.
O conteúdo é estabilidade de sistemas de controle pela forma de Nyquist, e o que vamos precisar é:
O conteúdo é estabilidade de sistemas de controle pela forma de Nyquist, e o que vamos precisar é:
- Saber contar polos em
§. - Desenhar o lugar do Nyquist de
e contar quantas vezes ele dá voltas em torno de (N). - Aplicar a fórmula do critério de Nyquist:
onde
Para ter estabilidade, a gente quer $Z=0,. $
Passo 2
Primeiro, identificamos os polos abertos em
. A planta
tem um polo em
, que está na metade direita do plano. Logo:
Passo 3
Vamos montar a função de transferência aberta-completa:
No eixo imaginário, tomamos
$$L(j\omega)=\frac{100,k_c}{j\omega-10}=\frac{100,k_c}{-10+j\omega}\cdot(-1),\frac{-10-j\omega}{-10-j\omega}
=-100,k_c,\frac{10+j\omega}{\omega^2+100},. $$
Então separamos em parte real e imaginária:
Real{ } =
Im,{ } =
Então separamos em parte real e imaginária:
Real{
Im,{
Passo 4
Como
vai de
a
, o ponto inicial (
) fica em
e o ponto final (
Para contar encirclements de
:
- Se
(ou seja ), o ponto de partida está à esquerda de . A curva passa por baixo do eixo real e retorna, fazendo UMA volta no sentido horário ao redor de . Isso dá (uma volta CW). - Se
(ou seja ), o ponto de partida está entre e , a curva não envolve o nem faz volta em torno dele, ou seja .
Passo 5
Aplicando Nyquist:
Para estabilidade queremos
- Logo, só quando
- Se
Resposta
(a) Para
, o Nyquist dá 1 volta CW em torno de
(
), então
e o sistema fica estável.
Para , não há volta (
),
e o sistema é instável.
(b) O valor crítico de ganho é
Para
(b) O valor crítico de ganho é