9.83 Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da seção transversal de cantoneira de
do Problema 9.74 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos
e
de
no sentido horário.
Passo 1
O enunciado dá uma seção em cantoneira
e pede os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos
e
em
no sentido horário. Do enunciado eu vou usar explicitamente os seguintes dados:
- comprimento das duas abas:
e ; - espessura da aba:
; - rotação dos eixos:
no sentido horário (ou seja, ângulo de rotação , tomando o sentido anti-horário como positivo); - os eixos originais
e são os eixos centroidais do perfil antes da rotação (o enunciado pede os momentos relativos a “novos eixos centroidais” obtidos por rotação dos eixos — logo as quantidades iniciais que uso são relativas ao centroide).
Vou modelar a cantoneira como a união de dois retângulos finos (uma aba horizontal e uma vertical) menos o quadrado de sobreposição (área comum), aplicar centroide composto e teorema dos eixos paralelos para obter
em relação aos eixos centroidais originais e finalmente aplicar a fórmula de rotação de eixos para obter
e
com
.
Passo 2
Cálculo das áreas dos três retângulos que compõem a cantoneira (peguei as dimensões do enunciado).
- espessura:
. - área da aba horizontal:
. - área da aba vertical:
. - área de sobreposição (quadrado):
. - área total da cantoneira:
Passo 3
Escolha de sistema conveniente para calcular o centroide composto (origem no canto externo onde as abas se encontram; eixo
para a direita ao longo da aba de
e eixo
para cima ao longo da aba de
). Coordenadas dos centróides dos retângulos (medidas a partir da origem escolhida):
- aba horizontal:
porque a meia‑comprimento em é e em é . - aba vertical:
porque a meia‑altura em é e em é . - sobreposição (quadrado):
.
Cálculo das coordenadas do centroide da seção composta:
Substituindo os números:
Resumo: centroide da cantoneira relativo ao canto externo:
.
Passo 4
Preparação para calcular
referentes aos eixos centroidais originais (eixos paralelos aos lados da cantoneira passando pelo centroide). Procedimento:
- Calcular para cada peça o momento de inércia em torno do seu próprio centro (eixos paralelos aos eixos globais), usando a fórmula do retângulo.
- Aplicar o teorema dos eixos paralelos: somar
(onde é a distância entre os centros em direção apropriada). - Para o produto de inércia, como o produto em torno do centro do retângulo alinhado com os eixos é zero, usa-se
(com a área de sobreposição subtraída).
Fórmulas úteis (retângulo com base
em
e altura
em
, eixos no centro do retângulo):
Passo 5
Cálculo dos momentos de inércia centroidais de cada peça (valores numéricos; todas as unidades em
).
Para a aba horizontal (base
, altura
):
Para a aba vertical (base
, altura
):
Para o quadrado de sobreposição (lado
):
Passo 6
Distâncias dos centros das peças até o centroide composto (valores em mm; usei os centróides calculados no Passo 3):
Passo 7
Aplicação do teorema dos eixos paralelos para
(somatório das contribuições de cada peça, lembrando que a peça de sobreposição é subtraída):
Substituindo os números (mostrando os termos principais):
Calculando numericam.\ obtém-se
Passo 8
Aplicação do teorema dos eixos paralelos para
:
Substituindo e calculando:
Calculando numericam.\ obtém-se
Passo 9
Cálculo do produto de inércia
em relação aos eixos centroidais originais. Como o produto no centro de cada retângulo alinhado com os eixos é zero, fica:
Substituindo e calculando numericamente:
Observação: o sinal negativo indica orientação do produto de inércia segundo a posição dos centróides (isto é normal; sinais dependem do sistema de eixos).
Passo 10
Agora aplicar a fórmula de rotação de eixos para obter os momentos em relação aos novos eixos centroidais
e
obtidos por rotação dos eixos
de
(ou
horário). Fórmulas padrão (rotação de eixos de
no sentido anti-horário):
Aqui
, então
e
.]
Passo 11
Substituindo os valores numéricos obtidos:
-
. -
. -
. -
Calculemos cada termo:
Verificação rápida (consistência):
(a soma é invariante) — vale aqui
, que é
, ok.