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Exemplo 4.11 - Água é aquecida enquanto escoa através de um tubo retangular de seção transversal com dimensões 1,5 cm times 3,5 cm a uma velocidade de 1,2 m / s. A temperatura média da água na entrada é de 40^circ C, e as paredes do tubo são mantidas a uma temperatura superficial de 85^circ C. Determine o comprimento do tubo requerido para aumentar a temperatura da água para 70^circ C na saída. As propriedades da água na temperatura média entre a entrada e a saída (55^circ C) são: rho=985,5 kg / m^3 ; cp=4,18 kJ / kg K ; v=0,517.10^-6 m^2 / s ; k=0,654 W / m K e Pr=3,26.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que está acontecendo aqui. A gente tem água esfriando enquanto passa por um tubo retangular com dimensões de 1,5 , cm times 3,5 , cm e uma velocidade de 1,2 , m/s. A temperatura da água na entrada é 40^circ C e as paredes do tubo estão a 85^circ C. Queremos descobrir quanto de comprimento esse tubo precisa ter para que a água saia a 70^circ C.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção em fluxo dentro de um tubo. Isso envolve entender como o calor é transferido da parede quente para a água que está fluindo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a Reynolds number (Re), que nos ajuda a identificar se o fluxo da água é laminar ou turbulento. A fórmula é:
Re = rho cdot v cdot Dhmu
Onde:
  • rho = 985,5 , kg/m^3 (densidade da água)
  • v = 1,2 , m/s (velocidade da água)
  • Dh é o diâmetro hidráulico da seção do tubo
  • mu é a viscosidade dinâmica, que pode ser calculada a partir da viscosidade cinemática ( v = 0,517 times 10^-6 , m^2/s).
Primeiro, calculamos mu:
mu = rho cdot v = 985,5 , kg/m^3 times 0,517 times 10^-6 , m^2/s = 0,000509 , Pa cdot s
Agora, precisamos do diâmetro hidráulico Dh para um tubo retangular:
Dh = 4 times área da seçãoperímetro molhado áçãí
A área da seção é 1,5 , cm times 3,5 , cm = 0,015 , m times 0,035 , m = 0,000525 , m^2.
O perímetro molhado é 2 times (1,5 + 3,5) , cm = 2 times 5 , cm = 10 , cm = 0,10 , m.
Então,
Dh = 4 times 0,0005250,10 = 0,021 , m
Agora, calculamos o Reynolds number:
Re = 985,5 times 1,2 times 0,0210,000509 approx 49.597
Como Re > 4000, o fluxo é turbulento.

Passo 3

Com o fluxo turbulento identificado, vamos calcular o Nusselt number (Nu), que relaciona a transferência de calor convectiva com a transferência de calor por condução. Para fluxo turbulento em tubos, podemos usar a correlação de Dittus-Boelter:
Nu = 0,023 cdot Re^0,8 cdot Pr^n
Onde Pr = 3,26 e n = 0,4 para aquecimento da água.
Calculando:
Nu = 0,023 cdot (49597)^0,8 cdot (3,26)^0,4 approx 0,023 cdot 5489 cdot 1,669 approx 210

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente de transferência de calor convectivo (h) usando o Nusselt number:
Nu = h cdot Dhk
Rearranjando para h:
h = Nu cdot kDh
Substituindo os valores:
h = 210 times 0,6540,021 approx 6540 , W/m^2 cdot K

Passo 5

Vamos calcular a quantidade de calor necessária para aquecer a água de 40^circ C a 70^circ C. A fórmula é:
Q = dotm cdot cp cdot De
Onde:
  • dotm é a taxa de fluxo de massa
  • cp = 4180 , J/kg cdot K (convertendo de kJ)
  • De
Primeiro, encontramos dotm:
A área da seção transversal é 0,000525 , m^2 e a velocidade é 1,2 , m/s, então o volume por segundo é 1,2 times 0,000525 = 0,00063 , m^3/s.
Então,
dotm = rho cdot volume por segundo = 985,5 times 0,00063 approx 0,621 , kg/s
Agora, calculamos Q:
Q = 0,621 times 4180 times 30 approx 78.278 , W

Passo 6

Sabemos que o calor transferido também pode ser expresso como:
Q = h cdot A cdot Deé
Onde:
  • A é a área de superfície de transferência de calor
  • Deé é a diferença de temperatura média entre a parede e a água
A área de superfície para um tubo retangular é P times L, onde P é o perímetro molhado ( 0,10 , m) e L é o comprimento que queremos encontrar.
Assumindo Deé (temperatura média da água).
Então,
Q = h cdot P cdot L cdot Deé

Passo 7

Agora, igualamos as duas expressões para Q:
78.278 = 6540 times 0,10 times L times 30
Resolvendo para L:
L = 78.2786540 times 0,10 times 30 approx 78.27819.620 approx 3,99 , m

Resposta

O comprimento do tubo necessário para aquecer a água de 40^circ C a 70^circ C é de aproximadamente 4 metros.

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