G(s)=(-1+0,5 s)(3 s+1)
com Gm=Gv=1 encontre controlador pelo método de síntese direta para essa planta. Explicar se é possível associar ao controlador desenvolvido um controlador clássico PI e se afirmativo, qual a sintonia equivalente?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente projetar um controlador para a planta
G(s);=;-1+0,5,s3,s+1
usando o “método de síntese direta”. Eles dizem ainda que T(s)=D(s),G(s)1+D(s),G(s) , ou seja, a gente vai escolher uma função de malha fechada desejada de primeira ordem com ganho estático igual a 1 e constante de tempo igual a 1.
Conteúdo necessário:
  • Entender o que é o método de síntese direta (a gente escolhe a transf. máx. fechada desejada D(s);=;Td(s)G(s),l(1 - Td(s)r) e resolve para o controlador ).
  • Saber a relação malha fechada:
  • A fórmula “inversa” para extrair :

Passo 2

Escolhemos a nossa resposta desejada de malha fechada de primeira ordem com ganho 1 e tempo de acomodação 1:
Td(s);=;1s+1
Isso bate com (ganho em regime permanente) e (constante de tempo igual a 1).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do método de síntese direta:
D(s) ;=; Td(s)G(s),l(1 - Td(s)r) ;=; tfrac1s+1 -1+0,5s3s+1;times;l(1-1s+1r)
Primeiro calculemos D(s) =tfrac1s+1 -1+0,5s3s+1,ss+1 =1s+1;times; 3s+1-1+0,5s;times; s+1s . Então
D(s) =3s+1s,(0,5s-1)
Os se cancelam, sobrando

Passo 4

Para limpar o “0,5” no denominador, multiplico num. e den. por 2:
D(s) =6s+2s,(s-2)
Logo
D(s)=6s+2s(s-2)
Este é o controlador exato pelo método de síntese direta.

Passo 5

Vamos ver se isso é um PI puro. Um PI clássico tem a forma
Drm PI(s)=Kpl(1+tfrac1Ti,sr) =Kp,Ti,s + KpTi,s =Kp,s + Kis, Ki=KpTi
Mas o nosso tem um pólo em e um pólo em . Ou seja, tem dois pólos distintos, não dá pra escrever exatamente como “ ”; tem esse pólo extra em .
Por isso não é possível associar exatamente a este controlador um PI clássico — ele não é do tipo “ganho mais integral” puro.

Passo 6

Se insistirmos em apagar o pólo em D(s)approx 6s+2s,(s-2);approx;6s+2scdot s ;=;6s+2s^2 =6ss^2+2s^2 =6s+2s^2, porque achamos que ele é suficientemente rápido, então aproximamos
o que na prática daria algo parecido com e , mas note que aí você está mexendo no que o método direto entregou — é um workaround, não é a síntese “exata”.

Resposta

Controlador exato pelo método de síntese direta:
boxedD(s)=6s+2s,(s-2)
Não é possível reduzi-lo exatamente a um PI clássico, pois ele apresenta um pólo extra em além do pólo em zero.

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