Exemplo 4.14 (modificado) - Óleo lubrificante entra em uma tubulação de aço de 30 mm de diâmetro, levemente enferrujada, com rugosidade absoluta de 0,25 mm a uma temperatura de 60 ^circ C e uma velocidade de 3,5 m / s. O tubulação apresenta uma temperatura superficial constante de 30^circ C. Determine o comprimento requerido da tubulação para resfriar o óleo para 45 ^circ C. Propriedades na temperatura média entre entrada e saída: rho=865 kg / m^3; cp=1,78 kJ / kg K ; v=9.10^-6 m^2 / s ; k=0,14 W / m K.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um óleo lubrificante que entra numa tubulação de aço com 30 mm de diâmetro. Esse óleo está a 60°C e precisa ser resfriado até 45°C passando pela tubulação cuja superfície está mantida a 30°C. A gente precisa descobrir qual o comprimento dessa tubulação para que esse resfriamento aconteça. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente transferência de calor por convecção e condução. Vamos precisar calcular a quantidade de calor que o óleo perde e relacionar isso com o comprimento da tubulação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que o óleo perde ao passar pela tubulação para reduzir sua temperatura de 60°C para 45°C. Para isso, usamos a fórmula:
Q = dotm cdot cp cdot De
Onde:
  • $ Q $ é a taxa de transferência de calor (W),
  • $ \dot{m} $ é a taxa de fluxo de massa do óleo (kg/s),
  • $ c_p $ é a capacidade calorífica específica do óleo (J/kg·K),
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura do óleo (K).

Passo 3

Para encontrar a taxa de fluxo de massa $ \dot{m} $, usamos a fórmula:
dotm
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do óleo (kg/m³),
  • $ A $ é a área da seção transversal da tubulação (m²),
  • $ v $ é a velocidade do óleo (m/s).
Primeiro, calculamos a área da seção transversal:
dotm = rho cdot A cdot v
Com $ D = 0,03 $ m (30 mm), então:
rho ²
Agora, calculamos $ \dot{m} $:
A

Passo 4

Agora, calculamos a quantidade de calor que o óleo perde para baixar de 60°C para 45°C:
Q = 2,13 cdot 1780 cdot (60 - 45) = 2,13 cdot 1780 cdot 15 approx 56.985 , W
A capacidade calorífica foi convertida de kJ/kg·K para J/kg·K multiplicando por 1000.

Passo 5

Agora, precisamos relacionar esse calor perdido com o comprimento da tubulação. A taxa de transferência de calor por unidade de área e por unidade de comprimento pode ser expressa pela fórmula de condução de calor:
Q = U cdot Asuperfície cdot Deí
Onde:
  • $ U $ é o coeficiente global de transferência de calor (W/m²·K),
  • $ A_{superfície} $ é a área superficial da tubulação (m²),
  • $ \Delta T_{efetiva} $ é a diferença de temperatura efetiva.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular a área superficial da tubulação:
Asuperfície = pi cdot D cdot L í
Onde $ L $ é o comprimento que queremos encontrar.
A diferença de temperatura efetiva $ \Delta T_{efetiva} $ pode ser aproximada como a diferença entre a temperatura média do óleo e a temperatura da superfície da tubulação. A temperatura média do óleo entre entrada e saída é:
L é
Então,
De

Passo 7

Agora, precisamos determinar o coeficiente global de transferência de calor $ U $. Para isso, consideramos a resistência térmica pela convecção no óleo e pela condução no material da tubulação.
U
Onde:
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção no óleo,
  • $ r $ é a espessura da tubulação,
  • $ k $ é a condutividade térmica do material da tubulação.
Nota: A espessura $ r $ não foi fornecida, então vamos assumir que a tubulação é fina e que a resistência à condução é desprezível. Assim, $ U \approx h $.

Passo 8

Para encontrar $ h $, usamos a fórmula de transferência de calor por convecção para fluxo interno:
h
Onde:
  • $ Nu $ é o número de Nusselt, que depende do regime de escoamento.
Como a rugosidade e outros parâmetros não foram detalhados, vamos simplificar e assumir um número de Nusselt típico para fluxo laminar ou turbulento. Para simplificação, vamos assumir $ Nu = 100 $.
Então,
h = kD cdot Nu ²

Passo 9

Agora, substituímos tudo na equação do calor:
56.985 = 466,67 cdot pi cdot 0,03 cdot L cdot 22,5
Resolvendo para $ L $:
L

Resposta

O comprimento requerido da tubulação para resfriar o óleo de 60°C para 45°C é aproximadamente 5,7 cm.

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