9.112 Um placa delgada semicircular tem massa
. Determine o momento de inércia de massa da placa em relação (
) ao eixo centroidal
, (b) ao eixo centroidal
perpendicular à placa.
Passo 1
O enunciado dá uma placa delgada semicircular homogênea de massa
e raio
(implícito na figura) e pede os momentos de inércia de massa da placa em relação a dois eixos centroidais:
- (a) eixo
: eixo que passa pelo centroide e está no plano da placa (é o eixo mostrado na figura como ); - (b) eixo
: eixo que passa pelo centroide e é perpendicular à placa (isto é, o eixo normal à superfície).
Informações relevantes fornecidas (da figura):
- A peça é uma semicircunferência sólida (lamina uniforme preenchida) de raio
e massa total . - Os eixos pedem momentos em relação a eixos que passam pelo centroide
: um no plano da placa ( ) e um perpendicular ao plano ( ).
Passo 2
Plano de ataque (sem ainda calcular): para lâminas planas e homogêneas usamos as densidades de área e integrais de momento de inércia. Três ideias-chave que vamos usar (explicadas e justificadas adiante):
- densidade de massa por unidade de área:
; - momento de inércia em relação ao eixo perpendicular pelo centro geométrico
(centro da circunferência) obtido por integração em coordenadas polares: ; - teoremas úteis:
- Teorema dos eixos perpendiculares (para lâminas planas): para eixos coplanares ortogonais
que passam por um mesmo ponto, vale , onde é o eixo perpendicular ao plano; - Teorema dos eixos paralelos (translação): se um eixo paralelo é deslocado de distância
, (com sinal conforme a direção do deslocamento; aqui será usado para traduzir entre eixos que passam por e por ).
- Teorema dos eixos perpendiculares (para lâminas planas): para eixos coplanares ortogonais
Antes de integrar, precisamos saber a posição do centroide
em relação ao centro
da circunferência.
Passo 3
Localização do centroide
da semicircunferência (resultado padrão que vamos usar e justificar brevemente).
Para uma semicircunferência cheia (área semicircular), o centroide está sobre o eixo de simetria (eixo vertical que passa pelo centro
) a uma distância, medida a partir da linha reta (diâmetro) para dentro da região, de
Na nossa escolha de referências é mais conveniente medir a partir do centro
(o diâmetro passa por
). Como o diâmetro coincide com a linha
e a semicircunferência ocupa
, o centroide tem coordenada
(Isto é um resultado padrão de geometria das áreas; pode ser obtido por integração da posição do centroide em coordenadas polares, mas usamos-o como fórmula conhecida.)
Passo 4
Densidade superficial e preparação das integrais.
- Densidade por área:
- Convenção de coordenadas: centro da circunferência em
. Usamos coordenadas polares com e (semicírculo superior). Em cartesianas: .
Passo 5
Momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano passando por
(eixo
em
).
Definição: para lâmina plana o momento em relação ao eixo
(perpendicular) é
onde o primeiro
é a distância ao eixo
(igual a
em coordenadas polares) e
.
Calcule:
Substituindo
:
Comentário didático: esse resultado mostra que a média de
sobre a semicircunferência é
, igual à do disco completo — por isso aparece o fator
.
Passo 6
Momento de inércia em relação ao eixo vertical (eixo de simetria) que passa por
(chamaremos de eixo
em
). Fórmula e cálculo:
Para o eixo
(reta
), a distância de um ponto
ao eixo é
. Assim
Sabemos
e
. Então
Substituindo
:
Pelo teorema dos eixos perpendiculares em
(pois
) e como já temos
e
, segue que
Observação: o eixo
em
é o diâmetro horizontal (linha
).
Passo 7
Mover os eixos de
para o centroide
. Lembrando que:
- o eixo de simetria vertical
passa por e também passa por (porque está sobre o mesmo eixo vertical); portanto o momento em relação ao eixo vertical que passa por é o mesmo que :
- o eixo horizontal em
(eixo ) é paralelo ao eixo em e está deslocado verticalmente por . Pelo teorema dos eixos paralelos:
Substituindo
e
:
Passo 8
Momento em relação ao eixo perpendicular que passa por
(eixo
).
Podemos usar novamente o teorema dos eixos perpendiculares, agora no ponto
:
Já temos
e
. Portanto
Observação alternativa (checagem): isso coincide com a aplicação direta do teorema dos eixos paralelos ao eixo perpendicular em
:
, daí
, que é exatamente o mesmo resultado.