9.103 Os momentos de inércia e o produto de inércia de uma seção transversal da cantoneira de \mathrm{L} 102 \times 76 \times 6,4 \mathrm{~mm} em relação a dois eixos retangulares x e y passando por C são, respectivamente, \bar{I}_{x}=0,166 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}, \bar{I}_{y}=0,453 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} \mathrm{e} \bar{I}_{x y}<0, sendo \bar{I}_{\text {min }}=0,051 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} o valor mínimo do momento de inércia da superfície em relação a qualquer eixo que passa por C. Usando o círculo de Mohr, determine (a) o produto de inércia \bar{I}_{x y} da supefície, (b) a orientação dos eixos principais, (c) o valor de \bar{I}_{\text {míx }}í.

Passo 1

O enunciado dá os momentos de inércia e pede o produto de inércia e os eixos principais. Vou listar claramente o que foi informado e o que se pede.
  • Dados fornecidos:
    • \bar{I}_x = 0{,}166\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
    • \bar{I}_y = 0{,}453\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
    • Sabe-se que \bar{I}_{xy}<0.
    • O menor momento principal (mínimo) medido em qualquer eixo que passa por C é \bar{I}_{\min}=0{,}051\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar o produto de inércia \bar{I}_{xy} da superfície (valor numérico e sinal).
    (b) Determinar a orientação dos eixos principais (ângulo entre o eixo x dado e o eixo principal).
    (c) Determinar o valor de \bar{I}_{\max} (o momento de inércia máximo principal).

Passo 2

Conceito e fórmulas essenciais (mini-aula): Mohr e relações entre os momentos e o produto de inércia.
  • Para um ponto C e eixos ortogonais x,y quaisquer, definimos a média dos momentos
\bar{I}_{\text{m}} = \frac{\bar{I}_x+\bar{I}_y}{2}.
  • Os momentos principais (autovalores) são
\bar{I}_{1,2} = \bar{I}_{\text{m}} \pm R,
onde R é o “raio” de Mohr para inércia:
R=\sqrt{\left(\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}\right)^{2}+\bar{I}_{xy}^{2}}.
  • Assim, os valores máximos e mínimos são
\bar{I}_{\max}=\bar{I}_{\text{m}}+R,\qquad \bar{I}_{\min}=\bar{I}_{\text{m}}-R.
  • A orientação \theta dos eixos principais (ângulo a partir do eixo x, medida no sentido positivo usual) satisfaz
\tan(2\theta)=\frac{2\bar{I}_{xy}}{\bar{I}_x-\bar{I}_y}.
Observação didática: essas fórmulas são análogas às do círculo de Mohr para tensões; aqui aplicamos a “circunferência” dos momentos de inércia. Saber manipular média, diferença e extrair R permite obter \bar{I}_{xy} quando um dos momentos principais (aqui \bar{I}_{\min}) é conhecido.

Passo 3

Usar as fórmulas para obter R a partir de \bar{I}_{\min}, depois resolver \bar{I}_{xy}.
  • Calcular a média \bar{I}_{\text{m}}:
\bar{I}_{\text{m}}=\frac{\bar{I}_x+\bar{I}_y}{2} =\frac{0{,}166\times10^{6}+0{,}453\times10^{6}}{2}.
Fazendo a soma:
0{,}166\times10^{6}+0{,}453\times10^{6}=0{,}619\times10^{6},
portanto
\bar{I}_{\text{m}}=0{,}619\times10^{6}/2=0{,}3095\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
  • Como \bar{I}_{\min}=\bar{I}_{\text{m}}-R, temos
R=\bar{I}_{\text{m}}-\bar{I}_{\min}.
Substituindo:
R=0{,}3095\times10^{6}-0{,}051\times10^{6}=0{,}2585\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 4

