10uF, foi descrita matematicamente por v(t)=10 \cdot \cos \left(258 \pi \cdot t+75^{\circ}\right) [V]. Nesse caso, determine:
a) A tensão eficaz (\mathbf{0 , 3})
b) A amplitude da tensão (0,3)
c) A frequência, em Hertz (\mathbf{0 , 3})
d) A defasagem do sinal, em graus, em relação a onda seno. (\mathbf{0 , 3})
e O valor da tensão para \mathrm{t}=2 \mathrm{~ms} .(\mathbf{0 , 3})
f) A equação da corrente que passa por esse dispositivo (\mathbf{0 , 5})

Passo 1

O enunciado nos dá um capacitor de C=10\,\mu\text{F} e a tensão aplicada
v(t)=10\cos\bigl(258\pi\,t+75^\circ\bigr)\,\text{V}.
Precisamos calcular:
  • a) valor eficaz de v(t),
  • b) amplitude de v(t),
  • c) frequência em hertz,
  • d) defasagem em relação à onda seno,
  • e) v(2\,\text{ms}),
  • f) a equação da corrente i(t) no capacitor.

Passo 2

Para a tensão senoidal v(t)=V_p\cos(\omega t+\varphi), o valor eficaz é
V_{\text{rms}}=\frac{V_p}{\sqrt{2}}.
Aqui V_p=10,V, logo
V_{\text{rms}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\approx7{,}07\\ \text{V}.

Passo 3

A amplitude (ou valor de pico) é simplesmente o coeficiente de \cos, isto é,
V_p=10\\ \text{V}.

Passo 4

A pulsação é \omega=258\pi,rad/s. A frequência em hertz é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{258\pi}{2\pi}=129\\ \text{Hz}.

Passo 5

Para achar a defasagem em relação à onda seno de referência \sin(\omega t), lembramos que
\cos(\omega t+\varphi)=\sin\bigl(\omega t+\varphi+90^\circ\bigr).
Logo
v(t)=10\cos\bigl(258\pi t+75^\circ\bigr) =10\sin\bigl(258\pi t+165^\circ\bigr).
A defasagem é \mathbf{165^\circ}, ou seja, o sinal de tensão “adianta” 165^\circ em relação à seno.

Passo 6

Para t=2\,\text{ms}=2\times10^{-3}\,\text{s} calculemos o argumento:
258\pi\cdot0{,}002=0{,}516\pi\\ \text{rad}\approx92{,}88^\circ,
então o ângulo total é
92{,}88^\circ+75^\circ=167{,}88^\circ.
Dessa forma
v(2\,\text{ms})=10\cos(167{,}88^\circ)\approx10\times(-0{,}978)=-9{,}78\\ \text{V}.

Passo 7

No capacitor a corrente é
i(t)=C\,\frac{dv}{dt}.
Derivando
\frac{dv}{dt} =-10\cdot(258\pi)\sin(258\pi t+75^\circ)
logo
i(t)=10\times10^{-5}\times258\pi \,\bigl[-\sin(258\pi t+75^\circ)\bigr].
Reescrevendo em cosseno, usando -\sin(\theta)=\cos(\theta+90^\circ), define-se
I_p=10\times258\pi\times10^{-6}\approx0{,}0811\\ \text{A},
e a fase
75^\circ+90^\circ=165^\circ.
Assim
i(t)=0{,}0811\cos\bigl(258\pi\,t+165^\circ\bigr)\\ \text{A}.

Resposta

a) V_{\text{rms}}=7{,}07\\ \text{V}
b) V_p=10\\ \text{V}
c) f=129\\ \text{Hz}
d) \varphi_{\text{seno}}=165^\circ
e) v(2\,\text{ms})\approx -9{,}78\\ \text{V}
f) i(t)=0{,}0811\cos\bigl(258\pi\,t+165^\circ\bigr)\\ \text{A}

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