(não está no Incropera 7aed.) Partindo da equação de calor em conjunto com a equação de Fourier, obtenha as equações do perfil de calor do sólido (construa a equação diferencial que rege o fenômeno e integre-a: em (a) coordenadas cartesianas, (b) cilíndricas e (c) esféricas em um meio contínuo. Use sempre fluxo de calor unidimensional. Faça os esquemas correspondentes.
ii. Regime transiente; unidimensional, sem geração de energia;
Em todos os casos utilize as condições de contorno: (a) Parede plana:
, do lado de fora da parede; (b) cilindro: centro
e
na superfície externa; (c) esfera: centro
e
na superfície externa. Para a condição transiente utilize
dentro do sólido em
.
ii. Regime transiente; unidimensional, sem geração de energia;
Em todos os casos utilize as condições de contorno: (a) Parede plana:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações/condições dadas.
-
O que pediram:
- Partir da equação de calor com a lei de Fourier e obter a equação diferencial que rege o fenômeno de condução térmica unidimensional, sem geração interna, no regime transiente.
- Integrar/solucionar (ou expor a solução por séries) para os três sistemas geométricos unidimensionais:
- Parede plana (coordenadas cartesianas, variável espacial
); - Cilindro (coordenadas cilíndricas, simetria radial, variável espacial
); - Esfera (coordenadas esféricas, simetria radial, variável espacial
).
- Parede plana (coordenadas cartesianas, variável espacial
- Usar fluxo de calor unidimensional em cada caso.
- Condições de contorno (usadas como Dirichlet fixas aqui):
- Parede plana: superfícies externas em
e com temperaturas impostas e (o enunciado diz , mas a derivação vale independentemente da ordem). - Cilindro: centro com temperatura
em e superfície externa em com . - Esfera: centro com
em e superfície externa em com .
- Parede plana: superfícies externas em
- Condição inicial para o transiente: em
(normalmente ) temos em todo o sólido.
-
Informação física e parâmetros (que vou usar e explicar):
-
: massa específica do material ( ). -
: capacidade calorífica (capacidade térmica massiva) ( ). -
: condutividade térmica ( ). -
: difusividade térmica, definida por ( ). -
: temperatura no ponto espacial e no tempo .
-
Observações importantes antes de começar: a derivação começa pelo balanço de energia numa pequena porção do sólido + lei de Fourier. Para as soluções transientes vou mostrar detalhadamente o processo completo para a parede plana (caso mais básico) e em seguida dar a formulação equivalente e o resultado (com as ideias de solução) para cilindro e esfera — porque as séries e funções próprias são diferentes (senoides em cartesianas, funções de Bessel em cilíndricas, funções
em esféricas). Vou sempre explicar cada passo e o significado das variáveis.
Passo 2
Princípio físico e construção da equação de calor a partir da lei de Fourier (passo genérico, que vale para todas as geometrias unidimensionais que vamos estudar).
- Lei de Fourier (fluxo de calor por condução): o fluxo de calor unidimensional na direção espacial
(onde pode ser ou conforme o caso) vale
onde
tem unidades
quando
é coordenada linear (no caso radial a expressão com
e áreas específicas será tratada adiante).
- Balanço de energia numa pequena porção de volume (forma diferencial, sem geração interna): a taxa de variação da energia interna no volume é igual ao fluxo de calor líquido que entra pelo contorno. Para um volume
,
onde
é o vetor de fluxo de calor. Substituindo
(lei de Fourier),
- Definindo
, obtemos a equação de difusão térmica (equação de calor):
Essa é a equação geral no espaço tridimensional. Para nossos problemas unidimensionais com simetria adequada,
assume formas específicas: em cartesianas simples
, em cilíndricas (radial)
, e em esféricas (radial)
. A seguir vou aplicar isso caso a caso.
Passo 3
Parede plana — derivação detalhada, integração do problema transiente (caso tratado passo a passo).
-
Geometria e hipóteses:
- Parede de espessura
, coordenada . - Unidimensional (variação só em
). - Sem geração interna.
- Condições de contorno (Dirichlet fixas):
- Condição inicial:
- Parede de espessura
-
Equação de calor 1D cartesiana (já do passo genérico):
- Passo útil: separar a parte estacionária (estado limite
) da parte transiente. Primeiro ache a solução estacionária que zera a derivada temporal:
Integre duas vezes:
Use as BCs para achar
:
Logo
Esse é o perfil linear de temperatura no estado estacionário (faz sentido físico).
