9.112 Um placa delgada semicircular tem massa m. Determine o momento de inércia de massa da placa em relação ( a ) ao eixo centroidal B B^{\prime}, (b) ao eixo centroidal C C^{\prime} perpendicular à placa.

Passo 1

O enunciado dá uma placa delgada semicircular homogênea de massa m e raio R (implícito na figura) e pede os momentos de inércia de massa da placa em relação a dois eixos centroidais:
  • (a) eixo B B': eixo que passa pelo centroide C e está no plano da placa (é o eixo mostrado na figura como B B');
  • (b) eixo C C': eixo que passa pelo centroide C e é perpendicular à placa (isto é, o eixo normal à superfície).
Informações relevantes fornecidas (da figura):
  • A peça é uma semicircunferência sólida (lamina uniforme preenchida) de raio R e massa total m.
  • Os eixos pedem momentos em relação a eixos que passam pelo centroide C: um no plano da placa ( B B') e um perpendicular ao plano ( C C').

Passo 2

Plano de ataque (sem ainda calcular): para lâminas planas e homogêneas usamos as densidades de área e integrais de momento de inércia. Três ideias-chave que vamos usar (explicadas e justificadas adiante):
  1. densidade de massa por unidade de área: \sigma=\dfrac{m}{\text{área da semicircunferência}}=\dfrac{m}{\tfrac{1}{2}\pi R^{2}}=\dfrac{2m}{\pi R^{2}}áê;
  2. momento de inércia em relação ao eixo perpendicular pelo centro geométrico O (centro da circunferência) obtido por integração em coordenadas polares: \displaystyle I_{O,z}=\sigma\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} r^{2}\,r\,dr\,d\theta;
  3. teoremas úteis:
    • Teorema dos eixos perpendiculares (para lâminas planas): para eixos coplanares ortogonais x,y que passam por um mesmo ponto, vale \displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}, onde z é o eixo perpendicular ao plano;
    • Teorema dos eixos paralelos (translação): se um eixo paralelo é deslocado de distância d, \displaystyle I_{\text{novo}}=I_{\text{centro}}+m d^{2} (com sinal conforme a direção do deslocamento; aqui será usado para traduzir entre eixos que passam por O e por C).
Antes de integrar, precisamos saber a posição do centroide C em relação ao centro O da circunferência.

Passo 3

Localização do centroide C da semicircunferência (resultado padrão que vamos usar e justificar brevemente).
Para uma semicircunferência cheia (área semicircular), o centroide está sobre o eixo de simetria (eixo vertical que passa pelo centro O) a uma distância, medida a partir da linha reta (diâmetro) para dentro da região, de
\bar{y}_{\text{a partir do diâmetro}}=\frac{4R}{3\pi}.â
Na nossa escolha de referências é mais conveniente medir a partir do centro O (o diâmetro passa por O). Como o diâmetro coincide com a linha y=0 e a semicircunferência ocupa y\ge0, o centroide tem coordenada
y_{C}=\frac{4R}{3\pi}.
(Isto é um resultado padrão de geometria das áreas; pode ser obtido por integração da posição do centroide em coordenadas polares, mas usamos-o como fórmula conhecida.)

Passo 4

Densidade superficial e preparação das integrais.
  • Densidade por área:
\sigma=\frac{m}{\tfrac{1}{2}\pi R^{2}}=\frac{2m}{\pi R^{2}}.
  • Convenção de coordenadas: centro da circunferência em O=(0,0). Usamos coordenadas polares (r,\theta) com 0\le r\le R e 0\le\theta\le\pi (semicírculo superior). Em cartesianas: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.

Passo 5

Momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano passando por O (eixo z em O).
Definição: para lâmina plana o momento em relação ao eixo z (perpendicular) é
I_{O,z}=\iint r^{2}\,dm=\sigma\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} r^{2}\, (r\,dr\,d\theta),
onde o primeiro r^{2} é a distância ao eixo z (igual a r^{2} em coordenadas polares) e dm=\sigma\,dA=\sigma r\,dr\,d\theta.
Calcule:
I_{O,z}=\sigma\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} r^{3}\,dr\,d\theta =\sigma\left(\int_{0}^{\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{R} r^{3}\,dr\right) =\sigma\cdot\pi\cdot\frac{R^{4}}{4}.
Substituindo \sigma=\dfrac{2m}{\pi R^{2}}:
I_{O,z}=\frac{2m}{\pi R^{2}}\cdot\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} =\frac{2mR^{2}}{4}=\frac{1}{2}mR^{2}.
Comentário didático: esse resultado mostra que a média de r^{2} sobre a semicircunferência é \dfrac{R^{2}}{2}, igual à do disco completo — por isso aparece o fator \tfrac{1}{2}mR^{2}.

