3-91 Um cilindro vertical vedado com
de diâmetro e 3 m de altura é preenchido completamente com gasolina, cuja densidade é de
. Agora o tanque é posto a girar em torno de seu eixo vertical a taxa de 70 rpm . Determine (a) a diferença entre as pressões nos centros das superfícies inferior e superior e (b) a diferença entre as pressōes no centro e na borda da superfície inferior.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a diferença entre as pressões nos centros das superfícies inferior e superior do cilindro;
- (b) a diferença entre as pressões no centro e na borda da superfície inferior.
Informações dadas (peguei estes dados da figura/enunciado):
- diâmetro do cilindro:
; - altura do cilindro:
; - densidade da gasolina:
; - velocidade de rotação:
.
Observação: o cilindro é vedado e completamente preenchido com o líquido.
Passo 2
Entendendo as leis que vamos usar (aula prática e direta).
Quando um líquido gira rigidamente em torno do eixo com velocidade angular , no referencial do cilindro as equações de equilíbrio hidrostático são:
Quando um líquido gira rigidamente em torno do eixo com velocidade angular
- variação radial da pressão devido à aceleração centrífuga:
onde
é a pressão,
é a distância ao eixo,
é a densidade e
é a velocidade angular (rad/s).
- variação vertical da pressão devido à gravidade:
onde
é a coordenada vertical (para convenção: aumento de
para cima) e
é a aceleração da gravidade.
Explicando por que: a aceleração efetiva no referencial girante tem um termo radial para fora,
, que age como “força volumétrica” radial sobre o fluido; a pressão precisa variar radialmente para equilibrar essa força. Verticalmente só aparece a gravidade, então a variação é a mesma da hidrostática usual.
Essas duas equações permitem calcular diferenças de pressão entre pontos que diferem em
e/ou em
.
Passo 3
Converter a rotação em velocidade angular
em rad/s (passo necessário para usar as fórmulas).
-
significa rotações por minuto . - A relação entre revoluções por segundo e rad/s é
.
Logo
Se quisermos um valor numérico aproximado,
Passo 4
Calcular (a): diferença de pressão entre centros das superfícies inferior e superior.
Escolhemos dois pontos com a mesma distância ao eixo ( , o centro) e alturas diferentes: fundo
e topo
. Integrando a equação vertical
entre topo e fundo:
Escolhemos dois pontos com a mesma distância ao eixo (
Aqui
. Portanto
Substituindo valores numéricos (
e
):
Calcule passo a passo:
Arredondando razoavelmente,
Comentário didático: a rotação não altera a componente vertical da aceleração (não há aceleração centrífuga em
), por isso a diferença vertical de pressão é simplesmente
como na hidrostática normal.
Passo 5
Calcular (b): diferença de pressão entre o centro e a borda da superfície inferior.
Agora consideramos dois pontos na mesma altura (superfície inferior, igual) mas com diferentes
: centro
e borda
. O raio do cilindro é
Agora consideramos dois pontos na mesma altura (superfície inferior,
Integrando a equação radial
de
até
:
Substituindo
,
e
:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora
Multiplicando:
Calcule passo a passo:
Arredondando,
Interpretação rápida: a borda tem maior pressão porque a aceleração centrífuga é maior quanto maior
, exigindo uma pressão mais alta lá para equilibrar.
Passo 6
Verificação de ordens de grandeza e unidades: ambas as diferenças estão em pascals (
), e os valores fazem sentido — a diferença vertical é maior porque envolve a coluna inteira de líquido (
), enquanto a diferença radial na base é menor (
) para a rotação dada.