9.83 Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da seção transversal de cantoneira de \mathrm{L} 76 \times 51 \times 6,4 \mathrm{~mm} do Problema 9.74 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 30^{\circ} no sentido horário.

Passo 1

O enunciado dá uma seção em cantoneira \mathrm{L}\,76\times51\times6{,}4\\ \mathrm{mm} e pede os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y em 30^\circ no sentido horário. Do enunciado eu vou usar explicitamente os seguintes dados:
  • comprimento das duas abas: 76\\ \mathrm{mm} e 51\\ \mathrm{mm};
  • espessura da aba: t=6{,}4\\ \mathrm{mm};
  • rotação dos eixos: 30^\circ no sentido horário (ou seja, ângulo de rotação \theta=-30^\circ, tomando o sentido anti-horário como positivo);
  • os eixos originais x e y são os eixos centroidais do perfil antes da rotação (o enunciado pede os momentos relativos a “novos eixos centroidais” obtidos por rotação dos eixos x,y — logo as quantidades iniciais que uso são relativas ao centroide).
Vou modelar a cantoneira como a união de dois retângulos finos (uma aba horizontal e uma vertical) menos o quadrado de sobreposição (área comum), aplicar centroide composto e teorema dos eixos paralelos para obter I_x,I_y,I_{xy} em relação aos eixos centroidais originais e finalmente aplicar a fórmula de rotação de eixos para obter I_{x'},I_{y'} e I_{x'y'} com \theta=-30^\circ.

Passo 2

Cálculo das áreas dos três retângulos que compõem a cantoneira (peguei as dimensões do enunciado).
  • espessura: t=6{,}4\\ \mathrm{mm}.
  • área da aba horizontal: \displaystyle A_h = 76\cdot t = 76\cdot6{,}4 = 486{,}4\\ \mathrm{mm}^2.
  • área da aba vertical: \displaystyle A_v = 51\cdot t = 51\cdot6{,}4 = 326{,}4\\ \mathrm{mm}^2.
  • área de sobreposição (quadrado): \displaystyle A_o = t^2 = 6{,}4^2 = 40{,}96\\ \mathrm{mm}^2.
  • área total da cantoneira:
\displaystyle A = A_h + A_v - A_o = 486{,}4 + 326{,}4 - 40{,}96 = 771{,}84\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 3

Escolha de sistema conveniente para calcular o centroide composto (origem no canto externo onde as abas se encontram; eixo x para a direita ao longo da aba de 76 e eixo y para cima ao longo da aba de 51). Coordenadas dos centróides dos retângulos (medidas a partir da origem escolhida):
  • aba horizontal: \displaystyle (x_h,y_h)=(38,\;3{,}2)\\ \mathrm{mm} porque a meia‑comprimento em x é 76/2 e em y é t/2.
  • aba vertical: \displaystyle (x_v,y_v)=(3{,}2,\;25{,}5)\\ \mathrm{mm} porque a meia‑altura em y é 51/2 e em x é t/2.
  • sobreposição (quadrado): \displaystyle (x_o,y_o)=(3{,}2,\;3{,}2)\\ \mathrm{mm}.
Cálculo das coordenadas do centroide da seção composta:
\displaystyle x_c=\frac{A_h x_h + A_v x_v - A_o x_o}{A},\qquad y_c=\frac{A_h y_h + A_v y_v - A_o y_o}{A}.
Substituindo os números:
\begin{aligned} \text{numerador }x&=486{,}4\cdot38 + 326{,}4\cdot3{,}2 - 40{,}96\cdot3{,}2 = 19\,396{,}608,\\\ x_c&=\dfrac{19\,396{,}608}{771{,}84}\approx 25{,}130\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
\begin{aligned} \text{numerador }y&=486{,}4\cdot3{,}2 + 326{,}4\cdot25{,}5 - 40{,}96\cdot3{,}2 = 9\,748{,}608,\\\ y_c&=\dfrac{9\,748{,}608}{771{,}84}\approx 12{,}633\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
Resumo: centroide da cantoneira relativo ao canto externo: \displaystyle (x_c,y_c)\approx(25{,}130,\;12{,}633)\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Preparação para calcular I_x,I_y,I_{xy} referentes aos eixos centroidais originais (eixos paralelos aos lados da cantoneira passando pelo centroide). Procedimento:
  • Calcular para cada peça o momento de inércia em torno do seu próprio centro (eixos paralelos aos eixos globais), usando a fórmula do retângulo.
  • Aplicar o teorema dos eixos paralelos: somar I_{centro\,peça} + A\cdot d^2ç (onde d é a distância entre os centros em direção apropriada).
  • Para o produto de inércia, como o produto em torno do centro do retângulo alinhado com os eixos é zero, usa-se I_{xy}=\sum A_i (x_i-x_c)(y_i-y_c) (com a área de sobreposição subtraída).
Fórmulas úteis (retângulo com base b em x e altura h em y, eixos no centro do retângulo):
\displaystyle I_x=\frac{b\,h^3}{12},\qquad I_y=\frac{h\,b^3}{12},\qquad I_{xy}^{(\text{centro retângulo})}=0.â