Passo 6

Momento de inércia em relação ao eixo vertical (eixo de simetria) que passa por O (chamaremos de eixo y em O). Fórmula e cálculo:
Para o eixo y (reta x=0), a distância de um ponto (x,y) ao eixo é |x|. Assim
I_{O,y}=\iint x^{2}\,dm =\sigma\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} (r\cos\theta)^{2}\,r\,dr\,d\theta =\sigma\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\cdot\int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
Sabemos \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\dfrac{\pi}{2} e \int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\dfrac{R^{4}}{4}. Então
I_{O,y}=\sigma\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{R^{4}}{4} =\sigma\cdot\frac{\pi R^{4}}{8}.
Substituindo \sigma=\dfrac{2m}{\pi R^{2}}:
I_{O,y}=\frac{2m}{\pi R^{2}}\cdot\frac{\pi R^{4}}{8}=\frac{mR^{2}}{4}.
Pelo teorema dos eixos perpendiculares em O (pois I_{O,z}=I_{O,x}+I_{O,y}) e como já temos I_{O,z}=\tfrac{1}{2}mR^{2} e I_{O,y}=\tfrac{1}{4}mR^{2}, segue que
I_{O,x}=I_{O,z}-I_{O,y}=\frac{1}{2}mR^{2}-\frac{1}{4}mR^{2}=\frac{1}{4}mR^{2}.
Observação: o eixo x em O é o diâmetro horizontal (linha y=0).

Passo 7

Mover os eixos de O para o centroide C. Lembrando que:
  • o eixo de simetria vertical y passa por O e também passa por C (porque C está sobre o mesmo eixo vertical); portanto o momento em relação ao eixo vertical que passa por C é o mesmo que I_{O,y}:
I_{C,y}=I_{O,y}=\frac{1}{4}mR^{2}.
  • o eixo horizontal em C (eixo B B') é paralelo ao eixo x em O e está deslocado verticalmente por d=y_{C}=\dfrac{4R}{3\pi}. Pelo teorema dos eixos paralelos:
I_{O,x}=I_{C,x}+m d^{2}\quad\Rightarrow\quad I_{C,x}=I_{O,x}-m d^{2}.
Substituindo I_{O,x}=\dfrac{1}{4}mR^{2} e d=\dfrac{4R}{3\pi}:
I_{C,x}=\frac{1}{4}mR^{2}-m\left(\frac{4R}{3\pi}\right)^{2} = mR^{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{16}{9\pi^{2}}\right).

Passo 8

Momento em relação ao eixo perpendicular que passa por C (eixo C C').
Podemos usar novamente o teorema dos eixos perpendiculares, agora no ponto C:
I_{C,z}=I_{C,x}+I_{C,y}.
Já temos I_{C,x}=mR^{2}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{16}{9\pi^{2}}\right) e I_{C,y}=\dfrac{1}{4}mR^{2}. Portanto
I_{C,z}=mR^{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{16}{9\pi^{2}}\right)+\frac{1}{4}mR^{2} = mR^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{16}{9\pi^{2}}\right).
Observação alternativa (checagem): isso coincide com a aplicação direta do teorema dos eixos paralelos ao eixo perpendicular em O: I_{O,z}=I_{C,z}+m d^{2}, daí I_{C,z}=I_{O,z}-m d^{2}=\tfrac{1}{2}mR^{2}-m(4R/3\pi)^{2}, que é exatamente o mesmo resultado.

Resposta

I_{B B'} = mR^{2}\!\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{16}{9\pi^{2}}\right)
I_{C C'} = mR^{2}\!\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{16}{9\pi^{2}}\right)

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