9.103 Os momentos de inércia e o produto de inércia de uma seção transversal da cantoneira de \mathrm{L} 102 \times 76 \times 6,4 \mathrm{~mm} em relação a dois eixos retangulares x e y passando por C são, respectivamente, \bar{I}_{x}=0,166 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}, \bar{I}_{y}=0,453 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} \mathrm{e} \bar{I}_{x y}<0, sendo \bar{I}_{\text {min }}=0,051 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} o valor mínimo do momento de inércia da superfície em relação a qualquer eixo que passa por C. Usando o círculo de Mohr, determine (a) o produto de inércia \bar{I}_{x y} da supefície, (b) a orientação dos eixos principais, (c) o valor de \bar{I}_{\text {míx }}.
Passo 1
O enunciado dá os momentos de inércia e pede o produto de inércia e os eixos principais. Vou listar claramente o que foi informado e o que se pede.
Dados fornecidos:
\bar{I}_x = 0{,}166\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
\bar{I}_y = 0{,}453\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
Sabe-se que \bar{I}_{xy}<0.
O menor momento principal (mínimo) medido em qualquer eixo que passa por C é \bar{I}_{\min}=0{,}051\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o produto de inércia \bar{I}_{xy} da superfície (valor numérico e sinal).
(b) Determinar a orientação dos eixos principais (ângulo entre o eixo x dado e o eixo principal).
(c) Determinar o valor de \bar{I}_{\max} (o momento de inércia máximo principal).
Passo 2
Conceito e fórmulas essenciais (mini-aula): Mohr e relações entre os momentos e o produto de inércia.
Para um ponto C e eixos ortogonais x,y quaisquer, definimos a média dos momentos
Observação didática: essas fórmulas são análogas às do círculo de Mohr para tensões; aqui aplicamos a “circunferência” dos momentos de inércia. Saber manipular média, diferença e extrair R permite obter \bar{I}_{xy} quando um dos momentos principais (aqui \bar{I}_{\min}) é conhecido.
Passo 3
Usar as fórmulas para obter R a partir de \bar{I}_{\min}, depois resolver \bar{I}_{xy}.
Conferência rápida: \bar{I}_{\max}=0{,}568\times10^{6} e \bar{I}_{\min}=0{,}051\times10^{6} são simétricos em relação à média 0{,}3095\times10^{6}, o que confirma que os cálculos estão coerentes.
Passo 6
Determinar a orientação dos eixos principais (ângulo \theta).
Interpretação (importante): esse \theta é o ângulo medido a partir do eixo x (no sentido positivo) até um dos eixos principais. Como arctan fornece duas soluções separadas por 180^\circ para 2\theta, as duas soluções de \theta diferem por 90^\circ. Uma dessas direções corresponde ao eixo principal associado a \bar{I}_{\min} e a outra, perpendicular, ao eixo associado a \bar{I}_{\max}.
Para saber qual das duas (a de 28{,}16^\circ ou a de 118{,}16^\circ) corresponde a \bar{I}_{\min} ou a \bar{I}_{\max}, podemos usar a expressão alternativa
Substituindo 2\theta\approx56{,}31^\circ dá um valor próximo de \bar{I}_{\min}=0{,}051\times10^{6}, ou seja, o ângulo \theta\approx28{,}16^\circ aponta para o eixo principal que fornece o momento mínimo. O eixo de momento máximo está a 90^\circ desse, isto é, \theta\approx28{,}16^\circ+90^\circ=118{,}16^\circ.
Passo 7
Resumo numérico final (com unidades e arredondamento razoável)
Orientação dos eixos principais: um eixo principal faz \theta\approx28{,}16^\circ com o eixo x (esse eixo corresponde ao momento mínimo). O outro eixo principal é perpendicular, a \theta\approx118{,}16^\circ, e corresponde ao momento máximo.
(a) \bar{I}_{xy}=-0{,}215\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4
(b) Eixos principais: \theta\approx28{,}16^\circ (eixo do \bar{I}_{\min}) e \theta\approx118{,}16^\circ (eixo do \bar{I}_{\max}), medidos a partir do eixo x.
(c) \bar{I}_{\max}=0{,}568\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4