Questão 01) A partir das equações de Maxwell, demostre que desprezando a densidade de corrente de deslocamento ( \left\|\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\right\| \ll\|\vec{J}\| ) em um meio imóvel homogêneo e linear de condutividade \sigma e permeabilidade magnética
\mu (constantes e uniformes) podemos obter,
\vec{\Delta} \vec{J}=\sigma \mu \frac{\partial \vec{J}}{\partial t}
onde \quad \vec{\Delta} \quad é o operador Laplaciano vetorial.
(3 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que, a partir das equações de Maxwell num meio homogêneo, linear, imóvel e com condutividade \sigma e permeabilidade \mu constantes, desprezando a corrente de deslocamento, mostremos que
\vec{\Delta}\,\vec{J} \;=\;\sigma\,\mu\,\frac{\partial\vec{J}}{\partial t}\,.
Vamos usar as equações de Maxwell reduzidas (sem \partial\vec{D}/\partial t) e a lei de Ohm local \vec{J}=\sigma\,\vec{E}.

Passo 2

Escrevemos as duas equações de Maxwell relevantes:
\text{(Ampère sem desloc.)}\quad \nabla\times\vec{H}=\vec{J},è
\text{(Faraday)}\quad \nabla\times\vec{E}=-\mu\,\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.
Além disso, como não há monopólos magnéticos,
\nabla\cdot\vec{H}=0.

Passo 3

Aplicamos o operador \nabla\times à equação de Faraday:
\nabla\times\bigl(\nabla\times\vec{E}\bigr) = -\mu\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\vec{H}\bigr).
No lado direito usamos \nabla\times\vec{H}=\vec{J}, ficando
\nabla\times\bigl(\nabla\times\vec{E}\bigr) = -\mu\,\frac{\partial\vec{J}}{\partial t}.

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{E}) - \nabla^2\vec{E}.
Em meio condutor homogêneo, desprezamos acumulação de carga livre \nabla\cdot\vec{E}=0, de modo que
-\nabla^2\vec{E} = -\mu\,\frac{\partial\vec{J}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2\vec{E} = \mu\,\frac{\partial\vec{J}}{\partial t}.

Passo 5

Finalmente, como \vec{J}=\sigma\,\vec{E} e \sigma é constante,
\nabla^2\vec{E} = \nabla^2\!\bigl(\tfrac{1}{\sigma}\,\vec{J}\bigr) = \tfrac{1}{\sigma}\,\nabla^2\vec{J} = \mu\,\frac{\partial\vec{J}}{\partial t}.
Multiplicando ambos os lados por \sigma resulta
\nabla^2\vec{J} = \sigma\,\mu\,\frac{\partial\vec{J}}{\partial t},
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

\vec{\Delta}\,\vec{J} = \sigma\,\mu\,\frac{\partial\vec{J}}{\partial t}.

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