3.42 Seja a parede de um tubo com raios interno e externo iguais a ri e re, cujas temperaturas são mantidas a \mathrm{T}_{\mathrm{i}} e \mathrm{T}_{\mathrm{e}}, respectivamente. A condutividade térmica do material do tubo é função da temperatura e pode ser representada por uma expressão na forma \mathrm{k}=\mathrm{k}_{\mathrm{e}}(1+\mathrm{aT}), na qual \mathbf{k}_{\mathrm{e}} \mathrm{e} \mathbf{a} são constantes. Obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo. Qual é a resistência térmica da parede do tubo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Dados (pego do enunciado):
  • raio interno: r_i.
  • raio externo: r_e.
  • temperaturas mantidas: T_i (na face interna) e T_e (na face externa).
  • condutividade térmica variável: k(T)=k_e\bigl(1+aT\bigr), com k_e e a constantes.
O que pedir:
  1. Obter uma expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo (denotar por q').
  2. Determinar a resistência térmica da parede do tubo (denotar por R_{\text{th}}).

Passo 2

Entender a física e a equação básica a usar (aula rápida com calma).
  • Para condução radial estacionária em um cilindro o fluxo de calor que atravessa uma casca cilíndrica de raio r e comprimento L é dado pela lei de Fourier (forma radial):
\dot Q_r = -k(T)\,A_r\,\frac{dT}{dr},
onde A_r é a área através da qual o calor passa. Para uma casca cilíndrica A_r = 2\pi r L.
  • Como nos pedem taxa por unidade de comprimento, tomamos L=1. Definimos então q' como a taxa de calor por unidade de comprimento:
q' = \dot Q/L = -2\pi r\,k(T)\,\frac{dT}{dr}.
Explicação do sinal: o negativo indica que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura (se T_i>T_e então dT/dr<0 e q'>0). Na prática queremos a magnitude e expressão funcional de q'.

Passo 3

Separar variáveis para integrar (porque k depende de T).
Da equação acima, como q' é constante no regime estacionário para todo r, podemos rearranjar:
\frac{q'}{2\pi}\,\frac{dr}{r} = -k(T)\,dT.
Integramos dos limites geométricos r=r_i a r=r_e e dos limites de temperatura T=T_i a T=T_e:
\frac{q'}{2\pi}\int_{r_i}^{r_e}\frac{dr}{r} \;=\; -\int_{T_i}^{T_e} k(T)\,dT.

Passo 4

Calcular a integral do lado esquerdo (fácil) e do lado direito usando a forma dada de k(T).
Lado esquerdo:
\int_{r_i}^{r_e}\frac{dr}{r}=\ln\!\left(\frac{r_e}{r_i}\right).
Lado direito: usar k(T)=k_e(1+aT). Então
\int_{T_i}^{T_e} k(T)\,dT = k_e\int_{T_i}^{T_e}\bigl(1+aT\bigr)\,dT = k_e\Bigl[(T)\;+\;\frac{a}{2}T^2\Bigr]_{T_i}^{T_e}.
Portanto
\int_{T_i}^{T_e} k(T)\,dT = k_e\Bigl[(T_e-T_i)+\frac{a}{2}\bigl(T_e^2-T_i^2\bigr)\Bigr].

Passo 5

Juntar os resultados e isolar q'.
A igualdade das integrais dá:
\frac{q'}{2\pi}\,\ln\!\left(\frac{r_e}{r_i}\right) = -k_e\Bigl[(T_e-T_i)+\frac{a}{2}\bigl(T_e^2-T_i^2\bigr)\Bigr].
Multiplicando por -1 e reescrevendo os termos como diferenças T_i-T_e e T_i^2-T_e^2 (mais intuitivo quando T_i>T_e):
\frac{q'}{2\pi}\,\ln\!\left(\frac{r_e}{r_i}\right) = k_e\Bigl[(T_i-T_e)+\frac{a}{2}\bigl(T_i^2-T_e^2\bigr)\Bigr].
Isolando q':
q' = \frac{2\pi k_e\Bigl[(T_i-T_e)+\dfrac{a}{2}\bigl(T_i^2-T_e^2\bigr)\Bigr]}{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}.
Podemos fatorar (T_i-T_e) usando T_i^2-T_e^2=(T_i-T_e)(T_i+T_e) para escrever uma forma alternativa, frequentemente mais prática:
q' = \frac{2\pi k_e\,(T_i-T_e)\,\Bigl[1+\dfrac{a}{2}(T_i+T_e)\Bigr]}{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}.

Passo 6

Obter a resistência térmica R_{\text{th}} da parede do tubo.
Definição prática de resistência térmica (por unidade de comprimento):
R_{\text{th}}=\frac{T_i-T_e}{q'}.
Substituindo a forma factorada de q' obtemos
R_{\text{th}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}{2\pi k_e\Bigl[1+\dfrac{a}{2}(T_i+T_e)\Bigr]}.
Observação física e utilidade: a resistência efetiva depende das temperaturas T_i e T_e através do termo \dfrac{a}{2}(T_i+T_e), que aparece porque a condutividade é função linear de T. A forma lembra a resistência de uma parede com condutividade constante, mas com k substituído por um valor médio efetivo k_{\text{ef}}=k_e\bigl[1+\tfrac{a}{2}(T_i+T_e)\bigr] (isso é uma forma útil de interpretar).

Resposta

q'=\frac{2\pi k_e\Bigl[(T_i-T_e)+\dfrac{a}{2}\bigl(T_i^2-T_e^2\bigr)\Bigr]}{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}
R_{\text{th}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}{2\pi k_e\Bigl[1+\dfrac{a}{2}(T_i+T_e)\Bigr]}

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