(não está no Incropera 7aed.) Partindo da equação de calor em conjunto com a equação de Fourier, obtenha as equações do perfil de calor do sólido (construa a equação diferencial que rege o fenômeno e integre-a: em (a) coordenadas cartesianas, (b) cilíndricas e (c) esféricas em um meio contínuo. Use sempre fluxo de calor unidimensional. Faça os esquemas correspondentes.
ii. Regime transiente; unidimensional, sem geração de energia;
Em todos os casos utilize as condições de contorno: (a) Parede plana: \mathrm{T}_{\mathrm{s}, 1}>\mathrm{T}_{\mathrm{s}, 2}, do lado de fora da parede; (b) cilindro: centro \mathrm{T}_{\mathrm{s}, 1} e \mathrm{T}_{\mathrm{s}, 2} na superfície externa; (c) esfera: centro \mathrm{T}_{\mathrm{s}, 1} e \mathrm{T}_{\mathrm{s}, 2} na superfície externa. Para a condição transiente utilize T=T_{0} dentro do sólido em t=t_{0}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações/condições dadas.
  • O que pediram:
    • Partir da equação de calor com a lei de Fourier e obter a equação diferencial que rege o fenômeno de condução térmica unidimensional, sem geração interna, no regime transiente.
    • Integrar/solucionar (ou expor a solução por séries) para os três sistemas geométricos unidimensionais:
      1. Parede plana (coordenadas cartesianas, variável espacial x);
      2. Cilindro (coordenadas cilíndricas, simetria radial, variável espacial r);
      3. Esfera (coordenadas esféricas, simetria radial, variável espacial r).
    • Usar fluxo de calor unidimensional em cada caso.
    • Condições de contorno (usadas como Dirichlet fixas aqui):
      • Parede plana: superfícies externas em x=0 e x=L com temperaturas impostas \mathrm{T}_{\mathrm{s},1} e \mathrm{T}_{\mathrm{s},2} (o enunciado diz \mathrm{T}_{\mathrm{s},1}>\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}, mas a derivação vale independentemente da ordem).
      • Cilindro: centro com temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{s},1} em r=0 e superfície externa em r=R com \mathrm{T}_{\mathrm{s},2}.
      • Esfera: centro com \mathrm{T}_{\mathrm{s},1} em r=0 e superfície externa em r=R com \mathrm{T}_{\mathrm{s},2}.
    • Condição inicial para o transiente: em t=t_0 (normalmente t_0=0) temos T(\cdot,t_0)=T_0 em todo o sólido.
  • Informação física e parâmetros (que vou usar e explicar):
    • \rho: massa específica do material ( \mathrm{kg/m^3}).
    • c: capacidade calorífica (capacidade térmica massiva) ( \mathrm{J/(kg\,K)}).
    • k: condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\,K)}).
    • \alpha: difusividade térmica, definida por \alpha = \dfrac{k}{\rho c} ( \mathrm{m^2/s}).
    • T(\cdot,t): temperatura no ponto espacial e no tempo t.
Observações importantes antes de começar: a derivação começa pelo balanço de energia numa pequena porção do sólido + lei de Fourier. Para as soluções transientes vou mostrar detalhadamente o processo completo para a parede plana (caso mais básico) e em seguida dar a formulação equivalente e o resultado (com as ideias de solução) para cilindro e esfera — porque as séries e funções próprias são diferentes (senoides em cartesianas, funções de Bessel em cilíndricas, funções \sin/r em esféricas). Vou sempre explicar cada passo e o significado das variáveis.

Passo 2

Princípio físico e construção da equação de calor a partir da lei de Fourier (passo genérico, que vale para todas as geometrias unidimensionais que vamos estudar).
  • Lei de Fourier (fluxo de calor por condução): o fluxo de calor unidimensional na direção espacial s (onde s pode ser x ou r conforme o caso) vale
q_s = -k\,\frac{\partial T}{\partial s},
onde q_s tem unidades \mathrm{W/m^{2}} quando s é coordenada linear (no caso radial a expressão com q_r e áreas específicas será tratada adiante).
  • Balanço de energia numa pequena porção de volume (forma diferencial, sem geração interna): a taxa de variação da energia interna no volume é igual ao fluxo de calor líquido que entra pelo contorno. Para um volume dV,
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}\,dV = -\nabla\cdot\mathbf{q}\,dV,
onde \mathbf{q} é o vetor de fluxo de calor. Substituindo \mathbf{q}=-k\nabla T (lei de Fourier),
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\nabla^2 T.
  • Definindo \alpha = \dfrac{k}{\rho c}, obtemos a equação de difusão térmica (equação de calor):
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\nabla^2 T.
Essa é a equação geral no espaço tridimensional. Para nossos problemas unidimensionais com simetria adequada, \nabla^2 T assume formas específicas: em cartesianas simples \nabla^2T=\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}, em cilíndricas (radial) \nabla^2T=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r \dfrac{\partial T}{\partial r}\right), e em esféricas (radial) \nabla^2T=\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\dfrac{\partial T}{\partial r}\right). A seguir vou aplicar isso caso a caso.

