11.25 Um radiador de automóvel pode ser visto como um trocador de calor com escoamento cruzado, com os dois fluidos não misturados. Água, a uma vazão de 0,05 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, entra no radiador a 400 K e deve deixá-lo a 330 K . A água é resfriada por ar, que entra a 0,75 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e a 300 K .
(a) Sendo o coeficiente global de transferência de calor igual a 200 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right), qual é a área de transferência de calor necessária?
(b) Um engenheiro de montagem afirma que podem ser gravados sulcos sobre a superfície aletada do trocador, que poderiam aumentar significativamente o coeficiente global de transferência de calor. Com todas as demais condições permanecendo as mesmas e a área de transferência de calor determinada na parte (a), faça um gráfico das temperaturas de saída do ar e da água como funções do U para 200 \leq U \leq 400 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). Que benefícios resultam do aumento no coeficiente global de transferência de calor nessa aplicação?

Passo 1

O enunciado e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Vazões mássicas:
    • Água: \dot{m}_w = 0,05\\ \mathrm{kg/s}.
    • Ar: \dot{m}_a = 0,75\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperaturas de entrada:
    • Água quente entrando: T_{w,\text{in}} = 400\\ \mathrm{K}.
    • Ar frio entrando: T_{a,\text{in}} = 300\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura desejada da água de saída (dada pelo enunciado): T_{w,\text{out}} = 330\\ \mathrm{K}.
  • Coeficiente global dado (parte (a)): U = 200\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • O trocador é de escoamento cruzado com os dois fluidos não misturados (crossflow, ambos não-misturados).
    As perguntas são:
    (a) Com U=200\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}), qual área de troca térmica A necessária?
    (b) Mantendo a mesma área calculada em (a), para 200\le U\le 400\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) faça um gráfico (ou tabela) das temperaturas de saída do ar e da água como função de U e explique os benefícios de aumentar U.

Passo 2

Planos de resolução (o que vamos usar — sem resolver ainda, só para orientar):
  • Primeiro: calcular a taxa de calor real \dot{Q} trocada usando balanço energético da água (porque sabemos vazão e queda de temperatura da água).
  • Em seguida: usar o conceito de efetividade \varepsilon do trocador de calor, definido por \varepsilon=\frac{\dot{Q}}{\dot{Q}_{\max}},onde \dot{Q}_{\max}=C_{\min}\,(T_{w,\text{in}}-T_{a,\text{in}}) e C=\dot{m}c_p é a capacidade térmica de cada corrente.
  • Para relacionar área A com as variáveis usaremos a definição do número de unidades de transferência térmica (NTU): \mathrm{NTU}=\frac{U A}{C_{\min}}.Para trocadores de calor existe uma curva/forma cobrindo a relação \varepsilon(\mathrm{NTU},C_r), onde C_r=C_{\min}/C_{\max}. Para o caso de ambos os fluidos não-misturados em escoamento cruzado os dados do livro-texto fornecem tabelas/curvas; para C_r pequeno essa efetividade é aproximada por \varepsilon \approx 1-\exp(-\mathrm{NTU}),o que será usado aqui com justificativa (ver Passo 4).
  • Finalmente, resolvemos para A na parte (a) e para vários U na parte (b) calculamos \mathrm{NTU}(U), \varepsilon(U), e então as temperaturas de saída.

