3.102 Seja a placa plana do Problema 3.101, porém com os sumidouros de calor a temperaturas diferentes, T(0)=T_{0} e T(L)=T_{L}, e com a superfície inferior não mais isolada termicamente. Agora pode ocorrer transferência de calor por convecção entre a superfície inferior da placa e um fluido a T_{\infty}, com um coeficiente convectivo h.
Deduza a equação diferencial que determina a distribuição de temperaturas no regime estacionário T(x) na placa.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa plana de espessura L no eixo x, com as faces em x=0 e x=L mantidas nas temperaturas T(0)=T_{0} e T(L)=T_{L}. Antes, a face inferior (em contato com o fluido) estava isolada; agora há convecção nessa face, com coeficiente h e fluido a T_{\infty}. Queremos obter a equação diferencial para a temperatura estacionária T(x) ao longo da placa. O conteúdo de matéria é balanço de energia em regime permanente e condução unidimensional com termo de fonte/distribuição devido à convecção.

Passo 2

Considere um elemento de controle da placa de comprimento dx ao longo do eixo x, área de seção transversal à condução A (constante) e perímetro de convecção P na face inferior. Em regime estacionário, a soma das potências trocadas deve ser nula: potência de condução que entra em x, menos a que sai em x+dx, menos a potência removida por convecção na face inferior desse elemento, é zero.

Passo 3

Escrevendo cada termo:
– Condução entrando em x:
\dot Q_{x} = -\,k\,A\,\frac{dT}{dx}\Big|_{x}.
– Condução saindo em x+dx:
\dot Q_{x+dx} = -\,k\,A\,\frac{dT}{dx}\Big|_{x+dx}.
– Convecção na face inferior do elemento:
\dot Q_{\text{conv}} = h\,P\,dx\;\bigl[T(x)-T_{\infty}\bigr].

Passo 4

Impondo balanço de energia (entrada – saída – convecção =0) e fazendo dx\to0:
\dot Q_{x} - \dot Q_{x+dx} - \dot Q_{\text{conv}} = 0 \;\Longrightarrow\; -\,kA\frac{dT}{dx} + kA\frac{dT}{dx}\Big|_{x+dx} - hP\,dx\,(T-T_{\infty}) = 0.
Dividindo por dx e passando para a forma diferencial:
-\frac{d}{dx}\!\Bigl(kA\frac{dT}{dx}\Bigr) - hP\,(T-T_{\infty}) = 0.

Passo 5

Como k e A são constantes, temos
kA\,\frac{d^2T}{dx^2} - hP\,(T-T_{\infty}) = 0.
Dividindo por kA, obtemos a equação diferencial final para T(x):
\frac{d^2T}{dx^2} \;-\;\frac{hP}{kA}\,\bigl[T(x)-T_{\infty}\bigr] \;=\;0.

Resposta

\frac{d^2T}{dx^2} \;-\;\frac{hP}{kA}\,\bigl[T(x)-T_{\infty}\bigr] = 0.

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