Determinar \bar{I}_{xy} a partir de R.
  • A identidade para R^2 é
R^{2}=\left(\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}\right)^{2}+\bar{I}_{xy}^{2}.
Isolando \bar{I}_{xy}^{2}:
\bar{I}_{xy}^{2}=R^{2}-\left(\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}\right)^{2}.
  • Calcular cada termo numericamente (faço os passos explícitos para você reproduzir sem calculadora, aproximando quando necessário):
    • \dfrac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}=\dfrac{0{,}166\times10^{6}-0{,}453\times10^{6}}{2}=\dfrac{-0{,}287\times10^{6}}{2}=-0{,}1435\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
    • Quadrado: \left(-0{,}1435\times10^{6}\right)^{2}=0{,}02059225\times10^{12}=(0{,}02059225)\times10^{12}\\ \mathrm{mm}^8.
    • R^{2}=(0{,}2585\times10^{6})^{2}=0{,}06682225\times10^{12}=(0{,}06682225)\times10^{12}\\ \mathrm{mm}^8.
  • Subtraindo:
\bar{I}_{xy}^{2}=\big(0{,}06682225-0{,}02059225\big)\times10^{12}=0{,}04623\times10^{12}.
  • Raiz quadrada:
\bar{I}_{xy}=\pm\sqrt{0{,}04623\times10^{12}}=\pm0{,}21501\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4\approx\pm0{,}215\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
  • Como o enunciado informou que \bar{I}_{xy}<0, escolhemos o sinal negativo:
\bar{I}_{xy}=-0{,}215\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 5

Calcular \bar{I}_{\max} (o outro momento principal) e verificar consistência.
  • Sabendo R=0{,}2585\times10^{6} e \bar{I}_{\text{m}}=0{,}3095\times10^{6}, temos
\bar{I}_{\max}=\bar{I}_{\text{m}}+R=0{,}3095\times10^{6}+0{,}2585\times10^{6}=0{,}5680\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
  • Conferência rápida: \bar{I}_{\max}=0{,}568\times10^{6} e \bar{I}_{\min}=0{,}051\times10^{6} são simétricos em relação à média 0{,}3095\times10^{6}, o que confirma que os cálculos estão coerentes.

Passo 6

Determinar a orientação dos eixos principais (ângulo \theta).
  • Fórmula:
\tan(2\theta)=\frac{2\bar{I}_{xy}}{\bar{I}_x-\bar{I}_y}.
Substituindo os valores (faço em notação decimal para facilitar a conta):
\frac{2\bar{I}_{xy}}{\bar{I}_x-\bar{I}_y}=\frac{2(-0{,}21501\times10^{6})}{0{,}166\times10^{6}-0{,}453\times10^{6}} =\frac{-0{,}43002\times10^{6}}{-0{,}287\times10^{6}}=+1{,}498\\ (\text{aprox.}).
  • Logo
2\theta=\arctan(1{,}498)\approx56{,}31^\circ,
portanto
\theta\approx\frac{56{,}31^\circ}{2}=28{,}155^\circ\approx28{,}16^\circ.
  • Interpretação (importante): esse \theta é o ângulo medido a partir do eixo x (no sentido positivo) até um dos eixos principais. Como arctan fornece duas soluções separadas por 180^\circ para 2\theta, as duas soluções de \theta diferem por 90^\circ. Uma dessas direções corresponde ao eixo principal associado a \bar{I}_{\min} e a outra, perpendicular, ao eixo associado a \bar{I}_{\max}.
  • Para saber qual das duas (a de 28{,}16^\circ ou a de 118{,}16^\circ) corresponde a \bar{I}_{\min} ou a \bar{I}_{\max}, podemos usar a expressão alternativa
\bar{I}(\theta)=\bar{I}_{\text{m}}+\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}\cos(2\theta)+\bar{I}_{xy}\sin(2\theta).
Substituindo 2\theta\approx56{,}31^\circ dá um valor próximo de \bar{I}_{\min}=0{,}051\times10^{6}, ou seja, o ângulo \theta\approx28{,}16^\circ aponta para o eixo principal que fornece o momento mínimo. O eixo de momento máximo está a 90^\circ desse, isto é, \theta\approx28{,}16^\circ+90^\circ=118{,}16^\circ.

Passo 7

Resumo numérico final (com unidades e arredondamento razoável)
  • \bar{I}_{xy}=-0{,}215\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4 (valor negativo, conforme enunciado).
  • Orientação dos eixos principais: um eixo principal faz \theta\approx28{,}16^\circ com o eixo x (esse eixo corresponde ao momento mínimo). O outro eixo principal é perpendicular, a \theta\approx118{,}16^\circ, e corresponde ao momento máximo.
  • \bar{I}_{\max}=0{,}568\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.

Resposta

(a) \bar{I}_{xy}=-0{,}215\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4
(b) Eixos principais: \theta\approx28{,}16^\circ (eixo do \bar{I}_{\min}) e \theta\approx118{,}16^\circ (eixo do \bar{I}_{\max}), medidos a partir do eixo x.
(c) \bar{I}_{\max}=0{,}568\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4

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