9-113 Um modelo de aerofólio com corda de 150 mm e envergadura de 750 mm é colocado em um túnel de vento com um escoamento de ar igual a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (o ar está a 20^{\circ} \mathrm{C} ). O modelo é montado sob uma haste suporte cilíndrica com 25 mm de diâmetro e 250 mm de altura. Instrumentos na base da haste indicam uma força vertical de 44,5 \mathrm{~N} e uma força horizontal de 6,7 \mathrm{~N}. Calcule os coeficientes de sustentação e de arrasto do aerofólio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Corda do aerofólio: 150\\ \mathrm{mm}.
  • Envergadura (span): 750\\ \mathrm{mm}.
  • Velocidade do túnel: V=30\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura do ar: 20^\circ\mathrm{C} (usar densidade do ar correspondente).
  • Haste suporte: diâmetro d=25\\ \mathrm{mm}, altura h=250\\ \mathrm{mm}.
  • Forças medidas na base da haste: força vertical L_{\text{med}}=44{,}5\\ \mathrm{N} e força horizontal D_{\text{med}}=6{,}7\\ \mathrm{N}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular os coeficientes de sustentação C_L e de arrasto C_D do aerofólio.
Observação importante (explicada passo a passo mais adiante): as forças medidas na base incluem a contribuição da haste suporte. A haste tem arrasto apreciável; portanto é necessário estimar e retirar o arrasto da haste do arrasto medido para obter o arrasto do aerofólio. Assumirá-se que a haste não gera sustentação apreciável (portanto sua contribuição vertical é desprezível).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática).
  • Pressão dinâmica (ou pressão de vento): a energia dinâmica por unidade de volume do escoamento é dada por
q=\tfrac{1}{2}\rho V^{2},
onde:
  • \rho é a densidade do ar (em \mathrm{kg/m^{3}});
  • V é a velocidade do escoamento (em \mathrm{m/s});
  • q tem unidades de \mathrm{Pa} (que é equivalente a \mathrm{N/m^{2}}).
  • Área de referência do aerofólio: para calcular coeficientes costuma-se usar a área planform (corda \times envergadura):
S = \text{corda} \times \text{envergadura}.
As unidades devem ser convertidas para metros antes de multiplicar.
  • Coeficientes aerodinâmicos:
    • Coeficiente de sustentação:
    C_{L}=\dfrac{L}{qS},onde L é a força de sustentação (em N).
    • Coeficiente de arrasto:
    C_{D}=\dfrac{D}{qS},onde D é a força de arrasto (em N).
Explicação intuitiva: qS tem dimensão de força, então C_L e C_D são números adimensionais que medem a força em unidades de qS. Eles permitem comparar diferentes testes independentemente do tamanho e velocidade.

Passo 3

Converter dimensões e calcular a área do aerofólio.
  • Converter corda e envergadura para metros:
    • \text{corda}=150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
    • \text{envergadura}=750\\ \mathrm{mm}=0{,}750\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a área planform:
S = 0{,}150 \times 0{,}750 = 0{,}1125\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Determinar a densidade do ar e a pressão dinâmica.
  • Densidade do ar a 20^\circ\mathrm{C}: usar o valor padrão razoável
\rho = 1{,}204\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(Este é um valor tabelado aproximado para ar seco a 20^\circ\mathrm{C} ao nível do mar.)
  • Calcular q:
V^{2}=30^{2}=900\quad\Rightarrow\quad q=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}204 \cdot 900 = 541{,}8\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Avaliar a contribuição da haste suporte ao arrasto medido e calcular a área projetada da haste.
  • A haste é um cilindro de diâmetro d=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m} e altura h=250\\ \mathrm{mm}=0{,}250\\ \mathrm{m}.
  • Área projetada (frontal) do cilindro que enfrenta o fluxo (área retangular aprox.):
A_{\text{cyl}} = d\cdot h = 0{,}025 \times 0{,}250 = 0{,}00625\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Para estimar o arrasto da haste precisamos de um coeficiente de arrasto do cilindro. Um cilindro circular em escoamento transversal tem tipicamente um coeficiente de arrasto médio aproximadamente
C_{D,\text{cyl}}\approx 1{,}2,
valor típico em muitos exercícios e tabelas para regime subcrítico. Aqui adotamos esse valor como estimativa razoável (justificativa: valor típico de literatura para cilindro circular transverse ao fluxo).

Passo 6

Calcular o arrasto da haste e subtrair do arrasto medido para obter o arrasto do aerofólio.
  • Arrasto da haste:
D_{\text{cyl}} = q \, C_{D,\text{cyl}} \, A_{\text{cyl}}.
Substituindo:
D_{\text{cyl}} = 541{,}8 \times 1{,}2 \times 0{,}00625 = 4{,}0635\\ \mathrm{N}.
  • Força horizontal medida na base é a soma do arrasto do aerofólio D mais o arrasto da haste D_{\text{cyl}}:
D_{\text{med}} = D + D_{\text{cyl}} \quad\Rightarrow\quad D = D_{\text{med}} - D_{\text{cyl}}.
Substituindo os valores:
D = 6{,}7 - 4{,}0635 = 2{,}6365\\ \mathrm{N}.
Observação: estamos assumindo que a haste não contribui com força vertical significativa, portanto L do aerofólio é igual à força vertical medida L_{\text{med}}=44{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular C_{L} do aerofólio.
  • Fórmula:
C_{L}=\dfrac{L}{qS}.
Substituindo L=44{,}5\\ \mathrm{N}, q=541{,}8\\ \mathrm{Pa} e S=0{,}1125\\ \mathrm{m^{2}}:
qS = 541{,}8 \times 0{,}1125 = 60{,}9525\\ \mathrm{N}.
C_{L}=\dfrac{44{,}5}{60{,}9525}=0{,}7305\ldots \approx 0{,}731.

Passo 8

Calcular C_{D} do aerofólio.
  • Fórmula:
C_{D}=\dfrac{D}{qS}.
Substituindo D=2{,}6365\\ \mathrm{N}:
C_{D}=\dfrac{2{,}6365}{60{,}9525}=0{,}04324\ldots \approx 0{,}0433.

Passo 9

Comentário final sobre suposições e sensibilidade.
  • Resultado obtido com a suposição de C_{D,\text{cyl}}=1{,}2 para a haste. Se não subtrairmos o arrasto da haste, o coeficiente de arrasto “bruto” calculado diretamente seria
C_{D,\text{bruto}}=\dfrac{6{,}7}{60{,}9525}\approx 0{,}1100,
ou seja, maior; portanto é importante fazer a correção quando se deseja o C_D exclusivamente do aerofólio.
  • A escolha de C_{D,\text{cyl}} influencia o valor final de C_D. O C_L praticamente não muda porque a haste gera pouca força vertical.

Resposta

C_{L}=0{,}731
C_{D}=0{,}0433

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