11-12 Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)= 1+sin x, & x<0, cos x, & 0<x<pi, sin x, & x>pi,
e pede para descobrir para quais pontos a existe limxto af(x). Vamos usar dois fatos: (i) dentro de cada ramo aberto a função é contínua, logo o limite interno existe; (ii) nos pontos de fronteira 0,pi comparamos os limites laterais.
Passo 2
Para qualquer a<0, temos f(x)=1+sin x num intervalo aberto ao redor de a. Como a soma e o seno são funções contínuas,
limxto af(x)=1+sin a
existe.
Passo 3
Para qualquer a com 0<a<pi, temos f(x)=cos x num intervalo aberto ao redor de a. A função cosseno é contínua, logo
limxto af(x)=cos a
existe.
Passo 4
Para qualquer a>pi, temos f(x)=sin x num intervalo aberto ao redor de a. A função seno é contínua, logo
limxto af(x)=sin a
existe.
Passo 5
Agora verificamos nos pontos de fronteira:
– Em a=0: limxto0^-f(x)=limxto0^-(1+sin x)=1+sin0=1, limxto0^+f(x)=limxto0^+cos x=cos0=1.
Como os dois são iguais, limxto0f(x)=1 existe.
– Em a=pi: limxtopi^-f(x)=limxtopi^-cos x=cospi=-1, limxtopi^+f(x)=limxtopi^+sin x=sinpi=0.
Como -1neq0, limxtopif(x) não existe.
Resposta
O limite limxto af(x) existe para todos os ainR, exceto em a=pi.