3.102 Um material radioativo com condutividade térmica k é moldado como uma esfera sólida de raio
e colocado em um banho líquido, no qual a temperatura
e o coeficiente convectivo h são conhecidos. Calor é gerado uniformemente no interior do sólido a uma taxa volumétrica. Obtenha a distribuição de temperaturas radial no sólido, no regime estacionário, expressando o seu resultado em termos de
, q (ponto), k , h e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
-
Dados fornecidos:
- Uma esfera sólida de raio
. - Condutividade térmica do material
(constante). - Geração volumétrica de calor uniforme no sólido, representada por
(potência por unidade de volume). - O sólido está em contato com um banho líquido de temperatura
com coeficiente convectivo . - Regime estacionário (estado final independente do tempo) e supõe-se simetria esférica (a temperatura depende somente de
).
- Uma esfera sólida de raio
-
O enunciado pede:
- Determinar a distribuição radial de temperatura
no sólido, no regime estacionário, expressa em termos de , , , e .
- Determinar a distribuição radial de temperatura
Passo 2
Equação diferencial governante (balanço de energia em coordenadas esféricas, regime estacionário, simetria radial).
- Vamos considerar uma casquinha esférica entre
e . Em regime estacionário, a soma das potências que entram e saem por condução mais a geração volumétrica dentro da casquinha deve ser zero. - A forma diferencial da equação de condução de calor com geração volumétrica, para simetria radial em regime estacionário e condutividade
constante, é
- Como
é constante, podemos simplificar para
- Reescrevendo a equação diferencial padrão que vamos resolver:
Passo 3
Integração da equação diferencial — primeira integração.
- Multiplicamos por
e integramos em :
- Integrando ambos os lados em relação a
,
portanto
- Dividindo por
(para ) obtemos
Passo 4
Condição de regularidade no centro (
) e determinação de
.
- Física e matemática: a temperatura e seu gradiente não podem divergir no centro da esfera. O termo
diverge quando a menos que . - Portanto exigimos
para ter solução finita em . - Com
ficamos com
Passo 5
Segunda integração e aplicação da condição de fronteira convectiva na superfície (
) para determinar a constante restante.
- Integrando
em ,
onde
é constante a ser determinada pela condição de contorno na superfície.
- Condição de contorno convectiva na superfície: o fluxo condutivo que sai da superfície deve igualar a convecção para o meio externo:
- Calcule o gradiente na superfície usando a expressão para
:
- Portanto o fluxo condutivo para fora é
- Igualando à convecção,
- Expresse
pela solução geral :
- Substituindo na condição convectiva e resolvendo para
:
- Isolando
:
Passo 6
Conclusão (preparar a forma final).
- Substituir
na expressão geral leva à expressão final da distribuição radial de temperatura. A forma final será apresentada resumida na seção de resposta.