3-91 Um cilindro vertical vedado com 1,2 \mathrm{~m} de diâmetro e 3 m de altura é preenchido completamente com gasolina, cuja densidade é de 740 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Agora o tanque é posto a girar em torno de seu eixo vertical a taxa de 70 rpm . Determine (a) a diferença entre as pressões nos centros das superfícies inferior e superior e (b) a diferença entre as pressōes no centro e na borda da superfície inferior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a diferença entre as pressões nos centros das superfícies inferior e superior do cilindro;
  • (b) a diferença entre as pressões no centro e na borda da superfície inferior.
Informações dadas (peguei estes dados da figura/enunciado):
  • diâmetro do cilindro: 1,20\\ \mathrm{m};
  • altura do cilindro: 3\\ \mathrm{m};
  • densidade da gasolina: \rho=740\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • velocidade de rotação: 70\\ \mathrm{rpm}.
    Observação: o cilindro é vedado e completamente preenchido com o líquido.

Passo 2

Entendendo as leis que vamos usar (aula prática e direta).
Quando um líquido gira rigidamente em torno do eixo com velocidade angular \omega, no referencial do cilindro as equações de equilíbrio hidrostático são:
  • variação radial da pressão devido à aceleração centrífuga:
\frac{\partial p}{\partial r}=\rho\,\omega^{2}r,
onde p é a pressão, r é a distância ao eixo, \rho é a densidade e \omega é a velocidade angular (rad/s).
  • variação vertical da pressão devido à gravidade:
\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g,
onde z é a coordenada vertical (para convenção: aumento de z para cima) e g é a aceleração da gravidade.
Explicando por que: a aceleração efetiva no referencial girante tem um termo radial para fora, \omega^{2} r, que age como “força volumétrica” radial sobre o fluido; a pressão precisa variar radialmente para equilibrar essa força. Verticalmente só aparece a gravidade, então a variação é a mesma da hidrostática usual.
Essas duas equações permitem calcular diferenças de pressão entre pontos que diferem em r e/ou em z.

Passo 3

Converter a rotação em velocidade angular \omega em rad/s (passo necessário para usar as fórmulas).
  • 70\\ \mathrm{rpm} significa 70 rotações por minuto =\dfrac{70}{60}\\ \mathrm{rev/s}.
  • A relação entre revoluções por segundo e rad/s é \omega = 2\pi \times (\text{rev/s}).
    Logo
\omega = 2\pi\cdot\frac{70}{60}=2\pi\cdot\frac{7}{6}=\frac{7\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Se quisermos um valor numérico aproximado,
\omega \approx \frac{7\pi}{3}\approx 7,330382858\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular (a): diferença de pressão entre centros das superfícies inferior e superior.
Escolhemos dois pontos com a mesma distância ao eixo ( r=0, o centro) e alturas diferentes: fundo z=0 e topo z=3\\ \mathrm{m}. Integrando a equação vertical \partial p/\partial z = -\rho g entre topo e fundo:
p_{\text{fundo}}-p_{\text{topo}}=\int_{z_{\text{topo}}}^{z_{\text{fundo}}} (-\rho g)\,dz = \rho g (z_{\text{fundo}}-z_{\text{topo}}).
Aqui z_{\text{fundo}}-z_{\text{topo}}=3\\ \mathrm{m}. Portanto
p_{\text{fundo}}-p_{\text{topo}}=\rho g\cdot 3.
Substituindo valores numéricos ( g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} e \rho=740\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
p_{\text{fundo}}-p_{\text{topo}}=740\cdot 9,81\cdot 3.
Calcule passo a passo:
9,81\cdot 3 = 29,43,
740\cdot 29,43 = 21766,2\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando razoavelmente,
p_{\text{fundo}}-p_{\text{topo}}\approx 2,18\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Comentário didático: a rotação não altera a componente vertical da aceleração (não há aceleração centrífuga em z), por isso a diferença vertical de pressão é simplesmente \rho g h como na hidrostática normal.

Passo 5

Calcular (b): diferença de pressão entre o centro e a borda da superfície inferior.
Agora consideramos dois pontos na mesma altura (superfície inferior, z igual) mas com diferentes r: centro r=0 e borda r=R. O raio do cilindro é
R=\frac{\text{diâmetro}}{2}=\frac{1,20}{2}=0,60\\ \mathrm{m}.â
Integrando a equação radial \partial p/\partial r = \rho\omega^{2}r de r=0 até r=R:
p(R)-p(0)=\int_{0}^{R}\rho\omega^{2}r\,dr = \rho\omega^{2}\frac{R^{2}}{2}.
Substituindo \rho=740\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \omega=\dfrac{7\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s} e R=0,60\\ \mathrm{m}:
Primeiro calcule \omega^{2}:
\omega^{2}=\left(\frac{7\pi}{3}\right)^{2}=\frac{49\pi^{2}}{9}\approx 53,740\\ (\mathrm{rad^{2}/s^{2}}).
Agora
\frac{R^{2}}{2}=\frac{(0,60)^{2}}{2}=\frac{0,36}{2}=0,18\\ \mathrm{m^{2}}.
Multiplicando:
p(R)-p(0)=740\cdot 53,740\cdot 0,18.
Calcule passo a passo:
53,740\cdot 0,18 \approx 9,6732,
740\cdot 9,6732 \approx 7158,0\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando,
p_{\text{borda}}-p_{\text{centro}}\approx 7,16\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação rápida: a borda tem maior pressão porque a aceleração centrífuga é maior quanto maior r, exigindo uma pressão mais alta lá para equilibrar.

Passo 6

Verificação de ordens de grandeza e unidades: ambas as diferenças estão em pascals ( \mathrm{Pa}), e os valores fazem sentido — a diferença vertical é maior porque envolve a coluna inteira de líquido ( \sim2{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}), enquanto a diferença radial na base é menor ( \sim7{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}) para a rotação dada.

Resposta

p_{\text{centro (fundo)}}-p_{\text{centro (topo)}}\approx 2,18\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}
p_{\text{borda (fundo)}}-p_{\text{centro (fundo)}}\approx 7,16\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}

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