4.107. A viga rígida é suportada pelas três hastes A, B e C, de comprimentos iguais. As hastes A e C têm diâmetro de 25 mm e são feitas de alumínio, para o qual E_{a l}=70 \mathrm{GPa} e \left(\sigma_{E}\right)_{\mathrm{al}}=20 \mathrm{MPa}. A haste B tem diâmetro de 10 mm e é feita de latão, para o qual E_{\text {latão }}=100 \mathrm{GPa}ã e \left(\sigma_{E}\right)_{\text {latão }}=590 \mathrm{MPa}ã. Determinar a menor intensidade de \mathbf{P} de modo que (a) somente as hastes A e C escoem e (b) todas as hastes escoem.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a menor intensidade de \mathbf{P} tal que:
  • (a) somente as hastes A e C escoem;
  • (b) todas as hastes escoem.
Dados fornecidos (retirei as distâncias entre apoios da imagem):
  • As três hastes têm comprimentos iguais L (não é fornecido numericamente).
  • Hastes A e C: diâmetro d_{al}=25\\ \text{mm}; módulo de Young E_{al}=70\\ \text{GPa}; tensão de escoamento \left(\sigma_{E}\right)_{al}=20\\ \text{MPa}.
  • Haste B: diâmetro d_{B}=10\\ \text{mm}; E_{B}=100\\ \text{GPa}; \left(\sigma_{E}\right)_{B}=590\\ \text{MPa}.
  • Geometria horizontal (peguei da imagem): posições ao longo da viga (escolhendo origem no centro, em B):
    • x_A=-1{,}0\\ \text{m},
    • carga P em x=-0{,}5\\ \text{m},
    • x_B=0,
    • carga P em x=+0{,}5\\ \text{m},
    • x_C=+1{,}0\\ \text{m}.
  • Há duas cargas iguais \,P\, apontando para baixo (uma à esquerda e outra à direita).
  • Objetivo: achar o menor P que leva ao escoamento nas hastes conforme (a) e (b).

Passo 2

Modelo e ideia básica (sem pular etapas):
  • A viga é rígida: seu movimento vertical é uma combinação de translação vertical w e rotação \varphi. A deflexão vertical do ponto i da viga é \delta_i = w + \varphi x_i, onde x_i é a coordenada horizontal do ponto (medida a partir da origem).
  • Cada haste se comporta elasticamente até o escoamento com rigidez axial: k_i=\frac{E_i A_i}{L},onde A_i é a área da seção transversal da haste i e L é o comprimento (mesmo para todas). Observe que L aparecerá nos três k_i e frequentemente cancela em razões.
  • A força axial na haste i é F_i = k_i \delta_i = k_i (w + \varphi x_i).
  • Equilíbrios globais (força vertical e momento em relação à origem x=0): \sum F_i = 2P, \qquad \sum F_i x_i = \sum \text{(cargas)} x = P(-0{,}5)+P(0{,}5)=0.A segunda equação mostra que o momento externo líquido em torno da origem é zero (cargas simétricas).
  • Calculamos as áreas das seções (usar fórmula da área do círculo): A=\frac{\pi d^2}{4}.Calculemos numericamente (usar unidades SI: metros): A_{al}=\frac{\pi (25\times10^{-3})^2}{4} =\pi\cdot\frac{(25)^2}{4}\times10^{-6} =\pi\cdot156{,}25\times10^{-6} \approx4{,}9087\times10^{-4}\\ \text{m}^2.
A_{B}=\frac{\pi (10\times10^{-3})^2}{4} =\pi\cdot\frac{(10)^2}{4}\times10^{-6} =\pi\cdot25\times10^{-6} \approx7{,}85398\times10^{-5}\\ \text{m}^2.

