3.102 Um material radioativo com condutividade térmica k é moldado como uma esfera sólida de raio \mathrm{r}_{\mathrm{o}} e colocado em um banho líquido, no qual a temperatura \mathrm{T}_{\infty} e o coeficiente convectivo h são conhecidos. Calor é gerado uniformemente no interior do sólido a uma taxa volumétrica. Obtenha a distribuição de temperaturas radial no sólido, no regime estacionário, expressando o seu resultado em termos de \mathrm{r}_{\mathrm{o}}, q (ponto), k , h e \mathrm{T}_{\infty}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Dados fornecidos:
    • Uma esfera sólida de raio \mathrm{r}_{\mathrm{o}}.
    • Condutividade térmica do material k (constante).
    • Geração volumétrica de calor uniforme no sólido, representada por \dot q (potência por unidade de volume).
    • O sólido está em contato com um banho líquido de temperatura \,T_{\infty}\, com coeficiente convectivo h.
    • Regime estacionário (estado final independente do tempo) e supõe-se simetria esférica (a temperatura depende somente de r).
  • O enunciado pede:
    • Determinar a distribuição radial de temperatura T(r) no sólido, no regime estacionário, expressa em termos de \mathrm{r}_{\mathrm{o}}, \dot q, k, h e T_{\infty}.

Passo 2

Equação diferencial governante (balanço de energia em coordenadas esféricas, regime estacionário, simetria radial).
  • Vamos considerar uma casquinha esférica entre r e r+\mathrm{d}r. Em regime estacionário, a soma das potências que entram e saem por condução mais a geração volumétrica dentro da casquinha deve ser zero.
  • A forma diferencial da equação de condução de calor com geração volumétrica, para simetria radial em regime estacionário e condutividade k constante, é
\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2}k\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)+\dot q=0.
  • Como k é constante, podemos simplificar para
k\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)+\dot q=0.
  • Reescrevendo a equação diferencial padrão que vamos resolver:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)=-\frac{\dot q}{k}.

Passo 3

Integração da equação diferencial — primeira integração.
  • Multiplicamos por r^{2} e integramos em r:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^{2}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)=-\frac{\dot q}{k}\,r^{2}.
  • Integrando ambos os lados em relação a r,
r^{2}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\frac{\dot q}{k}\int r^{2}\,\mathrm{d}r + C_{1} = -\frac{\dot q}{k}\cdot\frac{r^{3}}{3}+C_{1},
portanto
r^{2}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\frac{\dot q}{3k}\,r^{3}+C_{1}.
  • Dividindo por r^{2} (para r>0) obtemos
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\frac{\dot q}{3k}\,r+\frac{C_{1}}{r^{2}}.

Passo 4

Condição de regularidade no centro ( r=0) e determinação de C_{1}.
  • Física e matemática: a temperatura e seu gradiente não podem divergir no centro da esfera. O termo \dfrac{C_{1}}{r^{2}} diverge quando r\to0 a menos que C_{1}=0.
  • Portanto exigimos C_{1}=0 para ter solução finita em r=0.
  • Com C_{1}=0 ficamos com
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\frac{\dot q}{3k}\,r.

Passo 5

Segunda integração e aplicação da condição de fronteira convectiva na superfície ( r=\mathrm{r}_{\mathrm{o}}) para determinar a constante restante.
  • Integrando \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\dfrac{\dot q}{3k}r em r,
T(r)=-\frac{\dot q}{3k}\cdot\frac{r^{2}}{2}+C_{2} = -\frac{\dot q}{6k}\,r^{2}+C_{2},
onde C_{2} é constante a ser determinada pela condição de contorno na superfície.
  • Condição de contorno convectiva na superfície: o fluxo condutivo que sai da superfície deve igualar a convecção para o meio externo:
-\bigl.k\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\bigr|_{r=\mathrm{r}_{\mathrm{o}}}=h\bigl(T(\mathrm{r}_{\mathrm{o}})-T_{\infty}\bigr).
  • Calcule o gradiente na superfície usando a expressão para \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\Big|_{r=\mathrm{r}_{\mathrm{o}}}=-\frac{\dot q}{3k}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}.
  • Portanto o fluxo condutivo para fora é
- k\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\Big|_{r=\mathrm{r}_{\mathrm{o}}} = -k\left(-\frac{\dot q}{3k}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}\right) = \frac{\dot q}{3}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}.
  • Igualando à convecção,
\frac{\dot q}{3}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}=h\bigl(T(\mathrm{r}_{\mathrm{o}})-T_{\infty}\bigr).
  • Expresse T(\mathrm{r}_{\mathrm{o}}) pela solução geral T(r)=-\dfrac{\dot q}{6k}r^{2}+C_{2}:
T(\mathrm{r}_{\mathrm{o}})=-\frac{\dot q}{6k}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}^{2}+C_{2}.
  • Substituindo na condição convectiva e resolvendo para C_{2}:
\frac{\dot q}{3}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}=h\left(-\frac{\dot q}{6k}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}^{2}+C_{2}-T_{\infty}\right).
  • Isolando C_{2}:
C_{2}=T_{\infty}+\frac{\dot q}{3h}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}+\frac{\dot q}{6k}\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}^{2}.

Passo 6

Conclusão (preparar a forma final).
  • Substituir C_{2} na expressão geral T(r)=-\dfrac{\dot q}{6k}r^{2}+C_{2} leva à expressão final da distribuição radial de temperatura. A forma final será apresentada resumida na seção de resposta.

Resposta

T(r)=T_{\infty}+\frac{\dot q}{6k}\!\left(\mathrm{r}_{\mathrm{o}}^{2}-r^{2}\right)+\frac{\dot q\,\mathrm{r}_{\mathrm{o}}}{3h}.

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