11.38 Para o sistema de potência abaixo, alimentado por 220 \mathrm{~V}_{\mathrm{RMS}}, determine:
a) Impedância equivalente e corrente fornecida pela fonte;

Passo 1

O que o enunciado dá (peguei estes dados da imagem enviada) e o que é pedido:
  • Fonte: 220\\ \mathrm{V}_{\text{RMS}} (ângulo de referência 0^\circ), frequência 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Três ramos em paralelo, com impedâncias:
    • Z_1 = 124\angle 0^\circ\\ \Omega (da imagem),
    • Z_2 = 20 - j25\\ \Omega (da imagem),
    • Z_3 = 90 + j80\\ \Omega (da imagem).
O enunciado pede:
  • a) a impedância equivalente vista pela fonte Z_{\text{eq}};
  • b) a corrente fornecida pela fonte I_s.

Passo 2

Ideia básica e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo, sem pular etapas).
  • Quando impedâncias estão em paralelo, somam-se as admitâncias:
    Y_{\text{eq}} = \sum_{k} Y_k = \sum_{k} \frac{1}{Z_k}.
    Depois Z_{\text{eq}} = \dfrac{1}{Y_{\text{eq}}}.
  • Para inverter uma impedância complexa Z=a+jb usamos a técnica de multiplicar pelo conjugado:
    \frac{1}{a+jb}=\frac{a-jb}{a^2+b^2}.
    Assim obtemos a admitância em forma retangular G+jB (onde G é a parte real da admitância e B a parte imaginária).
  • A corrente fornecida pela fonte como fasor é
    I_s = \frac{V_s}{Z_{\text{eq}}}.
    Alternativamente, como I_s = Y_{\text{eq}}\cdot V_s (multiplicação de fasores), que é frequentemente mais direta quando já temos Y_{\text{eq}}.

Passo 3

Calcular as admitâncias de cada ramo (vou mostrar contas detalhadas para poder fazer sem calculadora em papel).
  1. Para Z_1=124\angle 0^\circ\\ \Omega (que em forma retangular é 124+j0\\ \Omega):
Y_1=\frac{1}{124} \approx 0,0080645\\ \mathrm{S}.
(é puramente real porque Z_1 é real).
  1. Para Z_2=20-j25\\ \Omega: aplicar a fórmula do conjugado.
Y_2=\frac{1}{20-j25}=\frac{20+j25}{20^2+(-25)^2}=\frac{20+j25}{400+625}=\frac{20+j25}{1025}.
Agora dividir componentes:
Y_2=\frac{20}{1025}+j\frac{25}{1025}\approx 0,0195122 + j0,0243902\\ \mathrm{S}.
  1. Para Z_3=90+j80\\ \Omega:
Y_3=\frac{1}{90+j80}=\frac{90-j80}{90^2+80^2}=\frac{90-j80}{8100+6400}=\frac{90-j80}{14500}.
Dividindo:
Y_3=\frac{90}{14500}-j\frac{80}{14500}\approx 0,0062069 - j0,0055172\\ \mathrm{S}.

Passo 4

Somar as admitâncias para obter Y_{\text{eq}}.
Somando as partes reais:
G_{\text{eq}} = 0,0080645 + 0,0195122 + 0,0062069 \approx 0,0337836\\ \mathrm{S}.
Somando as partes imaginárias:
B_{\text{eq}} = 0 + 0,0243902 - 0,0055172 \approx 0,0188730\\ \mathrm{S}.
Logo
Y_{\text{eq}} \approx 0,0337836 + j0,0188730\\ \mathrm{S}.

Passo 5

Calcular a impedância equivalente Z_{\text{eq}} = 1/Y_{\text{eq}}. Usamos a fórmula de inversão de número complexo:
Z_{\text{eq}}=\frac{G_{\text{eq}}-jB_{\text{eq}}}{G_{\text{eq}}^2+B_{\text{eq}}^2}.
Calcular o denominador:
G_{\text{eq}}^2+B_{\text{eq}}^2 \approx (0,0337836)^2 + (0,0188730)^2 \approx 0,00114133 + 0,00035619 \approx 0,00149752.
Agora numerador:
G_{\text{eq}}-jB_{\text{eq}} \approx 0,0337836 - j0,0188730.
Dividindo cada componente:
\Re(Z_{\text{eq}})=\frac{0,0337836}{0,00149752}\approx 22,57\\ \Omega,
\Im(Z_{\text{eq}})=-\frac{0,0188730}{0,00149752}\approx -12,61\\ \Omega.
Portanto em forma retangular
Z_{\text{eq}}\approx 22,57 - j12,61\\ \Omega.
Podemos também dar em forma polar (magnitude e ângulo):
|Z_{\text{eq}}|=\sqrt{22,57^2+(-12,61)^2}\approx 25,86\\ \Omega,
\angle Z_{\text{eq}}=\arctan\!\left(\frac{-12,61}{22,57}\right)\approx -29,2^\circ.
Assim
Z_{\text{eq}}\approx 25,86\angle -29,2^\circ\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a corrente fornecida pela fonte I_s. Vou usar a forma I_s = Y_{\text{eq}}\cdot V_s (mais direta porque já temos Y_{\text{eq}}).
Tomando V_s=220\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}, multiplicação por escalar:
Parte real da corrente:
I_{s,\Re}=220\cdot 0,0337836 \approx 7,432\\ \mathrm{A}.
Parte imaginária da corrente:
I_{s,\Im}=220\cdot 0,0188730 \approx 4,152\\ \mathrm{A}.
Logo em forma retangular:
I_s \approx 7,432 + j4,152\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_s|=\sqrt{7,432^2+4,152^2}\approx 8,51\\ \mathrm{A},
\angle I_s=\arctan\!\left(\frac{4,152}{7,432}\right)\approx 29,2^\circ.
Em forma polar:
I_s \approx 8,51\angle 29,2^\circ\\ \mathrm{A}.
Observação física (rápida e motivadora): o ângulo positivo indica que a corrente está adiantada em relação à tensão (sistema ligeiramente capacitivo em conjunto), porque a parte imaginária total da admitância foi positiva.

Resposta

Z_{\text{eq}} \approx 22,57 - j12,61\\ \Omega \quad(\text{ou }25,86\angle -29,2^\circ\\ \Omega)
I_s \approx 7,432 + j4,152\\ \mathrm{A} \quad(\text{ou }8,51\angle 29,2^\circ\\ \mathrm{A})

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