11.21 Considere um motor de indução de quatro pólos, 460 \mathrm{~V}, 25 \mathrm{~kW} e 60 Hz que tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase referidos ao estator:
R_{1}=0,103 \quad R_{2}=0,225 \quad X_{1}=1,10 \quad X_{2}=1,13 \quad X_{\mathrm{m}}=59,4
O motor deve operar com um acionamento de freqüência variável e \mathrm{V} / \mathrm{Hz} constante cuja saída é de 460 V em 60 Hz . Despreze os efeitos das perdas rotacionais. Inicialmente, o acionamento do motor está ajustado para uma freqüência de 60 Hz .
a. Calcule o conjugado de pico e os respectivos valores de escorregamento e velocidade do motor em rpm.
b. Calcule o conjugado do motor para um escorregamento de 2,9 por cento e a respectiva potência de saída.
c. A freqüência do acionamento é reduzida agora para 35 Hz . Se o conjugado de carga permanecer constante, estime a velocidade resultante do motor em rpm. Encontre o escorregamento do motor, a velocidade em rpm e a potência de saída resultantes.

Passo 1

O enunciado descreve um motor de indução trifásico de quatro pólos, tensão de linha 460\:\mathrm{V}, potência nominal 25\:\mathrm{kW}, frequência 60\:\mathrm{Hz} e parâmetros por fase referidos ao estator:
R_{1}=0{,}103,\quad R_{2}'=0{,}225,\quad X_{1}=1{,}10,\quad X_{2}=1{,}13,\quad X_{m}=59{,}4.
O acionamento mantém V/f constante (460 V em 60 Hz). Desprezamos perdas mecânicas.
a) Pedem o conjugado de pico (pull-out), o escorregamento e a velocidade em rpm.
b) Pedem o conjugado a s=2{,}9\% e a potência de saída.
c) Ao reduzir a frequência para 35 Hz (mantendo V/f constante) e carga com mesmo conjugado, estimar o novo escorregamento, velocidade e potência de saída.

Passo 2

Vamos usar o método da equivalência de Thévenin para o circuito visto pela escorregante:
  1. Tensão de fase original
V_{1}=\frac{460}{\sqrt{3}}\approx265{,}3\:\mathrm{V}.
  1. Impedâncias
Z_{1}=R_{1}+jX_{1}=0{,}103+j1{,}10, \quad Z_{m}=jX_{m}=j59{,}4.
  1. Tensão de Thévenin
V_{th}=V_{1}\,\frac{Z_{m}}{Z_{1}+Z_{m}} \approx265{,}3\,(0{,}9826 + j0{,}00167) \approx260{,}8 + j0{,}44\:\mathrm{V},
|V_{th}|\approx260{,}8\:\mathrm{V}.
  1. Impedância de Thévenin
Z_{th}=\frac{Z_{1}\,Z_{m}}{Z_{1}+Z_{m}} \approx0{,}0994 + j1{,}0803\:\Omega,
logo
R_{th}=0{,}0994\:\Omega,\quad X_{th}=1{,}0803\:\Omega.

Passo 3

a) Conjugado de pico ocorre em
s_{\max}=\frac{R_{2}'}{\sqrt{R_{th}^{2}+(X_{th}+X_{2})^{2}}} =\frac{0{,}225}{\sqrt{0{,}0994^{2}+(1{,}0803+1{,}13)^{2}}} \approx0{,}1017.
Velocidade síncrona n_{s}=1800\:\mathrm{rpm}, logo
n_{\max}=n_{s}(1-s_{\max})\approx1800\,(1-0{,}1017)\approx1617\:\mathrm{rpm}.
O conjugado máximo vale
T_{\max} =\frac{3\,|V_{th}|^{2}}{2\,\omega_{s}\,(X_{th}+X_{2})}, \quad \omega_{s}=\frac{2\pi\,1800}{60}\approx188{,}5\:\mathrm{rad/s},
T_{\max} \approx\frac{3\,(260{,}8)^{2}}{2\,(188{,}5)\,(1{,}0803+1{,}13)} \approx244{,}8\:\mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

b) Para s=2{,}9\%=0{,}029:
R_{2}'/s\approx\frac{0{,}225}{0{,}029}\approx7{,}7586\:\Omega,
T =\frac{3\,|V_{th}|^{2}\,(R_{2}'/s)}{\omega_{s}\bigl[(R_{th}+R_{2}'/s)^{2}+(X_{th}+X_{2})^{2}\bigr]} \approx125{,}9\:\mathrm{N\cdot m}.
A velocidade do eixo é
\omega_{m}=(1-s)\,\omega_{s}\approx0{,}971\cdot188{,}5\approx183{,}2\:\mathrm{rad/s},
e a potência de saída
P_{\mathrm{out}}=T\,\omega_{m}\approx125{,}9\cdot183{,}2\approx23057\:\mathrm{W}\approx23{,}06\:\mathrm{kW}.

Passo 5

c) Agora f=35\:\mathrm{Hz}, V_{\text{fase}}=460\,(35/60)/\sqrt{3}\approx154{,}94\:\mathrm{V}. As reatâncias variam proporcionalmente à frequência:
X_{1}'=1{,}10\frac{35}{60}\approx0{,}6417,\; X_{2}'=1{,}13\frac{35}{60}\approx0{,}6592,\; X_{m}'=59{,}4\frac{35}{60}\approx34{,}65.
Refazendo Thévenin chegamos a
|V_{th}'|\approx152{,}3\:\mathrm{V},\quad R_{th}'\approx0{,}0992\:\Omega,\quad X_{th}'\approx0{,}6310\:\Omega,\quad X_{2}'\approx0{,}6592\:\Omega,
e síncrona mecânica n_{s}'=120\cdot35/4=1050\:\mathrm{rpm}, \omega_{s}'\approx109{,}96\:\mathrm{rad/s}.
Mantendo o mesmo conjugado de carga T_{c}=125{,}9\:\mathrm{N\cdot m} e resolvendo a equação do torque por s, obtemos
s'\approx0{,}0505, \quad n'=(1-s')\,1050\approx998\:\mathrm{rpm}.
A nova velocidade angular
\omega_{m}'=2\pi\,998/60\approx104{,}5\:\mathrm{rad/s},
logo a potência de saída
P_{\mathrm{out}}'=T_{c}\,\omega_{m}'\approx125{,}9\cdot104{,}5\approx13158\:\mathrm{W}\approx13{,}16\:\mathrm{kW}.

Resposta

a. T_{\max}\approx244{,}8\:\mathrm{N\cdot m}, s_{\max}\approx0{,}1017, n\approx1617\:\mathrm{rpm}.
b. T\approx125{,}9\:\mathrm{N\cdot m}, P_{\mathrm{out}}\approx23{,}06\:\mathrm{kW}.
c. s\approx0{,}0505, n\approx998\:\mathrm{rpm}, P_{\mathrm{out}}\approx13{,}16\:\mathrm{kW}.

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