9.82 Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.75 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos
e
de
no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.75 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos
e
de
no sentido horário.
Informações importantes e o que falta:
- O pedido é para obter
e , onde são os eixos centroidais após rotação de no sentido horário em relação aos eixos centroidais originais . - Para calcular numericamente esses valores é necessário conhecer os momentos de inércia centroidais originais
e o produto de inércia centroidal referentes à superfície do Problema 9.75. - Esses valores (ou a descrição geométrica dessa superfície suficiente para calculá-los) não foram fornecidos aqui. Portanto NÃO é possível obter valores numéricos específicos sem os dados do Problema 9.75.
Vou, no entanto, explicar passo a passo como proceder no exame: que fórmulas usar, por que funcionam, e como aplicar ao caso de rotação de
no sentido horário.
Passo 2
O que são
e por que precisamos deles
- Os momentos de inércia de área em relação a eixos que passam pelo centróide são definidos por integrais sobre a área
:
e o produto de inércia centroidal é
Aqui
são coordenadas com origem no centróide da área (por isso dizem “centroidais”). As unidades típicas são comprimento^4 (por ex.
ou
).
Como se obtêm na prática (resumo para prova):
- Se a área for composta, dividir em peças simples, calcular área e centróides de cada peça.
- Calcular momentos de cada peça em relação a eixos de referência fáceis (usando fórmulas tabeladas) e aplicar o teorema dos eixos paralelos para levar ao eixo centroidal principal da peça.
- Somar contribuições algébricas para obter
da área total sobre eixos centroidais comuns. - Uma vez com
relativos aos eixos centroidais originais, usa-se transformação para eixos rotacionados.
Observação sobre produto de inércia: pode ser positivo, negativo ou zero dependendo da simetria da área. Quando a área é simétrica em relação a um eixo, o produto relativo a esse eixo tende a zerar.
Passo 3
Fórmulas gerais de transformação por rotação de eixos
Se se rotaciona os eixos originais por um ângulo
(ângulo positivo no sentido anti-horário) para obter
, os momentos transformam-se segundo as fórmulas padrão (resultantes da mudança de variáveis nas integrais):
Se se rotaciona os eixos originais
O significado de cada símbolo:
-
: valores conhecidos sobre os eixos centroidais originais. -
: ângulo de rotação dos eixos originais para os novos eixos, medido no sentido anti-horário. (Se a rotação for no sentido horário, é negativo.) -
: momentos de inércia e produto de inércia nos novos eixos.
Essas fórmulas são fáceis de aplicar em prova: basta conhecer os três valores iniciais e o ângulo de rotação.
Passo 4
Aplicando ao caso: rotação de
no sentido horário
- Rotação de
no sentido horário corresponde a . - Calcule
. Então
Substituindo nas fórmulas gerais:
Portanto, para a rotação pedida (45° horário) as fórmulas ficam especialmente simples e práticas de aplicar em prova.
Passo 5
Interpretação e como usar isso em prova (passo a passo prático)
- Calcule (ou recupere do Problema 9.75)
relativos aos eixos centroidais originais. - Substitua esses três números nas fórmulas abaixo (resultado direto para rotação de
horário). - Faça as operações aritméticas: some
, divida por , some ou subtraia conforme as fórmulas, e calcule para o produto de inércia nos eixos rotacionados.
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para praticar o procedimento; NÃO use estes números para o problema real a menos que coincidam com os seus dados):
- Suponha
(un.), (un.), (un.). - Então
(Repare como os números foram fáceis por causa da simplificação com
.)
Passo 6
Conclusão e o que preciso de você (ou o que você deve buscar no Problema 9.75)
- Não posso fornecer valores numéricos finais porque o enunciado do Problema 9.75 (a geometria da superfície e/ou os valores de
) não foi anexado aqui. - Se você me enviar os valores centroidais
do Problema 9.75 (ou a figura/dados suficientes para calculá-los), eu faço a substituição e devolvo numericamente já neste formato passo a passo.
Força aí — manda os valores se quiser que eu calcule os números pra você!