Suponha que o sistema massa-mola descrito pela equação diferencial
m x^prime prime+c x^prime+k x=0
tenha amortecimento crítico, i.é, seus parâmetros são tais que c^24 km=1, longrightarrow c^2=4 km e que as condições iniciais, em t=0, sejam
x(0)=x0 e x^prime(0)=v0
Resolva o problema de valor inicial assim constituído.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema massa-mola descrito por uma equação diferencial de segunda ordem:
m x'' + c x' + k x = 0
O problema nos diz que esse sistema está com amortecimento crítico, ou seja, os parâmetros satisfazem c^24 km = 1, o que implica que c^2 = 4 km. Além disso, temos as condições iniciais:
x(0) = x0 e x'(0) = v0
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar x(t), que nos mostra como a posição do sistema varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial característica associada à equação dada. Para uma equação do tipo:
m x'' + c x' + k x = 0
a equação característica é:
m r^2 + c r + k = 0
Queremos encontrar as raízes dessa equação para determinar a solução geral. Como sabemos que c^2 = 4 km, podemos usar isso para simplificar.

Passo 3

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação característica:
r = -c pm raizc^2 - 4 m k2 m
Substituindo c^2 = 4 km:
r = -c pm raiz4 km - 4 m k2 m = -c pm 02 m = -c2 m
Isso significa que temos duas raízes reais e iguais:
r1 = r2 = -c2 m

Passo 4

Quando temos raízes reais e iguais na equação característica, a solução geral da equação diferencial é dada por:
x(t) = (A + B t) e^r t
Onde A e B são constantes que determinamos usando as condições iniciais, e r é a raiz repetida. No nosso caso, r = -c2 m, então substituindo:
x(t) = (A + B t) e^-c2 m t

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes A e B.
Primeira condição: x(0) = x0.
Substituindo t = 0 na solução:
x(0) = (A + B cdot 0) e^0 = A = x0
Então, A = x0.

Passo 6

Segunda condição: x'(0) = v0.
Primeiro, vamos derivar x(t):
x(t) = (x0 + B t) e^-c2 m t
Usando a regra do produto para derivar:
x'(t) = B e^-c2 m t + (x0 + B t) (-c2 m) e^-c2 m t
Simplificando:
x'(t) = (B - c2 m x0 - c2 m B t) e^-c2 m t
Agora, aplicando t = 0:
x'(0) = (B - c2 m x0) = v0
Resolvendo para B:
B = v0 + c2 m x0

Passo 7

Agora que temos A = x0 e B = v0 + c2 m x0, podemos escrever a solução completa:
x(t) = (x0 + (v0 + c2 m x0) t) e^-c2 m t

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
x(t) = (x0 + (v0 + c2 m x0) t) e^-c2 m t

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