11.17 Para a reação
\mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{I}_{2}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons 2 \mathrm{HI}(\mathrm{~g}) .
K_{p}=50,0, a 448^{\circ} \mathrm{C}, e K_{p}=66,9, a 350^{\circ} \mathrm{C}. Calcule \Delta H^{\circ} para essa reação.

Passo 1

O enunciado dá uma reação e os valores de K_{p} em duas temperaturas diferentes. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
  • Reação: \mathrm{H}_{2}(\mathrm{g})+\mathrm{I}_{2}(\mathrm{g}) \rightleftharpoons 2\,\mathrm{HI}(\mathrm{g}).
  • Valores fornecidos:
    • K_{p1}=50{,}0 à 448^\circ\mathrm{C}.
    • K_{p2}=66{,}9 à 350^\circ\mathrm{C}.
  • O que se pede: calcular \Delta H^\circ para a reação (assumir \Delta H^\circ aproximadamente constante entre essas temperaturas).

Passo 2

Conceito e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • A dependência da constante de equilíbrio K com a temperatura é dada pela equação de van ’t Hoff. A forma integrada (quando se assume \Delta H^\circ independente de T) é:
\ln\!\left(\frac{K_{2}}{K_{1}}\right) = -\frac{\Delta H^\circ}{R}\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right).
Expliquei cada termo:
  • \ln é o logaritmo natural.
  • K_{1} e K_{2} são as constantes de equilíbrio nas temperaturas T_{1} e T_{2}, respectivamente.
  • \Delta H^\circ é a variação de entalpia padrão da reação (o que queremos).
  • R é a constante dos gases perfeitos; vale R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • T_{1} e T_{2} são as temperaturas absolutas (em kelvin). Note que a diferença \dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}} tem unidades \mathrm{K^{-1}}.
Rearranjando para \Delta H^\circ temos:
\Delta H^\circ = -R\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{K_{2}}{K_{1}}\right)}{\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}}.
Vamos aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Converter as temperaturas para kelvin (obrigatório para usar a fórmula).
  • T_{1}=448^\circ\mathrm{C}=448+273{,}15=721{,}15\\ \mathrm{K}.
  • T_{2}=350^\circ\mathrm{C}=350+273{,}15=623{,}15\\ \mathrm{K}.
(Coloquei as somas e o resultado em kelvin para ficar claro como obter T em kelvin.)

Passo 4

Calcular a razão das constantes e seu logaritmo natural.
  • Razão:
\frac{K_{2}}{K_{1}}=\frac{66{,}9}{50{,}0}=1{,}338.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{K_{2}}{K_{1}}\right)=\ln(1{,}338)\approx 0{,}291.
(Dica prática: para uma razão levemente acima de 1, o \ln será um número pequeno e positivo; aqui ficou cerca de 0{,}29.)

Passo 5

Calcular a diferença \dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}} de forma estável.
Uma forma prática e numérica segura é usar:
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}T_{2}}.
Substituindo:
T_{1}-T_{2}=721{,}15-623{,}15=98{,}00\\ \mathrm{K},
T_{1}T_{2}=721{,}15\times623{,}15\approx 449\,384{,}62\\ \mathrm{K^{2}},
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}=\frac{98{,}00}{449\,384{,}62}\approx 2{,}1816\times 10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 6

Agora aplicar a fórmula para obter \Delta H^\circ.
\Delta H^\circ = -R\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{K_{2}}{K_{1}}\right)}{\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}}
Substituindo valores numéricos ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}):
\Delta H^\circ = -8{,}314\cdot\frac{0{,}291}{2{,}1816\times10^{-4}}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Calcule o numerador e a divisão:
-8{,}314\times 0{,}291 \approx -2{,}42\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},
\Delta H^\circ \approx \frac{-2{,}42}{2{,}1816\times10^{-4}}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \approx -11\,100\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 7

Expressar em unidades usuais e interpretar.
  • Convertendo para kilojoules por mol:
\Delta H^\circ \approx -11{,}1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  • Interpretação: \Delta H^\circ negativo indica que a reação é exotérmica (libera calor). Observação: usamos a aproximação de \Delta H^\circ constante entre 623{,}15 e 721{,}15\\ \mathrm{K}; para uma variação pequena de temperatura essa aproximação é comum.

Resposta

-11{,}1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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