- Agora escrevemos a solução completa como soma da estacionária com a contribuição transiente:
onde
satisfaz a equação homogênea com condições homogêneas:
Explicação: essa transformação é padrão porque subtrai a parte que não depende do tempo; assim
tem BCs homogêneas, o que facilita usar separação de variáveis.
-
Separação de variáveis (padrão):
- Procura-se soluções do tipo
. Substituindo:
Divide por: ondeé constante de separação (escolho o sinal para obter decaimento no tempo). Assim: E paraobtemos o problema de autovalores: Soluções não triviais existem para, , com autovetores - Procura-se soluções do tipo
-
Solução por série (usando ortogonalidade das funções seno):
Os coeficientes
são obtidos impondo a condição inicial de
:
- Caso prático frequentemente usado (se o inicial
for constante): pode-se calcular explicitamente . Defina e . Fazendo a integral (integração por partes; os passos são mecânicos) chega-se a
onde
e
definidos acima. (Se quiser eu explico a integral passo a passo; aqui achei importante mostrar a expressão final para usar na prova.)
- Portanto a solução final para a parede plana é
com os
dados pela integral acima.
Comentário didático curto: o que fizemos foi decompor o problema em duas partes — a parte que persiste no longo prazo (estacionária, linear) e a parte que decai no tempo (série de modos com decaimento exponencial). Em prova, esse é um procedimento padrão: achar solução estacionária, subtrair, separar variáveis e expandir a condição inicial nas funções próprias.
Passo 4
Cilindro (simetria radial) — equação, solução estacionária e esboço detalhado da solução transiente (método e fórmulas de coeficientes).
-
Geometria e hipóteses:
- Cilindro longo com simetria axial e angular (variação só em
), raio externo . - Região radial
. - Condições (vou usar BCs tipo Dirichlet como no enunciado):
- Condição inicial:
.
- Cilindro longo com simetria axial e angular (variação só em
-
Equação de calor radial (1D em coordenadas cilíndricas, sem geração):
Explicação física: o operador
é o Laplaciano na simetria radial cilíndrica; aparece porque a área de seção que conduz calor depende de
.
- Solução estacionária
(resolver Laplace radial):
Multiplicando por
e integrando:
Integrando:
Impor BCs
finito exige cuidado: a função
diverge em
. Isso mostra que a condição
com
finita e forma
logarítmica só é compatível se
, ou, dito de outro modo, uma condição de temperatura imposta exatamente no centro torna o problema trivial para a estacionária (o centro sendo um ponto singular da forma
). Na prática físico-matemática, o caso regular mais comum é impor regularidade no centro (
) e temperatura na superfície
. Mas o enunciado pediu centro com
; para manter a coerência prática vamos proceder com o método geral de separar a parte estacionária satisfazendo as duas condições (se ambas forem Dirichlet com valores finitos, a única solução regular em
é a solução constante
— caso especial). Para um caso mais típico (regularidade no centro e temperatura na superfície) a solução estacionária é constante. Em qualquer caso o procedimento transiente segue abaixo; o que muda é a função estacionária a ser subtraída.
- Método transiente (forma padrão):
- Subtrair a solução estacionária
e trabalhar com que satisfaz BCs homogêneas (dependendo do que escolher no ) e a equação
- Tentar separação
leva ao problema radial de autovalores
que é a equação de Bessel de ordem zero. As soluções regulares na origem são múltiplos de (função de Bessel de primeira espécie ordem zero); a outra solução diverge em e é descartada se se exige regularidade no centro. - Impondo a condição (homogênea)
para o modo (ou deslocando com a estacionária), obtém-se os autovalores , onde são os zeros de (isto é, , etc.). - Assim a solução transiente se escreve em série de funções de Bessel:
- Os coeficientes
são obtidos pela expansão da condição inicial em funções usando ortogonalidade com peso no intervalo :
A integral do denominador tem valor conhecido (proporcional ); na prova basta saber que se usa a ortogonalidade com peso e que constantes numéricas aparecem. - Subtrair a solução estacionária
Comentário prático: em provas, é aceitável demonstrar que a equação leva à Bessel e escrever a forma da série com
zeros de
e a fórmula de coeficiente com integral ponderada por
. Se o inicial
for constante e
também, a integral do numerador simplifica e pode-se obter
em termos de
.