Passo 3

Definições, fórmulas e valores físicos adotados (aulas rápidas e motivação):
  • Capacidade térmica de uma corrente: para qualquer fluido C=\dot{m}\,c_p,onde \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}) e c_p é o calor específico à pressão constante ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
  • Valores padrão que adotarei (valores comuns em exercícios e práticos):
    • Calor específico da água: c_{p,w}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Calor específico do ar (à pressão ambiente, temperatura média): c_{p,a}=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
      Esses valores não foram dados no enunciado; são suposições usuais em exercícios. Se o professor der outros valores, repetir os cálculos com eles.
  • Calculando as capacidades térmicas: C_w=\dot{m}_w\,c_{p,w}=0,05\cdot 4180=209\\ \mathrm{W/K}.
C_a=\dot{m}_a\,c_{p,a}=0,75\cdot 1005=753{,}75\\ \mathrm{W/K}.
  • Identificando C_{\min} e C_{\max}: C_{\min}=C_w=209\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max}=C_a=753{,}75\\ \mathrm{W/K}.E a razão de capacidades térmicas: C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{209}{753{,}75}\approx 0{,}277.
  • Energia trocada real (pela água): a água entra a 400\\ \mathrm{K} e sai a 330\\ \mathrm{K}, então a taxa de calor retirada da água é \dot{Q}=C_w\,(T_{w,\text{in}}-T_{w,\text{out}})=209\cdot(400-330)=209\cdot70=14\,630\\ \mathrm{W}.
  • O máximo calor que poderia ser transferido (se a corrente de menor capacidade chegasse à temperatura da corrente quente de entrada) é \dot{Q}_{\max}=C_{\min}\,(T_{w,\text{in}}-T_{a,\text{in}})=209\cdot(400-300)=209\cdot100=20\,900\\ \mathrm{W}.
  • A efetividade real é então \varepsilon=\frac{\dot{Q}}{\dot{Q}_{\max}}=\frac{14\,630}{20\,900}\approx 0{,}700.Comentário didático: a efetividade indica que o equipamento está transferindo cerca de 70\% do calor máximo possível dado os fluxos e temperaturas de entrada.

Passo 4

Justificativa da aproximação usada para relacionar \varepsilon e \mathrm{NTU}:
  • Para muitos tipos de trocadores (especialmente quando C_r não é perto de 1), a forma funcional da efetividade como função de NTU pode ser aproximada. Uma aproximação simples e muito usada quando C_r é relativamente pequeno (digamos C_r\lesssim 0{,}3) é \varepsilon \approx 1-\exp(-\mathrm{NTU}).Intuição: quando uma das correntes tem capacidade térmica muito menor que a outra, essa corrente controla a troca e o trocador se comporta de maneira semelhante a um sistema em que a efetividade depende principalmente de \mathrm{NTU} sem forte influência de C_r.
  • No nosso caso C_r\approx 0{,}277, o que justifica usar essa aproximação com erro moderado. Em livros-texto existem curvas exatas para o caso “crossflow, ambos não misturados” que deveriam ser usadas para precisão maior; porém, para o objetivo do exercício (calcular área e ver dependência com U) a aproximação fornece resultados consistentes e didaticamente claros.
  • Assim, a equação útil será tomada como \varepsilon \approx 1-\exp(-\mathrm{NTU}).Relembrando a definição de \mathrm{NTU}: \mathrm{NTU}=\frac{U\,A}{C_{\min}}.

Passo 5

Resolver a parte (a): encontrar a área A com U=200\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Nós já calculamos \varepsilon\approx 0{,}700 e C_{\min}=209\\ \mathrm{W/K}.
  • Pela aproximação escolhida, \varepsilon=1-\exp(-\mathrm{NTU}) \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NTU}=-\ln(1-\varepsilon).Substituindo \varepsilon=0{,}700: \mathrm{NTU}=-\ln(1-0{,}700)=-\ln(0{,}300)\approx 1{,}204.
  • Agora usar \mathrm{NTU}=\dfrac{U A}{C_{\min}} para encontrar A: A=\frac{\mathrm{NTU}\,C_{\min}}{U}=\frac{1{,}204\cdot 209}{200}.Calculemos: A=\frac{1{,}204\cdot 209}{200}= \frac{251{,}636}{200}\approx 1{,}2582\\ \mathrm{m}^2.Arredondando de forma prática: A\approx 1{,}26\\ \mathrm{m}^2.
  • Interpretação: com U=200\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) e área de aproximadamente 1{,}26\\ \mathrm{m}^2 espera-se a água sair a 330\\ \mathrm{K}, como enunciado.

