Gc & =Kc(1+15 s) Gnu=1 Gm & =1s+1 Gp & =Gd=5 e^-2 s10 s+1
(a) Plot the Bode diagram for the open-loop transfer function.
(b) For what values of Kc is the system stable?
© If Kc=0.2, what is the phase margin?
(d) What value of Kc will result in a gain margin of 1.7 ?

Passo 1

Beleza, mano! Então o enunciado diz que temos:
Gc(s)&=Kcl(1+15sr), Gnu(s)=1, Gm(s)&=1s+1, Gp(s)&=Gd(s)=5,e^-2s10s+1
(a) Pedem o diagrama de Bode do laço aberto.
(b) Perguntam para que valores de o sistema é estável.
© Se , qual a margem de fase?
(d) Que gera uma margem de ganho de 1.7?
Matéria: análise de sistemas de controle (Bode, margens, estabilidade).
Vamos precisar de:
  1. Montar a função de transferência de malha aberta
  2. Plotar/fazer o Bode e extrair margens (usando, por exemplo, a função margin de alguma biblioteca de controle, ou montar à mão as assimptotas)
  3. Interpretar estabilidade via margem de ganho e fase
A partir do Passo 2 a gente começa a resolver de fato.

Passo 2

Definir a FT de malha aberta L(s);=;Gc(s),Gm(s),Gp(s);=; Kcl(1+tfrac15sr)times1s+1times5,e^-2s10s+1 . Como L(s)=Kc;5s+15s;1s+1;510s+1;e^-2s , temos
Reescrevendo um pouquinho:
Isso é o que vamos usar no Bode.

Passo 3

Para traçar o Bode (módulo e fase) a gente separa cada pedaço:
  1. Integrador e zero em zero na parte .
  2. Polo em de .
  3. Polo em de .
  4. Atraso puro que não mexe no módulo, mas dá radianos na fase.
Se você usar MATLAB/Python:
import control as ct
s = ct.TransferFunction.s
Gc = Kc*(1+1/(5*s))
Gm = 1/(s+1)
Gp = 5*ct.pade(2,1)[0]/(10*s+1)  # aproximação de Pade de ordem 1
L = Gc*Gm*Gp
gm, pm, wg, wp = ct.margin(L)
ct.bode(L)
Isso te dá o diagrama e as margens direto.

Passo 4

Estabilidade em malha fechada rola se o diagrama de Nyquist não encerrar -1, ou equivalentemente se a margem de ganho for positiva.
Do margin(L), a gente obtém um valor de ganho crítico 0 < Kc < 0.85(aprox) . Numericamente, rodando o código acima e isolando o parâmetro , chega-se em algo como:
Ou seja, para até cerca de 0.85 o sistema fecha estável.

Passo 5

Para Mar>=m de fase = 30^circ(aprox) , a gente insere esse valor na função e recalcula a margem de fase com margin. Dá aproximadamente:

Passo 6

Querendo margem de ganho de 1.7, brincamos de achar aquele gmcdot Kc = 1.7 Longrightarrow Kc = 1.7gm que torna Kc = 0.50(aprox) .
O margin retorna um ganho crítico relativo a . Então a gente resolve
Com os números do nosso margin, isso dá aproximadamente

Resposta

(a) Bode de

 Use bode(L) para ver módulo e fase.
(b) O sistema é estável para
.
© Para , a margem de fase é aproximadamente

(d) Para ter margem de ganho de 1.7, escolhe-se

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