9.82 Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.75 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 45^{\circ} no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.75 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 45^\circ no sentido horário.
Informações importantes e o que falta:
  • O pedido é para obter I_{x'},\,I_{y'} e I_{x'y'}, onde x',y' são os eixos centroidais após rotação de 45^\circ no sentido horário em relação aos eixos centroidais originais x,y.
  • Para calcular numericamente esses valores é necessário conhecer os momentos de inércia centroidais originais I_x,\,I_y e o produto de inércia centroidal I_{xy} referentes à superfície do Problema 9.75.
  • Esses valores (ou a descrição geométrica dessa superfície suficiente para calculá-los) não foram fornecidos aqui. Portanto NÃO é possível obter valores numéricos específicos sem os dados do Problema 9.75.
Vou, no entanto, explicar passo a passo como proceder no exame: que fórmulas usar, por que funcionam, e como aplicar ao caso de rotação de 45^\circ no sentido horário.

Passo 2

O que são I_x, I_y, I_{xy} e por que precisamos deles
  • Os momentos de inércia de área em relação a eixos que passam pelo centróide são definidos por integrais sobre a área A:
I_x=\iint_A y^2\,dA,\qquad I_y=\iint_A x^2\,dA,
e o produto de inércia centroidal é
I_{xy}=\iint_A xy\,dA.
Aqui x,y são coordenadas com origem no centróide da área (por isso dizem “centroidais”). As unidades típicas são comprimento^4 (por ex. \text{m}^4 ou \text{cm}^4).
Como se obtêm na prática (resumo para prova):
  1. Se a área for composta, dividir em peças simples, calcular área e centróides de cada peça.
  2. Calcular momentos de cada peça em relação a eixos de referência fáceis (usando fórmulas tabeladas) e aplicar o teorema dos eixos paralelos para levar ao eixo centroidal principal da peça.
  3. Somar contribuições algébricas para obter I_x, I_y, I_{xy} da área total sobre eixos centroidais comuns.
  4. Uma vez com I_x, I_y, I_{xy} relativos aos eixos centroidais originais, usa-se transformação para eixos rotacionados.
Observação sobre produto de inércia: pode ser positivo, negativo ou zero dependendo da simetria da área. Quando a área é simétrica em relação a um eixo, o produto relativo a esse eixo tende a zerar.

Passo 3

Fórmulas gerais de transformação por rotação de eixos
Se se rotaciona os eixos originais x,y por um ângulo \theta (ângulo positivo no sentido anti-horário) para obter x',y', os momentos transformam-se segundo as fórmulas padrão (resultantes da mudança de variáveis nas integrais):
I_{x'}=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos(2\theta)-I_{xy}\sin(2\theta),
I_{y'}=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos(2\theta)+I_{xy}\sin(2\theta),
I_{x'y'}=\frac{I_x-I_y}{2}\sin(2\theta)+I_{xy}\cos(2\theta).
O significado de cada símbolo:
  • I_x,I_y,I_{xy}: valores conhecidos sobre os eixos centroidais originais.
  • \theta: ângulo de rotação dos eixos originais para os novos eixos, medido no sentido anti-horário. (Se a rotação for no sentido horário, \theta é negativo.)
  • I_{x'},I_{y'},I_{x'y'}: momentos de inércia e produto de inércia nos novos eixos.
Essas fórmulas são fáceis de aplicar em prova: basta conhecer os três valores iniciais e o ângulo de rotação.

Passo 4

Aplicando ao caso: rotação de 45^\circ no sentido horário
  • Rotação de 45^\circ no sentido horário corresponde a \theta=-45^\circ.
  • Calcule 2\theta=-90^\circ. Então
\cos(2\theta)=\cos(-90^\circ)=0,\qquad \sin(2\theta)=\sin(-90^\circ)=-1.
Substituindo nas fórmulas gerais:
I_{x'}=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cdot 0 - I_{xy}\cdot(-1) =\frac{I_x+I_y}{2}+I_{xy},
I_{y'}=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cdot 0 + I_{xy}\cdot(-1) =\frac{I_x+I_y}{2}-I_{xy},
I_{x'y'}=\frac{I_x-I_y}{2}\cdot(-1)+I_{xy}\cdot 0 =-\frac{I_x-I_y}{2}=\frac{I_y-I_x}{2}.
Portanto, para a rotação pedida (45° horário) as fórmulas ficam especialmente simples e práticas de aplicar em prova.

Passo 5

Interpretação e como usar isso em prova (passo a passo prático)
  1. Calcule (ou recupere do Problema 9.75) I_x,\,I_y,\,I_{xy} relativos aos eixos centroidais originais.
  2. Substitua esses três números nas fórmulas abaixo (resultado direto para rotação de 45^\circ horário).
  3. Faça as operações aritméticas: some I_x+I_y, divida por 2, some ou subtraia I_{xy} conforme as fórmulas, e calcule (I_y-I_x)/2 para o produto de inércia nos eixos rotacionados.
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para praticar o procedimento; NÃO use estes números para o problema real a menos que coincidam com os seus dados):
  • Suponha I_x=10 (un.), I_y=6 (un.), I_{xy}=2 (un.).
  • Então
I_{x'}=\frac{10+6}{2}+2=8+2=10,
I_{y'}=\frac{10+6}{2}-2=8-2=6,
I_{x'y'}=\frac{6-10}{2}=-2.
(Repare como os números foram fáceis por causa da simplificação com \cos(2\theta)=0.)

Passo 6

Conclusão e o que preciso de você (ou o que você deve buscar no Problema 9.75)
  • Não posso fornecer valores numéricos finais porque o enunciado do Problema 9.75 (a geometria da superfície e/ou os valores de I_x,I_y,I_{xy}) não foi anexado aqui.
  • Se você me enviar os valores centroidais I_x,\,I_y,\,I_{xy} do Problema 9.75 (ou a figura/dados suficientes para calculá-los), eu faço a substituição e devolvo I_{x'},\,I_{y'},\,I_{x'y'} numericamente já neste formato passo a passo.
Força aí — manda os valores se quiser que eu calcule os números pra você!

Resposta

I_{x'}=\dfrac{I_x+I_y}{2}+I_{xy}\n
I_{y'}=\dfrac{I_x+I_y}{2}-I_{xy}\n
I_{x'y'}=\dfrac{I_y-I_x}{2}

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