Gp=100s-10
is controlled by a proportional controller with gain kc.
(a) Using the Nyquist theorem test the closed loop stability for kc=1 and kc=0.01.
(b) Using the Nyquist criterion, compute the limiting value of kc for which the system is stable.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a planta é
Gp(s)=100s-10
e que ela está em malha fechada com um controlador proporcional de ganho kc.
A parte (a) quer que a gente use o critério de Nyquist pra checar se o sistema fica estável quando
kc=1e kc=0.01,
A parte (b) pede o valor limite de kc que deixa a malha fechada exatamente “na beira” da estabilidade.
O conteúdo é estabilidade de sistemas de controle pela forma de Nyquist, e o que vamos precisar é:
  1. Saber contar polos em Re(s)>0 §.
  2. Desenhar o lugar do Nyquist de L(s)=kc,Gp(s) e contar quantas vezes ele dá voltas em torno de -1 (N).
  3. Aplicar a fórmula do critério de Nyquist:
Z ;=; N + P
onde Z é o número de pólos da malha fechada em Re(s)>0.
Para ter estabilidade, a gente quer $Z=0,. $

Passo 2

Primeiro, identificamos os polos abertos em Re(s)>0. A planta Gp(s)=100/(s-10) tem um polo em s=+10, que está na metade direita do plano. Logo:
P=1,

Passo 3

Vamos montar a função de transferência aberta-completa:
L(s)=kc,Gp(s)=100,kcs-10,
No eixo imaginário, tomamos s=jomega:
$$L(j\omega)=\frac{100,k_c}{j\omega-10}=\frac{100,k_c}{-10+j\omega}\cdot(-1),\frac{-10-j\omega}{-10-j\omega}
=-100,k_c,\frac{10+j\omega}{\omega^2+100},. $$
Então separamos em parte real e imaginária:
Real{  L(jomega)=100,kcjomega-10=100,kc-10+jomegacdot(-1),-10-jomega-10-jomega =-100,kc,10+jomegaomega^2+100,  } = L(jomega)
Im,{  -dfrac1000,kcomega^2+100 } = L(jomega)

Passo 4

Como ,omega vai de 0 a infty, o ponto inicial ( omega=0) fica em
L(j0)=-1000,kc100=-10,kc(eixo real)
e o ponto final ( omegatoinfty) vai para 0 (origem). O traçado fica todo no semiplano inferior, partindo de -10 kc e voltando a 0.
Para contar encirclements de -1:
  • Se -10,kc<-1 (ou seja kc>0.1), o ponto de partida está à esquerda de -1. A curva passa por baixo do eixo real e retorna, fazendo UMA volta no sentido horário ao redor de -1. Isso dá N=-1, (uma volta CW).
  • Se -10,kc>-1 (ou seja kc<0.1), o ponto de partida está entre 0 e -1, a curva não envolve o -1 nem faz volta em torno dele, ou seja N=0,.

Passo 5

Aplicando Nyquist:
Z=N+P,
Para estabilidade queremos Z=0. Como P=1, precisamos de N=-1.
- Logo, quando kc>0.1 nós temos N=-1 e então Z=0 (sistema estável).
- Se kc<0.1, vem N=0 e Z=1 (fica 1 pólo em Re(s)>0, \emph{instável}).

Resposta

(a) Para kc=1>0.1, o Nyquist dá 1 volta CW em torno de -1 ( N=-1), então Z=0 e o sistema fica estável.
Para kc=0.01<0.1, não há volta ( N=0), Z=1 e o sistema é instável.
(b) O valor crítico de ganho é
boxedkc,lim=0.1,

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