4.107. A viga rígida é suportada pelas três hastes
e
, de comprimentos iguais. As hastes
e
têm diâmetro de 25 mm e são feitas de alumínio, para o qual
e
. A haste
tem diâmetro de 10 mm e é feita de latão, para o qual
e
. Determinar a menor intensidade de
de modo que (a) somente as hastes
e
escoem e (b) todas as hastes escoem.
Passo 1
O enunciado pede que se determine a menor intensidade de
tal que:
- (a) somente as hastes
e escoem; - (b) todas as hastes escoem.
Dados fornecidos (retirei as distâncias entre apoios da imagem):
- As três hastes têm comprimentos iguais
(não é fornecido numericamente). - Hastes
e : diâmetro ; módulo de Young ; tensão de escoamento . - Haste
: diâmetro ; ; . - Geometria horizontal (peguei da imagem): posições ao longo da viga (escolhendo origem no centro, em
): -
, - carga
em , -
, - carga
em , -
.
-
- Há duas cargas iguais
apontando para baixo (uma à esquerda e outra à direita). - Objetivo: achar o menor
que leva ao escoamento nas hastes conforme (a) e (b).
Passo 2
Modelo e ideia básica (sem pular etapas):
- A viga é rígida: seu movimento vertical é uma combinação de translação vertical
e rotação . A deflexão vertical do ponto da viga é , onde é a coordenada horizontal do ponto (medida a partir da origem). - Cada haste se comporta elasticamente até o escoamento com rigidez axial:
onde é a área da seção transversal da haste e é o comprimento (mesmo para todas). Observe que aparecerá nos três e frequentemente cancela em razões. - A força axial na haste
é - Equilíbrios globais (força vertical e momento em relação à origem
): A segunda equação mostra que o momento externo líquido em torno da origem é zero (cargas simétricas). - Calculamos as áreas das seções (usar fórmula da área do círculo):
Calculemos numericamente (usar unidades SI: metros):
Passo 3
Exploração da simetria e equações para o caso elástico (antes do escoamento):
- Como a disposição é simétrica e as cargas também, espera-se
e (sem rotação); vamos provar isso:
a) Momento de reações:.
b) See , então das expressões e segue . - Logo
e as forças são: - Soma das forças:
- Portanto a força em
(ou ) é - Observação: as constantes
e são de modo que o fator cancela ao formar a razão . Vamos calcular essa razão: Já sabemos .
Assim - Substituindo em
:
Passo 4
Determinar
para que apenas
e
escoem (ou seja,
atinge o valor de escoamento do alumínio enquanto
ainda fica abaixo do seu escoamento):
- Força de escoamento da haste de alumínio:
- Igualando
a e resolvendo para : Ou seja - Verificação: conferir que a haste
não escoou a esse . - Primeiro calcular
nessa situação: - Tensões em
: que é bem menor que . Portanto a haste permanece elástica e não escoa quando . Conclusão: é consistente.
- Primeiro calcular
Passo 5
Determinar o menor
tal que todas as hastes escoem (caso plástico simples):
- Observação física e hipótese de cálculo: o latão tem tensão de escoamento muito maior que o alumínio, portanto as hastes
e atingirăo o escoamento bem antes de . Após atingirem o escoamento, assumimos comportamento idealmente plástico (isto é, a força nas hastes de alumínio não aumenta além de — modelo elástico-perfeito-plástico). Assim, quando se aumentar além de , as hastes e mantêm (força praticamente constante), e o aumento adicional de carga será absorvido pela haste até que esta alcance sua força de escoamento . - Portanto o momento em que todas as hastes escoam é o
que satisfaz a condição de equilíbrio vertical com e : - Calcule
: - Assim:
Ou seja - Verificação rápida de consistência:
é maior que , então é coerente que e já estejam plastificadas quando chega ao escoamento.