Passo 3

Exploração da simetria e equações para o caso elástico (antes do escoamento):
  • Como a disposição é simétrica e as cargas também, espera-se F_A=F_C e \varphi=0 (sem rotação); vamos provar isso:
    a) Momento de reações: -F_A\cdot1{,}0 + F_C\cdot1{,}0 = 0 \Rightarrow F_A=F_C.
    b) Se F_A=F_C e k_A=k_C, então das expressões F_A=k_{al}(w+\varphi x_A) e F_C=k_{al}(w+\varphi x_C) segue \varphi=0.
  • Logo \delta_A=\delta_B=\delta_C=w e as forças são: F_A=k_{al} w,\qquad F_B=k_B w,\qquad F_C=k_{al} w.
  • Soma das forças: 2 k_{al} w + k_B w = 2P \quad\Rightarrow\quad w=\frac{2P}{2k_{al}+k_B}.
  • Portanto a força em A (ou C) é F_A = k_{al} w = \frac{2P k_{al}}{2k_{al}+k_B}.
  • Observação: as constantes k_{al} e k_B são k_{al}=\frac{E_{al}A_{al}}{L},\qquad k_B=\frac{E_B A_B}{L},de modo que o fator 1/L cancela ao formar a razão k_B/k_{al}. Vamos calcular essa razão: \frac{k_B}{k_{al}}=\frac{E_B A_B}{E_{al} A_{al}} =\frac{100\times10^9\cdot A_B}{70\times10^9\cdot A_{al}} =\frac{100}{70}\cdot\frac{A_B}{A_{al}}.Já sabemos \dfrac{A_B}{A_{al}}=\dfrac{25\pi}{156{,}25\pi}=\dfrac{25}{156{,}25}=0{,}16.
    Assim \frac{k_B}{k_{al}}=\frac{100}{70}\cdot0{,}16\approx1{,}428571\cdot0{,}16\approx0{,}228571.
  • Substituindo em F_A: F_A=\frac{2P}{2+\dfrac{k_B}{k_{al}}} =\frac{2P}{2+0{,}228571} =\frac{2P}{2{,}228571} \approx0{,}897435\,P.

Passo 4

Determinar P para que apenas A e C escoem (ou seja, F_A atinge o valor de escoamento do alumínio enquanto B ainda fica abaixo do seu escoamento):
  • Força de escoamento da haste de alumínio: F_{y,al}=A_{al}\left(\sigma_{E}\right)_{al} =4{,}9087\times10^{-4}\cdot20\times10^{6} \approx9{,}8175\times10^{3}\\ \text{N}.
  • Igualando F_A a F_{y,al} e resolvendo para P: F_{y,al}=0{,}897435\,P \quad\Rightarrow\quad P=\frac{F_{y,al}}{0{,}897435} \approx\frac{9{,}8175\times10^{3}}{0{,}897435} \approx1{,}0938\times10^{4}\\ \text{N}.Ou seja P_{(a)}\approx10{,}94\\ \text{kN}.
  • Verificação: conferir que a haste B não escoou a esse P.
    • Primeiro calcular F_B nessa situação: F_B=(k_B/k_{al})F_A\approx0{,}228571\cdot9{,}8175\times10^{3}\approx2{,}2439\times10^{3}\\ \text{N}.
    • Tensões em B: \sigma_B=\frac{F_B}{A_B}\approx\frac{2{,}2439\times10^{3}}{7{,}85398\times10^{-5}} \approx2{,}856\times10^{7}\\ \text{Pa}=28{,}56\\ \text{MPa},que é bem menor que \left(\sigma_{E}\right)_{B}=590\\ \text{MPa}. Portanto a haste B permanece elástica e não escoa quando P=P_{(a)}. Conclusão: P_{(a)} é consistente.

Passo 5

Determinar o menor P tal que todas as hastes escoem (caso plástico simples):
  • Observação física e hipótese de cálculo: o latão tem tensão de escoamento muito maior que o alumínio, portanto as hastes A e C atingirăo o escoamento bem antes de B. Após atingirem o escoamento, assumimos comportamento idealmente plástico (isto é, a força nas hastes de alumínio não aumenta além de F_{y,al} — modelo elástico-perfeito-plástico). Assim, quando se aumentar P além de P_{(a)}, as hastes A e C mantêm F_A=F_C=F_{y,al} (força praticamente constante), e o aumento adicional de carga será absorvido pela haste B até que esta alcance sua força de escoamento F_{y,B}.
  • Portanto o momento em que todas as hastes escoam é o P que satisfaz a condição de equilíbrio vertical com F_A=F_C=F_{y,al} e F_B=F_{y,B}: 2P = F_A + F_B + F_C = 2F_{y,al} + F_{y,B}.
  • Calcule F_{y,B}: F_{y,B}=A_B\left(\sigma_E\right)_B =7{,}85398\times10^{-5}\cdot590\times10^6 \approx4{,}6332\times10^{4}\\ \text{N}.
  • Assim: P_{(b)}=\frac{2F_{y,al}+F_{y,B}}{2} =\frac{2\cdot9{,}8175\times10^{3}+4{,}6332\times10^{4}}{2} \approx3{,}2984\times10^{4}\\ \text{N}.Ou seja P_{(b)}\approx32{,}98\\ \text{kN}.
  • Verificação rápida de consistência: P_{(b)} é maior que P_{(a)}, então é coerente que A e C já estejam plastificadas quando B chega ao escoamento.

Resposta

P_{(a)}\approx10{,}94\\ \text{kN}
P_{(b)}\approx32{,}98\\ \text{kN}

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