Passo 3

Parede plana — derivação detalhada, integração do problema transiente (caso tratado passo a passo).
  • Geometria e hipóteses:
    • Parede de espessura L, coordenada x\in[0,L].
    • Unidimensional (variação só em x).
    • Sem geração interna.
    • Condições de contorno (Dirichlet fixas): T(0,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1},\qquad T(L,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}.
    • Condição inicial: T(x,t_0)=T_0\qquad\text{para }0\le x\le L.
  • Equação de calor 1D cartesiana (já do passo genérico):
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
  • Passo útil: separar a parte estacionária (estado limite t\to\infty) da parte transiente. Primeiro ache a solução estacionária T_s(x) que zera a derivada temporal:
0 = \alpha\,\frac{d^2 T_s}{dx^2}\quad\Rightarrow\quad \frac{d^2 T_s}{dx^2}=0.
Integre duas vezes:
T_s(x)=A + B x.
Use as BCs para achar A,B:
T_s(0)=A=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1},\qquad T_s(L)=A+B L=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}.
Logo
T_s(x)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1} + \frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}-\mathrm{T}_{\mathrm{s},1}}{L}\,x.
Esse é o perfil linear de temperatura no estado estacionário (faz sentido físico).
  • Agora escrevemos a solução completa como soma da estacionária com a contribuição transiente:
T(x,t)=T_s(x) + u(x,t),
onde u satisfaz a equação homogênea com condições homogêneas:
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \qquad u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0, \qquad u(x,t_0)=T_0 - T_s(x).
Explicação: essa transformação é padrão porque subtrai a parte que não depende do tempo; assim u tem BCs homogêneas, o que facilita usar separação de variáveis.
  • Separação de variáveis (padrão):
    • Procura-se soluções do tipo u(x,t)=X(x)\,G(t). Substituindo:
    X(x)\,G'(t) = \alpha\,X''(x)\,G(t).
    Divide por \alpha X G:
    \frac{G'(t)}{\alpha G(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda^2,
    onde -\lambda^2 é constante de separação (escolho o sinal para obter decaimento no tempo). Assim:
    G'(t) = -\alpha\lambda^2 G(t)\quad\Rightarrow\quad G(t)=G_0 e^{-\alpha\lambda^2(t-t_0)}.
    E para X(x) obtemos o problema de autovalores:
    X'' + \lambda^2 X = 0,\qquad X(0)=0,\; X(L)=0.
    Soluções não triviais existem para \lambda_n = \dfrac{n\pi}{L}, n=1,2,\dots, com autovetores
    X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
  • Solução por série (usando ortogonalidade das funções seno):
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\exp\!\left(-\alpha\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 (t-t_0)\right).
Os coeficientes B_n são obtidos impondo a condição inicial de u:
B_n = \frac{2}{L}\int_0^L \big(T_0 - T_s(x)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
  • Caso prático frequentemente usado (se o inicial T_0 for constante): pode-se calcular explicitamente B_n. Defina C=T_0-\mathrm{T}_{\mathrm{s},1} e D=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}-\mathrm{T}_{\mathrm{s},1}. Fazendo a integral (integração por partes; os passos são mecânicos) chega-se a
B_n = \frac{2}{n\pi}\Big[ C\big(1-(-1)^n\big) + D(-1)^n\Big],
onde C e D definidos acima. (Se quiser eu explico a integral passo a passo; aqui achei importante mostrar a expressão final para usar na prova.)
  • Portanto a solução final para a parede plana é
\boxed{\,T(x,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1} + \frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}-\mathrm{T}_{\mathrm{s},1}}{L}x \;+\; \sum_{n=1}^\infty B_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 (t-t_0)}\,}
com os B_n dados pela integral acima.
Comentário didático curto: o que fizemos foi decompor o problema em duas partes — a parte que persiste no longo prazo (estacionária, linear) e a parte que decai no tempo (série de modos com decaimento exponencial). Em prova, esse é um procedimento padrão: achar solução estacionária, subtrair, separar variáveis e expandir a condição inicial nas funções próprias.

