Exemplo 4.14 (modificado) - Óleo lubrificante entra em uma tubulação de aço de 30 mm de diâmetro, levemente enferrujada, com rugosidade absoluta de
a uma temperatura de
e uma velocidade de
. O tubulação apresenta uma temperatura superficial constante de
. Determine o comprimento requerido da tubulação para resfriar o óleo para
. Propriedades na temperatura média entre entrada e saída:
;
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um óleo lubrificante que entra numa tubulação de aço com 30 mm de diâmetro. Esse óleo está a 60°C e precisa ser resfriado até 45°C passando pela tubulação cuja superfície está mantida a 30°C. A gente precisa descobrir qual o comprimento dessa tubulação para que esse resfriamento aconteça. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente transferência de calor por convecção e condução. Vamos precisar calcular a quantidade de calor que o óleo perde e relacionar isso com o comprimento da tubulação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que o óleo perde ao passar pela tubulação para reduzir sua temperatura de 60°C para 45°C. Para isso, usamos a fórmula:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de transferência de calor (W),
- $ \dot{m} $ é a taxa de fluxo de massa do óleo (kg/s),
- $ c_p $ é a capacidade calorífica específica do óleo (J/kg·K),
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura do óleo (K).
Passo 3
Para encontrar a taxa de fluxo de massa $ \dot{m} $, usamos a fórmula:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do óleo (kg/m³),
- $ A $ é a área da seção transversal da tubulação (m²),
- $ v $ é a velocidade do óleo (m/s).
Primeiro, calculamos a área da seção transversal:
Com $ D = 0,03 $ m (30 mm), então:
Agora, calculamos $ \dot{m} $:
Passo 4
Agora, calculamos a quantidade de calor que o óleo perde para baixar de 60°C para 45°C:
A capacidade calorífica foi convertida de kJ/kg·K para J/kg·K multiplicando por 1000.
Passo 5
Agora, precisamos relacionar esse calor perdido com o comprimento da tubulação. A taxa de transferência de calor por unidade de área e por unidade de comprimento pode ser expressa pela fórmula de condução de calor:
Onde:
- $ U $ é o coeficiente global de transferência de calor (W/m²·K),
- $ A_{superfície} $ é a área superficial da tubulação (m²),
- $ \Delta T_{efetiva} $ é a diferença de temperatura efetiva.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular a área superficial da tubulação:
Onde $ L $ é o comprimento que queremos encontrar.
A diferença de temperatura efetiva $ \Delta T_{efetiva} $ pode ser aproximada como a diferença entre a temperatura média do óleo e a temperatura da superfície da tubulação. A temperatura média do óleo entre entrada e saída é:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos determinar o coeficiente global de transferência de calor $ U $. Para isso, consideramos a resistência térmica pela convecção no óleo e pela condução no material da tubulação.
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção no óleo,
- $ r $ é a espessura da tubulação,
- $ k $ é a condutividade térmica do material da tubulação.
Nota: A espessura $ r $ não foi fornecida, então vamos assumir que a tubulação é fina e que a resistência à condução é desprezível. Assim, $ U \approx h $.
Passo 8
Para encontrar $ h $, usamos a fórmula de transferência de calor por convecção para fluxo interno:
Onde:
- $ Nu $ é o número de Nusselt, que depende do regime de escoamento.
Como a rugosidade e outros parâmetros não foram detalhados, vamos simplificar e assumir um número de Nusselt típico para fluxo laminar ou turbulento. Para simplificação, vamos assumir $ Nu = 100 $.
Então,
Passo 9
Agora, substituímos tudo na equação do calor:
Resolvendo para $ L $:
Resposta
O comprimento requerido da tubulação para resfriar o óleo de 60°C para 45°C é aproximadamente 5,7 cm.