Passo 5

Cálculo dos momentos de inércia centroidais de cada peça (valores numéricos; todas as unidades em \mathrm{mm}^4).
Para a aba horizontal (base b=76, altura h=t=6{,}4):
\displaystyle I_{x,h}^{\text{(c)}}=\frac{76\cdot6{,}4^3}{12}\approx 1660{,}2453, \qquad I_{y,h}^{\text{(c)}}=\frac{6{,}4\cdot76^3}{12}\approx234\,120{,}533.
Para a aba vertical (base b=t=6{,}4, altura h=51):
\displaystyle I_{x,v}^{\text{(c)}}=\frac{6{,}4\cdot51^3}{12}\approx70\,747{,}200, \qquad I_{y,v}^{\text{(c)}}=\frac{51\cdot6{,}4^3}{12}\approx1\,114{,}112.
Para o quadrado de sobreposição (lado t=6{,}4):
\displaystyle I_{x,o}^{\text{(c)}}=I_{y,o}^{\text{(c)}}=\frac{6{,}4\cdot6{,}4^3}{12}\approx139{,}8101.

Passo 6

Distâncias dos centros das peças até o centroide composto (valores em mm; usei os centróides calculados no Passo 3):
\begin{aligned} \Delta x_h &= x_h-x_c \approx 38 - 25{,}130 = 12{,}870\\ \mathrm{mm},\\\ \Delta y_h &= y_h-y_c \approx 3{,}2 - 12{,}633 = -9{,}433\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta x_v &= x_v-x_c \approx 3{,}2 - 25{,}130 = -21{,}930\\ \mathrm{mm},\\\ \Delta y_v &= y_v-y_c \approx 25{,}5 - 12{,}633 = 12{,}867\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta x_o &= x_o-x_c \approx -21{,}930\\ \mathrm{mm},\\\ \Delta y_o &= y_o-y_c \approx -9{,}433\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}

Passo 7

Aplicação do teorema dos eixos paralelos para I_x (somatório das contribuições de cada peça, lembrando que a peça de sobreposição é subtraída):
\displaystyle I_x = \big(I_{x,h}^{\text{(c)}} + A_h\Delta y_h^2\big) + \big(I_{x,v}^{\text{(c)}} + A_v\Delta y_v^2\big) - \big(I_{x,o}^{\text{(c)}} + A_o\Delta y_o^2\big).
Substituindo os números (mostrando os termos principais):
\begin{aligned} I_x &\approx 1660{,}2453 + 486{,}4\cdot( -9{,}433)^2 \\\ &\quad + 70\,747{,}200 + 326{,}4\cdot(12{,}867)^2 \\\ &\quad -\big(139{,}8101 + 40{,}96\cdot(-9{,}433)^2\big). \end{aligned}
Calculando numericam.\ obtém-se
\boxed{I_x \approx 165\,942{,}23\\ \mathrm{mm}^4.}

Passo 8

Aplicação do teorema dos eixos paralelos para I_y:
\displaystyle I_y = \big(I_{y,h}^{\text{(c)}} + A_h\Delta x_h^2\big) + \big(I_{y,v}^{\text{(c)}} + A_v\Delta x_v^2\big) - \big(I_{y,o}^{\text{(c)}} + A_o\Delta x_o^2\big).
Substituindo e calculando:
\begin{aligned} I_y &\approx 234\,120{,}533 + 486{,}4\cdot(12{,}870)^2 \\\ &\quad + 1\,114{,}112 + 326{,}4\cdot(-21{,}930)^2 \\\ &\quad -\big(139{,}8101 + 40{,}96\cdot(-21{,}930)^2\big). \end{aligned}
Calculando numericam.\ obtém-se
\boxed{I_y \approx 432\,971{,}90\\ \mathrm{mm}^4.}