Passo 4

Cilindro (simetria radial) — equação, solução estacionária e esboço detalhado da solução transiente (método e fórmulas de coeficientes).
  • Geometria e hipóteses:
    • Cilindro longo com simetria axial e angular (variação só em r), raio externo R.
    • Região radial 0\le r\le R.
    • Condições (vou usar BCs tipo Dirichlet como no enunciado): T(0,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1},\qquad T(R,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}.
    • Condição inicial: T(r,t_0)=T_0.
  • Equação de calor radial (1D em coordenadas cilíndricas, sem geração):
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right).
Explicação física: o operador \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\big(r\dfrac{\partial}{\partial r}\big) é o Laplaciano na simetria radial cilíndrica; aparece porque a área de seção que conduz calor depende de r.
  • Solução estacionária T_s(r) (resolver Laplace radial):
0=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{d T_s}{dr}\right).
Multiplicando por r e integrando:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{d T_s}{dr}\right)=0\quad\Rightarrow\quad r\frac{dT_s}{dr}=C_1\quad\Rightarrow\quad \frac{dT_s}{dr}=\frac{C_1}{r}.
Integrando:
T_s(r)=C_1\ln r + C_2.
Impor BCs T_s(0) finito exige cuidado: a função \ln r diverge em r=0. Isso mostra que a condição T(0,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1} com \mathrm{T}_{\mathrm{s},1} finita e forma T_s logarítmica só é compatível se C_1=0, ou, dito de outro modo, uma condição de temperatura imposta exatamente no centro torna o problema trivial para a estacionária (o centro sendo um ponto singular da forma \ln r). Na prática físico-matemática, o caso regular mais comum é impor regularidade no centro ( dT/dr|_{r=0}=0) e temperatura na superfície T(R)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}. Mas o enunciado pediu centro com T_{s,1}; para manter a coerência prática vamos proceder com o método geral de separar a parte estacionária satisfazendo as duas condições (se ambas forem Dirichlet com valores finitos, a única solução regular em r=0 é a solução constante T_s=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1}=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2} — caso especial). Para um caso mais típico (regularidade no centro e temperatura na superfície) a solução estacionária é constante. Em qualquer caso o procedimento transiente segue abaixo; o que muda é a função estacionária a ser subtraída.
  • Método transiente (forma padrão):
    • Subtrair a solução estacionária T_s(r) e trabalhar com u(r,t)=T(r,t)-T_s(r) que satisfaz BCs homogêneas (dependendo do que escolher no T_s) e a equação
    \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right).
    • Tentar separação u(r,t)=R(r)G(t) leva ao problema radial de autovalores
    r^2 R'' + r R' + \lambda^2 r^2 R =0,que é a equação de Bessel de ordem zero. As soluções regulares na origem são múltiplos de J_0(\lambda r) (função de Bessel de primeira espécie ordem zero); a outra solução Y_0 diverge em r=0 e é descartada se se exige regularidade no centro.
    • Impondo a condição (homogênea) R(R)=0 para o modo (ou deslocando com a estacionária), obtém-se os autovalores \lambda_n = \dfrac{\beta_n}{R}, onde \beta_n são os zeros de J_0 (isto é, J_0(\beta_n)=0, \beta_1\approx 2{,}4048,\; \beta_2\approx 5{,}5201, etc.).
    • Assim a solução transiente se escreve em série de funções de Bessel:
    u(r,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n J_0\!\left(\frac{\beta_n r}{R}\right)\exp\!\left(-\alpha\left(\frac{\beta_n}{R}\right)^2 (t-t_0)\right).
    • Os coeficientes A_n são obtidos pela expansão da condição inicial em funções J_0(\beta_n r/R) usando ortogonalidade com peso r no intervalo [0,R]:
    A_n = \frac{\int_0^R \big(T_0(r)-T_s(r)\big)\,J_0\!\left(\frac{\beta_n r}{R}\right)\,r\,dr} {\int_0^R \Big[J_0\!\left(\frac{\beta_n r}{R}\right)\Big]^2 r\,dr}.A integral do denominador tem valor conhecido (proporcional \tfrac{R^2}{2}[J_1(\beta_n)]^2); na prova basta saber que se usa a ortogonalidade com peso r e que constantes numéricas aparecem.
Comentário prático: em provas, é aceitável demonstrar que a equação leva à Bessel e escrever a forma da série com \beta_n zeros de J_0 e a fórmula de coeficiente com integral ponderada por r. Se o inicial T_0 for constante e T_s também, a integral do numerador simplifica e pode-se obter A_n em termos de J_1(\beta_n).