Passo 6

Resolver a parte (b): comportamento das temperaturas de saída como função de U com a área fixa de A=1{,}2582\\ \mathrm{m}^2.
  • Para cada U no intervalo pedido, calculamos:
    1. \mathrm{NTU}(U)=\dfrac{U A}{C_{\min}}.
    2. \varepsilon(U)\approx 1-\exp(-\mathrm{NTU}(U)) (mesma aproximação).
    3. \dot{Q}(U)=\varepsilon(U)\,C_{\min}\,(T_{w,\text{in}}-T_{a,\text{in}})=\varepsilon(U)\cdot 20\,900\\ \mathrm{W}.
    4. Temperatura de saída da água: T_{w,\text{out}}(U)=T_{w,\text{in}}-\frac{\dot{Q}(U)}{C_w}.
    5. Temperatura de saída do ar: T_{a,\text{out}}(U)=T_{a,\text{in}}+\frac{\dot{Q}(U)}{C_a}.
  • É conveniente calcular para alguns pontos representativos de U: 200,250,300,350,400\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Primeiro obtenha a constante k=\dfrac{A}{C_{\min}}=\dfrac{1{,}2582}{209}\approx 0{,}006021\\ \mathrm{s}/\mathrm{m}^2 (unidade combinada que dá \mathrm{NTU}=k\cdot U).
  • Agora os cálculos (apresentados com arredondamentos razoáveis):
    Para U=200:
    \mathrm{NTU}=0{,}006021\cdot 200 = 1{,}204,
\varepsilon=1-e^{-1{,}204}=0{,}700,
\dot{Q}=0{,}700\cdot 20\,900 = 14\,630\\ \mathrm{W},
T_{w,\text{out}}=400-\frac{14\,630}{209}=400-70=330{,}0\\ \mathrm{K},
T_{a,\text{out}}=300+\frac{14\,630}{753{,}75}=300+19{,}42=319{,}42\\ \mathrm{K}.
Para U=250:
\mathrm{NTU}=0{,}006021\cdot 250 = 1{,}505,
\varepsilon=1-e^{-1{,}505}=0{,}7778,
\dot{Q}=0{,}7778\cdot 20\,900 \approx 16\,268\\ \mathrm{W},
T_{w,\text{out}}=400-\frac{16\,268}{209}\approx 400-77{,}86=322{,}14\\ \mathrm{K},
T_{a,\text{out}}=300+\frac{16\,268}{753{,}75}\approx 300+21{,}58=321{,}58\\ \mathrm{K}.
Para U=300:
\mathrm{NTU}=0{,}006021\cdot 300 = 1{,}806,
\varepsilon=1-e^{-1{,}806}=0{,}8356,
\dot{Q}\approx 0{,}8356\cdot 20\,900 \approx 17\,460\\ \mathrm{W},
T_{w,\text{out}}=400-\frac{17\,460}{209}\approx 400-83{,}56=316{,}44\\ \mathrm{K},
T_{a,\text{out}}=300+\frac{17\,460}{753{,}75}\approx 300+23{,}16=323{,}16\\ \mathrm{K}.
Para U=350:
\mathrm{NTU}=0{,}006021\cdot 350 = 2{,}107,
\varepsilon=1-e^{-2{,}107}=0{,}8778,
\dot{Q}\approx 0{,}8778\cdot 20\,900 \approx 18\,342\\ \mathrm{W},
T_{w,\text{out}}=400-\frac{18\,342}{209}\approx 400-87{,}75=312{,}25\\ \mathrm{K},
T_{a,\text{out}}=300+\frac{18\,342}{753{,}75}\approx 300+24{,}33=324{,}33\\ \mathrm{K}.
Para U=400:
\mathrm{NTU}=0{,}006021\cdot 400 = 2{,}408,
\varepsilon=1-e^{-2{,}408}=0{,}9098,
\dot{Q}\approx 0{,}9098\cdot 20\,900 \approx 19\,053\\ \mathrm{W},
T_{w,\text{out}}=400-\frac{19\,053}{209}\approx 400-91{,}17=308{,}83\\ \mathrm{K},
T_{a,\text{out}}=300+\frac{19\,053}{753{,}75}\approx 300+25{,}28=325{,}28\\ \mathrm{K}.
  • Esses pontos são suficientes para desenhar um gráfico qualitativo: T_{w,\text{out}} decresce com U (resfriamento maior da água) e T_{a,\text{out}} aumenta com U (o ar absorve mais calor). O ganho diminui conforme U cresce (retornos decrescentes), porque a efetividade tende para 1 quando \mathrm{NTU}\to\infty, e o máximo calor disponível é \dot{Q}_{\max}=20{,}900\\ \mathrm{W}. Assim as temperaturas de saída tendem limites: \text{Limite } \dot{Q}\to\dot{Q}_{\max}\Rightarrow T_{w,\text{out}}\to 300\\ \mathrm{K},\quad T_{a,\text{out}}\to 400\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Interpretação prática e resposta à pergunta sobre benefícios de aumentar U:
  • Aumentar U (por exemplo, fazendo sulcos, aletas melhores, aumentando turbulência local) aumenta \mathrm{NTU}=UA/C_{\min} e, portanto, aumenta a efetividade \varepsilon e a taxa de calor \dot{Q}.
  • Benefícios práticos observados:
    • A água sai mais fria (boa para desempenho do motor): T_{w,\text{out}} diminui.
    • O ar sai mais quente (absorveu mais energia): T_{a,\text{out}} aumenta.
    • Com área fixa, aumentar U é a forma direta de aumentar \dot{Q}.
    • Contudo há retornos decrescentes: ao aumentar muito U, \varepsilon aproxima-se de 1 e \dot{Q} aproxima-se do máximo teórico; aumentos adicionais em U têm efeito cada vez menor. Então, além de certo ponto, pode não valer o custo (e/ou aumento da queda de pressão) de melhorar U.
  • Observações de engenharia: melhorias que aumentem U normalmente vêm junto a aumento de perda de carga (mais turbulência, mais resistência do ar), custo de fabricação e possível acúmulo de sujeira — tudo isso deve ser balanceado.

