3.56 No Exemplo 3.5 foi deduzida uma expressão para o raio crítico do isolante de um tubo cilíndrico isolado. Desenvolva a expressão que seria apropriada para uma esfera isolada.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a expressão do raio crítico de um isolante esférico, ou seja, o valor de
que torna mínima a resistência térmica total entre o núcleo esférico de raio interno
e o meio ambiente. O conteúdo envolvido é o de resistências térmicas em série (condução no isolante e convecção na superfície externa) e otimização por derivada.
Passo 2
Escrevemos a resistência térmica por condução através de um casaco esférico de raio interno
e externo
. Sabemos que
onde
é a condutividade térmica do isolante.
Passo 3
A resistência térmica por convecção na face externa de raio
é
sendo
o coeficiente de convecção no exterior.
Passo 4
A resistência total em série é
Passo 5
Para encontrar o
que minimiza
, igualamos a derivada de
em relação a
a zero:
Calculando cada termo:
Logo, a condição é
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Resposta
O raio crítico do isolante esférico é