11.11 The acceleration of a particle is directly proportional to the square of the time t. When t=0, the particle is at x=24 m. Knowing that at t=6 s, x=96 m and v=18 m / s, express x and v in terms of t.

Passo 1

No enunciado temos uma partícula cuja aceleração é proporcional ao quadrado do tempo. Chamando de a(t) essa aceleração, existe constante k tal que
a(t)=k,t^2
Além disso, sabemos que em t=0 a posição é x(0)=24,m, e em t=6,s vale x(6)=96,m e v(6)=18,m/s. Vamos obter v(t) e depois x(t) integrando sucessivamente e usando essas condições.

Passo 2

Começamos escrevendo
a(t)=dvdt=k,t^2

Passo 3

Integramos em relação a t para achar a velocidade:
v(t)=integral a(t),dt=integral k,t^2,dt=k,t^33+C1,
onde C1 é uma constante de integração que coincide com v(0).

Passo 4

Impondo v(6)=18 obtemos
kcdot6^33+C1=18 Longrightarrow 72,k + C1 =18 tag1

Passo 5

Agora integramos v(t) para achar a posição:
x(t)=integral v(t),dt =integrall(k,t^33+C1r)dt =k,t^412+C1,t + C2,
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Usando x(0)=24 segue que
C2=24

Passo 7

Impondo x(6)=96
kcdot6^412+C1cdot6+24=96 Longrightarrow 108,k +6,C1 =72 tag2

Passo 8

Resolvendo o sistema
72,k + C1 =18, 108,k +6,C1 =72,
subtraindo 6times( 1) de ( 2) ou de outra forma, achamos
k=19, C1=10

Passo 9

Substituindo esses valores em v(t) e x(t), obtemos as expressões finais.

Resposta

v(t)=10 + t^327,
x(t)=24 + 10,t + t^4108

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