Resposta

(a) A\approx 1{,}26\\ \mathrm{m}^2.
(b) Valores de saída para A=1{,}26\\ \mathrm{m}^2 (aproximação \varepsilon\approx1-e^{-\mathrm{NTU}}; os resultados estão arredondados):
  • U=200\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}: T_{w,\text{out}}=330{,}0\\ \mathrm{K}, T_{a,\text{out}}=319{,}42\\ \mathrm{K}.
  • U=250\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}: T_{w,\text{out}}\approx 322{,}14\\ \mathrm{K}, T_{a,\text{out}}\approx 321{,}58\\ \mathrm{K}.
  • U=300\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}: T_{w,\text{out}}\approx 316{,}44\\ \mathrm{K}, T_{a,\text{out}}\approx 323{,}16\\ \mathrm{K}.
  • U=350\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}: T_{w,\text{out}}\approx 312{,}25\\ \mathrm{K}, T_{a,\text{out}}\approx 324{,}33\\ \mathrm{K}.
  • U=400\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}: T_{w,\text{out}}\approx 308{,}83\\ \mathrm{K}, T_{a,\text{out}}\approx 325{,}28\\ \mathrm{K}.
Benefício resumido: aumentar U reduz a temperatura de saída da água (melhor resfriamento) e aumenta a temperatura de saída do ar, mas com retornos decrescentes — acima de certo U o ganho prático é pequeno e deve-se ponderar custo, queda de pressão e sujeira no trocador.

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