(a) Plot the Bode diagram for the open-loop transfer function.
(b) For what values of
is the system stable?
© If
, what is the phase margin?
(d) What value of
will result in a gain margin of 1.7 ?
(b) For what values of
© If
(d) What value of
Passo 1
Beleza, mano! Então o enunciado diz que temos:
(a) Pedem o diagrama de Bode do laço aberto.
(b) Perguntam para que valores de o sistema é estável.
© Se , qual a margem de fase?
(d) Que gera uma margem de ganho de 1.7?
(b) Perguntam para que valores de
© Se
(d) Que
Matéria: análise de sistemas de controle (Bode, margens, estabilidade).
Vamos precisar de:
Vamos precisar de:
- Montar a função de transferência de malha aberta
- Plotar/fazer o Bode e extrair margens (usando, por exemplo, a função
margin
de alguma biblioteca de controle, ou montar à mão as assimptotas) - Interpretar estabilidade via margem de ganho e fase
A partir do Passo 2 a gente começa a resolver de fato.
Passo 2
Definir a FT de malha aberta
. Como
, temos
Reescrevendo um pouquinho:
Isso é o que vamos usar no Bode.
Passo 3
Para traçar o Bode (módulo e fase) a gente separa cada pedaço:
- Integrador e zero em zero na parte
. - Polo em
de . - Polo em
de . - Atraso puro
que não mexe no módulo, mas dá radianos na fase.
Se você usar MATLAB/Python:
import control as ct
s = ct.TransferFunction.s
Gc = Kc*(1+1/(5*s))
Gm = 1/(s+1)
Gp = 5*ct.pade(2,1)[0]/(10*s+1) # aproximação de Pade de ordem 1
L = Gc*Gm*Gp
gm, pm, wg, wp = ct.margin(L)
ct.bode(L)
Isso te dá o diagrama e as margens direto.
Passo 4
Estabilidade em malha fechada rola se o diagrama de Nyquist não encerrar -1, ou equivalentemente se a margem de ganho for positiva.
Do . Numericamente, rodando o código acima e isolando o parâmetro
, chega-se em algo como:
Do
margin(L)
, a gente obtém um valor de ganho crítico
Ou seja, para
até cerca de 0.85 o sistema fecha estável.
Passo 5
Para
, a gente insere esse valor na função
e recalcula a margem de fase com
margin
. Dá aproximadamente:Passo 6
Querendo margem de ganho de 1.7, brincamos de achar aquele
que torna
.
O margin retorna um ganho crítico relativo a
. Então a gente resolve
O margin retorna um ganho crítico
Com os números do nosso
margin
, isso dá aproximadamenteResposta
(a) Bode de
Use
(b) O sistema é estável para
.
© Para , a margem de fase é aproximadamente
(d) Para ter margem de ganho de 1.7, escolhe-se
Use
bode(L)
para ver módulo e fase.(b) O sistema é estável para
© Para
(d) Para ter margem de ganho de 1.7, escolhe-se