Passo 9

Cálculo do produto de inércia I_{xy} em relação aos eixos centroidais originais. Como o produto no centro de cada retângulo alinhado com os eixos é zero, fica:
\displaystyle I_{xy}=\sum_i A_i (x_i-x_c)(y_i-y_c) = A_h\Delta x_h\Delta y_h + A_v\Delta x_v\Delta y_v - A_o\Delta x_o\Delta y_o.
Substituindo e calculando numericamente:
\boxed{I_{xy}\approx -159\,632{,}86\\ \mathrm{mm}^4.}
Observação: o sinal negativo indica orientação do produto de inércia segundo a posição dos centróides (isto é normal; sinais dependem do sistema de eixos).

Passo 10

Agora aplicar a fórmula de rotação de eixos para obter os momentos em relação aos novos eixos centroidais x' e y' obtidos por rotação dos eixos x,y de \theta=-30^\circ (ou 30^\circ horário). Fórmulas padrão (rotação de eixos de \theta no sentido anti-horário):
\displaystyle \begin{aligned} I_{x'} &= \frac{I_x+I_y}{2} + \frac{I_x-I_y}{2}\cos2\theta - I_{xy}\sin2\theta,\\[4pt] I_{y'} &= \frac{I_x+I_y}{2} - \frac{I_x-I_y}{2}\cos2\theta + I_{xy}\sin2\theta,\\[4pt] I_{x'y'} &= \frac{I_x-I_y}{2}\sin2\theta + I_{xy}\cos2\theta. \end{aligned}
Aqui \theta=-30^\circ\Rightarrow 2\theta=-60^\circ, então \cos2\theta=\cos(-60^\circ)=\tfrac{1}{2} e \sin2\theta=\sin(-60^\circ)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}8660254.]

Passo 11

Substituindo os valores numéricos obtidos:
  • \displaystyle \frac{I_x+I_y}{2}=\frac{165\,942{,}23+432\,971{,}90}{2}=299\,457{,}07\\ \mathrm{mm}^4.
  • \displaystyle \frac{I_x-I_y}{2}=\frac{165\,942{,}23-432\,971{,}90}{2}=-133\,514{,}83\\ \mathrm{mm}^4.
  • \displaystyle I_{xy}=-159\,632{,}86\\ \mathrm{mm}^4.
  • \displaystyle \cos2\theta=0{,}5,\qquad \sin2\theta=-0{,}8660254.
Calculemos cada termo:
\begin{aligned} I_{x'} &= 299\,457{,}07 + (-133\,514{,}83)\cdot0{,}5 - (-159\,632{,}86)\cdot(-0{,}8660254)\\\ &=299\,457{,}07 -66\,757{,}42 -138\,246{,}11\\\ &\approx 94\,453{,}54\\ \mathrm{mm}^4. \end{aligned}
\begin{aligned} I_{y'} &= 299\,457{,}07 -(-133\,514{,}83)\cdot0{,}5 + (-159\,632{,}86)\cdot(-0{,}8660254)\\\ &=299\,457{,}07 +66\,757{,}42 +138\,246{,}11\\\ &\approx 504\,460{,}59\\ \mathrm{mm}^4. \end{aligned}
\begin{aligned} I_{x'y'} &= (-133\,514{,}83)\cdot(-0{,}8660254) + (-159\,632{,}86)\cdot0{,}5\\\ &\approx 115\,627{,}23 -79\,816{,}43\\\ &\approx 35\,810{,}80\\ \mathrm{mm}^4. \end{aligned}
Verificação rápida (consistência): I_{x'}+I_{y'}\approx I_x+I_y (a soma é invariante) — vale aqui 94{,}453{,}54+504{,}460{,}59\approx598{,}914{,}13, que é 165{,}942{,}23+432{,}971{,}90, ok.

Resposta

I_{x'}\approx 94\,453{,}54\\ \mathrm{mm}^4
I_{y'}\approx 504\,460{,}59\\ \mathrm{mm}^4
I_{x'y'}\approx 35\,810{,}80\\ \mathrm{mm}^4

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