11.12 The acceleration of a particle is defined by the relation a=k t^2. (a) Knowing that v=-8 m / s when t=0 and that v=+8 m / s when t=2 s, determine the constant k. (b) Write the equations of motion, knowing also that x=0 when t=2 s.

Passo 1

O enunciado diz que a aceleração de uma partícula é dada por
a = k,t^2,
onde k é uma constante a determinar. Precisamos usar as relações da cinemática unidimensional
a = dvdt, v = dxdt
e as condições iniciais v(0) = -8 m/s, v(2) = +8 m/s e x(2)=0 para achar k e, depois, as equações de v(t) e x(t).

Passo 2

Integramos a = dv/dt em relação a t:
integral dv = integral k,t^2,dt
v(t) = k3,t^3 + C1

Passo 3

Usamos v(0) = -8 m/s para achar C1:
v(0) = k3cdot 0^3 + C1 = -8 Longrightarrow C1 = -8
Em seguida, aplicamos v(2)=8 m/s:
v(2) = k3cdot 2^3 - 8 = 8 Longrightarrow 8k3 - 8 = 8 Longrightarrow 8k3 = 16 Longrightarrow k = 6(m/s^4)

Passo 4

Substituindo k=6 e C1=-8 na expressão de v(t), obtemos
v(t) = 63,t^3 - 8 = 2,t^3 - 8(m/s)

Passo 5

Agora integramos v(t)=dx/dt para achar x(t):
integral dx = integral l(2,t^3 - 8r),dt
x(t) = 24,t^4 - 8,t + C2 = 12,t^4 - 8,t + C2

Passo 6

Usamos a condição x(2)=0:
0 = 12cdot 2^4 - 8cdot 2 + C2 = 8 - 16 + C2 Longrightarrow C2 = 8
Logo,
x(t) = 12,t^4 - 8,t + 8(m)

Resposta

(a) k = 6 m/s^4.
(b)
v(t) = 2,t^3 - 8(m/s),
x(t) = 12,t^4 - 8,t + 8(m)

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