11.1-\operatorname{Se} v(t)=1670 \cos (50 t) \vee e i(t)=-33 \operatorname{sen}\left(50 t-30^{\circ}\right) \mathrm{A}, calcule a potência instantânea e a potência média.
a) transforme os dois sinais em \cos () antes de proceder ao calculo de potência;

Passo 1

O enunciado fornece os sinais e pede duas coisas claras:
  • Sinais dados:
    • v(t)=1670\cos(50t)\\ \text{V}
    • i(t)=-33\operatorname{sen}\bigl(50t-30^\circ\bigr)\\ \text{A}
  • Pedidos:
    1. Transformar ambos os sinais para a forma com \cos(\cdot).
    2. Calcular a potência instantânea p(t).
    3. Calcular a potência média (valor médio de p(t) ao longo de um período).
Vou passo a passo transformar, explicar as identidades usadas e calcular tanto p(t) quanto sua média.

Passo 2

Transformar i(t) de seno para cosseno usando a identidade trigonométrica básica:
\operatorname{sen}(\theta)=\cos\bigl(90^\circ-\theta\bigr).
Aplicando em \operatorname{sen}\bigl(50t-30^\circ\bigr):
\operatorname{sen}\bigl(50t-30^\circ\bigr)=\cos\bigl(90^\circ-(50t-30^\circ)\bigr)=\cos\bigl(120^\circ-50t\bigr).
Como \cos é função par, \cos(120^\circ-50t)=\cos\bigl(-(50t-120^\circ)\bigr)=\cos(50t-120^\circ).
Então
i(t)=-33\cos\bigl(50t-120^\circ\bigr).
Multiplicar por -1 equivale a somar 180^\circ à fase:
-33\cos\bigl(50t-120^\circ\bigr)=33\cos\bigl(50t-120^\circ+180^\circ\bigr)=33\cos\bigl(50t+60^\circ\bigr).
Portanto, em forma \cos:
v(t)=1670\cos(50t+0^\circ), \qquad i(t)=33\cos(50t+60^\circ).

Passo 3

Definição e estratégia para potência instantânea:
  • A potência instantânea é o produto das ondas de tensão e corrente:
p(t)=v(t)\,i(t).
Substituindo as formas em \cos:
p(t)=1670\cos(50t)\cdot 33\cos(50t+60^\circ).
É útil usar a identidade produto-para-soma:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr].
Aplicando com A=50t e B=50t+60^\circ:
\cos(50t)\cos(50t+60^\circ)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(50t-(50t+60^\circ))+\cos(50t+(50t+60^\circ))\bigr].
Calcule as diferenças/somas nas fases:
50t-(50t+60^\circ)=-60^\circ,\qquad 50t+(50t+60^\circ)=100t+60^\circ.
Logo
\cos(50t)\cos(50t+60^\circ)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(-60^\circ)+\cos(100t+60^\circ)\bigr].
Como \cos(-60^\circ)=\cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2}, obtemos
\cos(50t)\cos(50t+60^\circ)=\tfrac{1}{2}\left[\tfrac{1}{2}+\cos(100t+60^\circ)\right] =\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}\cos(100t+60^\circ).
Multiplicando pelos fatores numéricos 1670 e 33:
  • Primeiro calcule o produto das amplitudes:
1670\cdot 33 = 1670\cdot(30+3)=1670\cdot30+1670\cdot3=50100+5010=55110.
Portanto
p(t)=55110\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}\cos(100t+60^\circ)\right).
Agora distribua:
p(t)=55110\cdot\tfrac{1}{4}+55110\cdot\tfrac{1}{2}\cos(100t+60^\circ).
Calcule os coeficientes numéricos:
55110\cdot\tfrac{1}{4}= \tfrac{55110}{4}=13777,5, \qquad 55110\cdot\tfrac{1}{2}=27555.
Assim a potência instantânea fica
p(t)=13777,5 + 27555\cos(100t+60^\circ)\\ \text{(W)}.
Explicação curta: a primeira parcela é um termo constante (componente de potência média) e a segunda é uma componente alternada com frequência dupla ( 100 rad/s) cuja média no tempo será zero.

Passo 4

Cálculo da potência média e verificação por método rms:
  • A média temporal de \cos(100t+60^\circ) sobre um período é zero. Portanto a potência média é simplesmente o termo constante:
P_{\text{média}}=13777,5\\ \text{W}.é
Verificação via valores eficazes ( \text{rms}) e fator de potência (checa conceptual):
  • Fórmula prática: P_{\text{média}}=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphié, onde \varphi é defasagem \varphi=\theta_v-\theta_i.
  • Aqui V_m=1670, I_m=33, então
V_{\text{rms}}=\tfrac{1670}{\sqrt{2}},\qquad I_{\text{rms}}=\tfrac{33}{\sqrt{2}}.
  • Fase da tensão \theta_v=0^\circ, fase da corrente \theta_i=60^\circ, então \varphi=0^\circ-60^\circ=-60^\circ e \cos\varphi=\cos(-60^\circ)=\tfrac{1}{2}.
  • Calcule:
P_{\text{média}}= \frac{1670}{\sqrt{2}}\cdot\frac{33}{\sqrt{2}}\cdot\tfrac{1}{2} =\frac{1670\cdot33}{2}\cdot\tfrac{1}{2} =\frac{55110}{4}=13777,5\\ \text{W},é
confirmação perfeita.

Resposta

p(t)=13777,5 + 27555\cos(100t+60^\circ)\\ \text{W}
P_{\text{média}}=13777,5\\ \text{W}é

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