Passo 5

Esfera (simetria radial) — equação, solução estacionária e solução transiente com transformação que reduz ao caso clássico.
  • Geometria e hipóteses:
    • Esfera de raio R, simetria radial, 0\le r\le R.
    • BCs (dirichlet conforme enunciado): T(0,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1} (centro) e T(R,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2} (superfície).
    • Condição inicial: T(r,t_0)=T_0.
  • Equação de calor radial (esférica):
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right).
Explicação: operador Laplaciano radial esférico aparece com o fator r^2.
  • Solução estacionária T_s(r) (resolver Laplace esférico):
0=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT_s}{dr}\right).
Integrando:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT_s}{dr}\right)=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}\frac{dT_s}{dr}=C_1\quad\Rightarrow\quad \frac{dT_s}{dr}=\frac{C_1}{r^{2}}.
Integrando uma vez mais:
T_s(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2.
Novamente, para regularidade em r=0 o termo -C_1/r não pode existir (diverge), então C_1=0 e a solução estacionária regular é constante. Novamente, como no caso cilíndrico, a imposição de um valor finito em r=0 implica restrições. Normalmente em problemas físicos se impõe dT/dr|_{r=0}=0 (simetria) e T(R)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}, levando a uma solução estacionária constante se não houver geração. Se o enunciado impõe centros com temperatura fixa \mathrm{T}_{\mathrm{s},1} distinta da superfície, a única solução estacionária regular será constante igual a esse mesmo valor (a menos que se permita singularidades), portanto em muitos problemas práticos escolhe-se estacionária constante ou se trabalha com condições compatíveis.
  • Transformação conveniente para o transiente:
    • Defina u(r,t)=r\,T(r,t). Isso é um truque clássico: aplicando ao operador esférico há redução para uma equação tipo 1D simples para u:
    \frac{\partial}{\partial t}(rT) = \alpha \frac{\partial^2}{\partial r^2}(rT).
    Mais explicitamente, com u=rT obtém-se
    \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial r^2},
    que é a equação de calor unidimensional clássica em variável r. Observação: para isso é necessário r>0 e manipular derivadas; essa transformação evita as complicações do operador com r^2.
    • Agora, para lidar com BCs, escreva u=rT e escolha a parte estacionária equivalente e subtraia. Fazendo separação de variáveis em u e impondo regularidade em r=0 (o que traduz-se em u(0,t)=0 se T for finito) e condição na superfície T(R,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},2} (isto é, u(R,t)=R\,\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}), chega-se ao problema canônico.
  • Resolução por separação (esquemática):
    • Subtrair a solução estacionária e resolver para v(r,t)=u(r,t)-u_s(r) com BCs homogêneas.
    • Separação leva a autovetores \sin(\lambda r) para \varphi(r) (pois após a transformação obtemos problema \varphi'' + \lambda^2 \varphi =0 com \varphi(0)=0 e \varphi(R)=0).
    • Os autovalores são \lambda_n = \dfrac{n\pi}{R}, n=1,2,\dots.
    • Voltando para T, os modos espaciais ficam proporcionais a \dfrac{\sin(\lambda_n r)}{r}.
  • Solução transiente em série (forma explícita):
T(r,t)=T_s(r) + \sum_{n=1}^\infty C_n\,\frac{\sin\!\left(\dfrac{n\pi r}{R}\right)}{r}\,\exp\!\left(-\alpha\left(\dfrac{n\pi}{R}\right)^2 (t-t_0)\right),
onde os coeficientes C_n obtêm-se a partir da condição inicial através da ortogonalidade apropriada (no caso transformado u=rT a ortogonalidade é a usual em r com peso 1 sobre [0,R]):
C_n = \frac{\int_0^R \big(rT_0(r)-rT_s(r)\big)\sin\!\left(\dfrac{n\pi r}{R}\right)\,dr}{\int_0^R \sin^2\!\left(\dfrac{n\pi r}{R}\right)\,dr}.
Observação: como antes, se T_0 for constante e T_s também, as integrais simplificam e C_n têm fórmula fechada.
Comentário didático: a transformação u=rT é uma sacada muito útil; ela converte o operador esférico em um operador de segunda derivada simples, e os autovalores tornam-se múltiplos de \pi/R, o que facilita escrever a série. Em cilindro não temos um truque tão simples e surgem funções de Bessel; por isso os três casos têm natureza análoga mas funções próprias diferentes.

