Suponha que o sistema massa-mola descrito pela equação diferencial
tenha amortecimento crítico, i.é, seus parâmetros são tais que
e que as condições iniciais, em
, sejam
Resolva o problema de valor inicial assim constituído.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema massa-mola descrito por uma equação diferencial de segunda ordem:
O problema nos diz que esse sistema está com amortecimento crítico, ou seja, os parâmetros satisfazem
, o que implica que
. Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
, que nos mostra como a posição do sistema varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial característica associada à equação dada. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
Queremos encontrar as raízes dessa equação para determinar a solução geral. Como sabemos que
, podemos usar isso para simplificar.
Passo 3
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação característica:
Substituindo
:
Isso significa que temos duas raízes reais e iguais:
Passo 4
Quando temos raízes reais e iguais na equação característica, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes que determinamos usando as condições iniciais, e
é a raiz repetida. No nosso caso,
, então substituindo:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
na solução:
Então,
.
Passo 6
Segunda condição:
.
Primeiro, vamos derivar
:
Usando a regra do produto para derivar:
Simplificando:
Agora, aplicando
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a solução completa:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: