11.16 \mathrm{~A} 25^{\circ} \mathrm{C}, teremos \Delta G^{\circ}=161,67 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} e \Delta H^{\circ}=192,81 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} para a réação \mathrm{Br}_{2}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons 2 \mathrm{Br}(\mathrm{g}).
a) Calcule a fração molar dos átomos de bromo presentes no equilíbrio a 25^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 1 atm .
b) A que temperatura o sistema conterá 10 mol porcento de átomos de bromo em equilíbrio como bromo vapor, à pressão de 1 atm ?

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, de forma bem clara (peguei os valores de \Delta G^\circ e \Delta H^\circ do enunciado).
  • Reação: \mathrm{Br_2(g)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{Br(g)}.
  • Dados a 25^\circ\mathrm{C} ( T_1=298{,}15\\ \mathrm{K}):
    • \Delta G^\circ = 161{,}67\\ \mathrm{kJ/mol} = 161\,670\\ \mathrm{J/mol}.
    • \Delta H^\circ = 192{,}81\\ \mathrm{kJ/mol} = 192\,810\\ \mathrm{J/mol}.
  • Condição adicional pedida: pressão total P_{\text{tot}}=1\\ \mathrm{atm}.
O enunciado pede:
(a) A fração molar dos átomos de bromo que estão presentes como átomos \mathrm{Br} no equilíbrio a 25^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}.
(b) A que temperatura (em \mathrm{K} e em ^\circ\mathrm{C}) o sistema terá 10\% dos átomos de bromo em forma atômica ( 10 mol porcento de átomos como \mathrm{Br}) em equilíbrio, a 1\\ \mathrm{atm}.

Passo 2

Entender a relação entre \Delta G^\circ e a constante de equilíbrio K_p. Fórmula fundamental:
\Delta G^\circ = -R T \ln K_p,
onde R é a constante dos gases R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e T a temperatura em kelvin. Vou usar essa fórmula para obter K_p à 25^\circ\mathrm{C}.
Calculemos \ln K_p a T_1=298{,}15\\ \mathrm{K}:
\ln K_{p,1} = -\frac{\Delta G^\circ}{R T_1} = -\frac{161\,670}{8{,}314462618\cdot 298{,}15}.
Faço a conta:
8{,}314462618\cdot 298{,}15 \approx 2478{,}957, \qquad \ln K_{p,1} \approx -\frac{161\,670}{2478{,}957} \approx -65{,}2710.
Portanto
K_{p,1} = e^{-65{,}2710} \approx 4{,}33\times10^{-29}.

Passo 3

Religar K_p com a fração de dissociação. Seja \alpha o grau de dissociação por mol de \mathrm{Br_2} inicial (ou seja, a fração de moléculas \mathrm{Br_2} que se dissociam). Se começarmos com 1 mol de \mathrm{Br_2}:
  • moles de \mathrm{Br_2} no equilíbrio: 1-\alpha.
  • moles de \mathrm{Br} no equilíbrio: 2\alpha.
  • moles totais de partículas gasosas: n_{\text{tot}} = 1-\alpha + 2\alpha = 1+\alpha.
A fração dos átomos que estão como átomos \mathrm{Br} (isto é, a fração dos átomos totais presentes como átomos livres) é, em termos de \alpha, simplesmente \alpha. Explico: começando com 1 mol de \mathrm{Br_2} 2 mol de átomos de bromo no total; os átomos livres correspondem a 2\alpha mol, então a fração é \dfrac{2\alpha}{2}=\alpha. Logo o que nos pedem em (a) é encontrar \alpha no equilíbrio.
Agora escrevemos K_p em função das pressões parciais. Para a reação \mathrm{Br_2}\rightleftharpoons 2\mathrm{Br}:
K_p = \frac{P_{\mathrm{Br}}^2}{P_{\mathrm{Br_2}}}.
Como a pressão total é P_{\text{tot}}=1\\ \mathrm{atm}, as pressões parciais são P_i = y_i P_{\text{tot}}, com y fração molar. As frações molares são
y_{\mathrm{Br_2}}=\frac{1-\alpha}{1+\alpha},\qquad y_{\mathrm{Br}}=\frac{2\alpha}{1+\alpha}.
Substituindo em K_p com P_{\text{tot}}=1\\ \mathrm{atm} obtém-se (as potências de P_{\text{tot}} cancelam pois P_{\text{tot}}=1):
K_p = \frac{\left(\dfrac{2\alpha}{1+\alpha}\right)^2}{\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}} = \frac{4\alpha^2}{(1+\alpha)(1-\alpha)} = \frac{4\alpha^2}{1-\alpha^2}.

Passo 4

Resolver a equação para \alpha usando K_{p,1} calculado no Passo 2. A equação é
K_{p,1} = \frac{4\alpha^2}{1-\alpha^2}.
Rearranjando:
K_{p,1}(1-\alpha^2)=4\alpha^2 \quad\Rightarrow\quad K_{p,1} = \alpha^2(4+K_{p,1}) \quad\Rightarrow\quad \alpha^2 = \frac{K_{p,1}}{4+K_{p,1}}.
Como K_{p,1} é extremamente pequeno, podemos aproximar \alpha^2\approx K_{p,1}/4, mas vou usar a expressão exata. Substituindo K_{p,1}=4{,}33\times10^{-29}:
\alpha^2 = \frac{4{,}33\times10^{-29}}{4 + 4{,}33\times10^{-29}} \approx \frac{4{,}33\times10^{-29}}{4} = 1{,}0825\times10^{-29}.
Tomando raiz quadrada:
\alpha \approx \sqrt{1{,}0825\times10^{-29}} \approx 3{,}29\times10^{-15}.
Interpretação: a fração dos átomos de bromo que estão como átomos \mathrm{Br} a 25^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} é \alpha\approx 3{,}29\times10^{-15}, i.e., praticamente zero — quase todo o bromo está como \mathrm{Br_2}.

Passo 5

Parte (b): queremos a temperatura T_2 para que a fração de átomos como \mathrm{Br} seja 10\%, ou seja \alpha=0{,}10. Primeiro obtenho o K_{p,2} correspondente a \alpha=0{,}10 usando a mesma fórmula
K_{p,2}=\frac{4\alpha^2}{1-\alpha^2}.
Substituindo \alpha=0{,}10:
K_{p,2}=\frac{4\cdot(0{,}10)^2}{1-(0{,}10)^2}=\frac{4\cdot 0{,}01}{0{,}99}=\frac{0{,}04}{0{,}99}\approx 0{,}040404.
Agora usamos a forma integrada da equação de van’t Hoff (assumindo \Delta H^\circ aproximadamente constante no intervalo de temperatura):
\ln\frac{K_{p,2}}{K_{p,1}}=\frac{\Delta H^\circ}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Dessa equação resolvo para 1/T_2:
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} - \frac{R}{\Delta H^\circ}\ln\frac{K_{p,2}}{K_{p,1}}.
Substituo os valores numéricos (usei K_{p,1}=4{,}33\times10^{-29}, K_{p,2}=0{,}040404, T_1=298{,}15\\ \mathrm{K}, \Delta H^\circ=192\,810\\ \mathrm{J/mol}):
\ln\frac{K_{p,2}}{K_{p,1}} = \ln\!\left(\frac{0{,}040404}{4{,}33\times10^{-29}}\right) \approx 62{,}10.
Calculo do fator:
\frac{R}{\Delta H^\circ} = \frac{8{,}314462618}{192\,810} \approx 4{,}313\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Logo
\frac{R}{\Delta H^\circ}\ln\frac{K_{p,2}}{K_{p,1}} \approx 4{,}313\times10^{-5}\cdot 62{,}10 \approx 0{,}00268\\ \mathrm{K^{-1}}.
E
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{298{,}15}\approx 0{,}003354\\ \mathrm{K^{-1}}.
Assim
\frac{1}{T_2}\approx 0{,}003354 - 0{,}00268 = 0{,}000677\\ \mathrm{K^{-1}},
portanto
T_2 \approx \frac{1}{0{,}000677}\approx 1476\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_2\approx 1476\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx 1203^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: usei a aproximação de \Delta H^\circ constante entre 298{,}15\\ \mathrm{K} e T_2. Como T_2 é bem elevado, isso é uma aproximação razoável para estimativa, mas se fosse necessária alta precisão, deveria-se usar capacidades térmicas dependentes de T.

Resposta

\text{(a) } 3{,}29\times10^{-15}
\text{(b) } T\approx 1{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{K}\approx 1203^\circ\mathrm{C}

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