Passo 6

Resumo dos passos de solução práticos e dicas para a prova
  • Em todas as geometrias o procedimento padrão para problemas transientes sem geração e com BCs fixas é:
    1. Escrever a equação de calor na forma adequada para a geometria.
    2. Encontrar a solução estacionária T_s resolvendo a equação de Laplace (ou deduzir que é constante, dependendo das BCs).
    3. Subtrair T_s e obter u com BCs homogêneas.
    4. Separar variáveis u(\text{espacial},t)=\Phi(\text{espacial})G(t).
    5. Resolver o problema de autovalores espacial (senos em cartesianas, Bessel em cilíndricas, \sin/r em esféricas após transformação).
    6. Expansão da condição inicial nas funções próprias (usar ortogonalidade adequada para obter coeficientes).
    7. Escrever a solução como série temporal com decaimento exponencial \exp(-\alpha\lambda_n^2 t).
  • Dicas rápidas:
    • Para parede plana: memorize o conjunto \sin(n\pi x/L) e os autovalores \lambda_n=n\pi/L.
    • Para cilindro: espere um problema de Bessel J_0; autovalores dados pelos zeros de J_0.
    • Para esfera: use a transformação u=rT para reduzir ao caso senooidal com autovalores n\pi/R.
    • Sempre verifique regularidade em r=0 — isso descarta soluções singulares.
    • Se a condição inicial for constante, faça a integral explicitamente (muitos professores pedem esse caso porque as expressões fechadas aparecem).

Resposta

(a) Parede plana (cartesiana):
T(x,t)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1} + \frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}-\mathrm{T}_{\mathrm{s},1}}{L}x \;+\; \sum_{n=1}^\infty B_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\exp\!\left(-\alpha\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 (t-t_0)\right),
com
B_n = \frac{2}{L}\int_0^L \big(T_0 - T_s(x)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx, \qquad T_s(x)=\mathrm{T}_{\mathrm{s},1} + \frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s},2}-\mathrm{T}_{\mathrm{s},1}}{L}x.
(b) Cilindro (radial, coordenadas cilíndricas):
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right),
solução transiente (após subtrair T_s e impor regularidade no centro):
T(r,t)=T_s(r) + \sum_{n=1}^\infty A_n J_0\!\left(\frac{\beta_n r}{R}\right)\exp\!\left(-\alpha\left(\frac{\beta_n}{R}\right)^2 (t-t_0)\right),
onde \beta_n são os zeros de J_0 ( J_0(\beta_n)=0) e
A_n = \frac{\int_0^R \big(T_0(r)-T_s(r)\big)J_0\!\left(\dfrac{\beta_n r}{R}\right)\,r\,dr} {\int_0^R \Big[J_0\!\left(\dfrac{\beta_n r}{R}\right)\Big]^2 r\,dr}.
A solução estacionária regular satisfaz as BCs impostas (em muitos casos T_s é constante quando se exige regularidade em r=0).
(c) Esfera (radial, coordenadas esféricas):
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right),
após transform u=rT e subtração de T_s, a solução transiente pode ser escrita como
T(r,t)=T_s(r) + \sum_{n=1}^\infty C_n\,\frac{\sin\!\left(\dfrac{n\pi r}{R}\right)}{r}\,\exp\!\left(-\alpha\left(\dfrac{n\pi}{R}\right)^2 (t-t_0)\right),
com
C_n = \frac{\int_0^R \big(rT_0(r)-rT_s(r)\big)\sin\!\left(\dfrac{n\pi r}{R}\right)\,dr}{\int_0^R \sin^2\!\left(\dfrac{n\pi r}{R}\right)\,dr}.
A solução estacionária T_s deve ser regular em r=0 (em geral constante se se exigir finitude em r=0).

Exercícios relacionados