3.42 Seja a parede de um tubo com raios interno e externo iguais a ri e re, cujas temperaturas são mantidas a
e
, respectivamente. A condutividade térmica do material do tubo é função da temperatura e pode ser representada por uma expressão na forma
, na qual
são constantes. Obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo. Qual é a resistência térmica da parede do tubo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Dados (pego do enunciado):
- raio interno:
. - raio externo:
. - temperaturas mantidas:
(na face interna) e (na face externa). - condutividade térmica variável:
, com e constantes.
O que pedir:
- Obter uma expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo (denotar por
). - Determinar a resistência térmica da parede do tubo (denotar por
).
Passo 2
Entender a física e a equação básica a usar (aula rápida com calma).
- Para condução radial estacionária em um cilindro o fluxo de calor que atravessa uma casca cilíndrica de raio
e comprimento é dado pela lei de Fourier (forma radial):
onde
é a área através da qual o calor passa. Para uma casca cilíndrica
.
- Como nos pedem taxa por unidade de comprimento, tomamos
. Definimos então como a taxa de calor por unidade de comprimento:
Explicação do sinal: o negativo indica que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura (se
então
e
). Na prática queremos a magnitude e expressão funcional de
.
Passo 3
Separar variáveis para integrar (porque
depende de
).
Da equação acima, como
é constante no regime estacionário para todo
, podemos rearranjar:
Integramos dos limites geométricos
a
e dos limites de temperatura
a
:
Passo 4
Calcular a integral do lado esquerdo (fácil) e do lado direito usando a forma dada de
.
Lado esquerdo:
Lado direito: usar
. Então
Portanto
Passo 5
Juntar os resultados e isolar
.
A igualdade das integrais dá:
Multiplicando por
e reescrevendo os termos como diferenças
e
(mais intuitivo quando
):
Isolando
:
Podemos fatorar
usando
para escrever uma forma alternativa, frequentemente mais prática:
Passo 6
Obter a resistência térmica
da parede do tubo.
Definição prática de resistência térmica (por unidade de comprimento):
Substituindo a forma factorada de
obtemos
Observação física e utilidade: a resistência efetiva depende das temperaturas
e
através do termo
, que aparece porque a condutividade é função linear de
. A forma lembra a resistência de uma parede com condutividade constante, mas com
substituído por um valor médio efetivo
(isso é uma forma útil de interpretar).