11.10 The acceleration of a particle is defined by the relation a=3 e^-0.2 t, where a and t are expressed in ft / s^2 and seconds, respectively. Knowing that x=0 and v=0 at t=0, determine the velocity and position of the particle when t=0.5 s.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula em função do tempo:
a(t)=3e^-0.2t,
com as condições iniciais x(0)=0 e v(0)=0. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, a=dv/dt, e a velocidade é a derivada da posição, v=dx/dt. Para encontrar v(t) e x(t) basta integrar sucessivamente a(t) usando as condições iniciais.

Passo 2

Para obter a velocidade, integramos a aceleração de 0 a t:
v(t)=integral0^ta(tau),dtau=integral0^t3e^-0.2tau,dtau =3l[e^-0.2tau-0.2r]0^t =15l(1-e^-0.2tr)

Passo 3

Para obter a posição, integramos a velocidade de 0 a t:
x(t)=integral0^tv(tau),dtau =integral0^t15l(1-e^-0.2taur),dtau =15l[tau +e^-0.2tau-0.2r]0^t =15t+75l(e^-0.2t-1r)

Passo 4

Avaliaremos v e x em t=0,5 s. Primeiro:
v(0,5)=15l(1-e^-0.2cdot0.5r) =15l(1-e^-0.1r) approx15l(1-0,904837r) approx1,4274 ft/s
Em seguida:
x(0,5)=15cdot0,5+75l(e^-0.1-1r) =7,5+75l(0,904837-1r) approx7,5-7,1373 approx0,3627 ft

Resposta

v(0,5 s)approx1,43 ft/s,
x(0,5 s)approx0,36 ft

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