Passo 5
Esfera (simetria radial) — equação, solução estacionária e solução transiente com transformação que reduz ao caso clássico.
-
Geometria e hipóteses:
- Esfera de raio
, simetria radial, . - BCs (dirichlet conforme enunciado):
(centro) e (superfície). - Condição inicial:
.
- Esfera de raio
-
Equação de calor radial (esférica):
Explicação: operador Laplaciano radial esférico aparece com o fator
.
- Solução estacionária
(resolver Laplace esférico):
Integrando:
Integrando uma vez mais:
Novamente, para regularidade em
o termo
não pode existir (diverge), então
e a solução estacionária regular é constante. Novamente, como no caso cilíndrico, a imposição de um valor finito em
implica restrições. Normalmente em problemas físicos se impõe
(simetria) e
, levando a uma solução estacionária constante se não houver geração. Se o enunciado impõe centros com temperatura fixa
distinta da superfície, a única solução estacionária regular será constante igual a esse mesmo valor (a menos que se permita singularidades), portanto em muitos problemas práticos escolhe-se estacionária constante ou se trabalha com condições compatíveis.
-
Transformação conveniente para o transiente:
- Defina
. Isso é um truque clássico: aplicando ao operador esférico há redução para uma equação tipo 1D simples para :
Mais explicitamente, comobtém-se que é a equação de calor unidimensional clássica em variável. Observação: para isso é necessário e manipular derivadas; essa transformação evita as complicações do operador com . - Agora, para lidar com BCs, escreva
e escolha a parte estacionária equivalente e subtraia. Fazendo separação de variáveis em e impondo regularidade em (o que traduz-se em se for finito) e condição na superfície (isto é, ), chega-se ao problema canônico.
- Defina
-
Resolução por separação (esquemática):
- Subtrair a solução estacionária e resolver para
com BCs homogêneas. - Separação leva a autovetores
para (pois após a transformação obtemos problema com e ). - Os autovalores são
, . - Voltando para
, os modos espaciais ficam proporcionais a .
- Subtrair a solução estacionária e resolver para
-
Solução transiente em série (forma explícita):
onde os coeficientes
obtêm-se a partir da condição inicial através da ortogonalidade apropriada (no caso transformado
a ortogonalidade é a usual em
com peso
sobre
):
Observação: como antes, se
for constante e
também, as integrais simplificam e
têm fórmula fechada.
Comentário didático: a transformação
é uma sacada muito útil; ela converte o operador esférico em um operador de segunda derivada simples, e os autovalores tornam-se múltiplos de
, o que facilita escrever a série. Em cilindro não temos um truque tão simples e surgem funções de Bessel; por isso os três casos têm natureza análoga mas funções próprias diferentes.
Passo 6
Resumo dos passos de solução práticos e dicas para a prova
-
Em todas as geometrias o procedimento padrão para problemas transientes sem geração e com BCs fixas é:
- Escrever a equação de calor na forma adequada para a geometria.
- Encontrar a solução estacionária
resolvendo a equação de Laplace (ou deduzir que é constante, dependendo das BCs). - Subtrair
e obter com BCs homogêneas. - Separar variáveis
. - Resolver o problema de autovalores espacial (senos em cartesianas, Bessel em cilíndricas,
em esféricas após transformação). - Expansão da condição inicial nas funções próprias (usar ortogonalidade adequada para obter coeficientes).
- Escrever a solução como série temporal com decaimento exponencial
.
-
Dicas rápidas:
- Para parede plana: memorize o conjunto
e os autovalores . - Para cilindro: espere um problema de Bessel
; autovalores dados pelos zeros de . - Para esfera: use a transformação
para reduzir ao caso senooidal com autovalores . - Sempre verifique regularidade em
— isso descarta soluções singulares. - Se a condição inicial for constante, faça a integral explicitamente (muitos professores pedem esse caso porque as expressões fechadas aparecem).
- Para parede plana: memorize o conjunto
Resposta
(a) Parede plana (cartesiana):
com
(b) Cilindro (radial, coordenadas cilíndricas):
solução transiente (após subtrair
e impor regularidade no centro):
onde
são os zeros de
(
) e
A solução estacionária regular satisfaz as BCs impostas (em muitos casos
é constante quando se exige regularidade em
).
(c) Esfera (radial, coordenadas esféricas):
após transform
e subtração de
, a solução transiente pode ser escrita como
com
A solução estacionária
deve ser regular em
(em geral constante se se exigir finitude em
).