3.56 No Exemplo 3.5 foi deduzida uma expressão para o raio crítico do isolante de um tubo cilíndrico isolado. Desenvolva a expressão que seria apropriada para uma esfera isolada.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a expressão do raio crítico de um isolante esférico, ou seja, o valor de r_2 que torna mínima a resistência térmica total entre o núcleo esférico de raio interno r_1 e o meio ambiente. O conteúdo envolvido é o de resistências térmicas em série (condução no isolante e convecção na superfície externa) e otimização por derivada.

Passo 2

Escrevemos a resistência térmica por condução através de um casaco esférico de raio interno r_1 e externo r_2. Sabemos que
R_{\rm cond} =\frac{1}{4\pi k}\,\biggl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\biggr)
onde k é a condutividade térmica do isolante.

Passo 3

A resistência térmica por convecção na face externa de raio r_2 é
R_{\rm conv} =\frac{1}{h\,(4\pi r_2^2)}
sendo h o coeficiente de convecção no exterior.

Passo 4

A resistência total em série é
R_{\rm tot}(r_2) =R_{\rm cond}+R_{\rm conv} =\frac{1}{4\pi k}\,\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr) +\frac{1}{4\pi h\,r_2^2}.

Passo 5

Para encontrar o r_2 que minimiza R_{\rm tot}, igualamos a derivada de R_{\rm tot} em relação a r_2 a zero:
\frac{\mathrm{d}R_{\rm tot}}{\mathrm{d}r_2} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r_2}\biggl[ -\frac{1}{4\pi k\,r_2} +\frac{1}{4\pi h\,r_2^2} \biggr] =0.
Calculando cada termo:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r_2}\Bigl(-\tfrac{1}{4\pi k\,r_2}\Bigr) =\frac{1}{4\pi k\,r_2^2}, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r_2}\Bigl(\tfrac{1}{4\pi h\,r_2^2}\Bigr) =-\frac{2}{4\pi h\,r_2^3}.
Logo, a condição é
\frac{1}{4\pi k\,r_2^2} -\frac{2}{4\pi h\,r_2^3} =0.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 4\pi\,r_2^3 resulta
\frac{r_2}{k}-\frac{2}{h}=0 \quad\Longrightarrow\quad r_2=\frac{2k}{h}.

Resposta

O raio crítico do isolante esférico é
r_{\mathrm{crítico}} =\frac{2\,k}{h}.í

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