11.45 A tensão em uma carga e a corrente através dela são dadas por
\begin{aligned} v(t) & =20+60 \cos 100 t \mathrm{~V} \\\ i(t) & =1-0,5 \operatorname{sen} 100 t \mathrm{~A} \end{aligned}
Determine:
(a) Os valores RMS de tensão e corrente.
(b) A potência média dissipada na carga.

Passo 1

O enunciado dá as formas temporais da tensão e da corrente na carga e pede duas coisas:
\begin{aligned} v(t)&=20+60\cos 100t\\ \mathrm{V},\\\ i(t)&=1-0,5\sin 100t\\ \mathrm{A}. \end{aligned}
As perguntas são:
(a) Determinar os valores RMS de tensão e corrente.
(b) Determinar a potência média dissipada na carga.

Passo 2

Definição e ideia útil para a prova. Para um sinal periódico x(t) de período T, o valor eficaz (RMS) é
x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x^{2}(t)\,dt}.
Explicação das variáveis: x(t) é o sinal (tensão ou corrente), T é o período, e a integral calcula a média do quadrado do sinal ao longo de um período. Para sinais que são soma de uma componente contínua (DC) X_{\mathrm{dc}} e uma componente AC com média zero x_{\mathrm{ac}}(t), a expressão se simplifica porque o termo cruzado tem média zero:
x_{\mathrm{rms}}^{2}=X_{\mathrm{dc}}^{2}+\overline{x_{\mathrm{ac}}^{2}(t)}.
No caso de uma senoide A\cos(\omega t+\varphi) ou A\sin(\omega t+\varphi), tem-se
\overline{[A\cos(\omega t+\varphi)]^{2}}=\overline{[A\sin(\omega t+\varphi)]^{2}}=\frac{A^{2}}{2},
porque a média de \cos^{2} ou \sin^{2} sobre um período é 1/2. Vou aplicar isso aos sinais do enunciado.

Passo 3

Cálculo do valor RMS da tensão v(t).
Escrevo v(t)=V_{\mathrm{dc}}+V_{\mathrm{ac}}(t) com V_{\mathrm{dc}}=20\\ \mathrm{V} e V_{\mathrm{ac}}(t)=60\cos 100t.
Usando a fórmula do passo anterior:
v_{\mathrm{rms}}^{2}=V_{\mathrm{dc}}^{2}+\overline{V_{\mathrm{ac}}^{2}(t)}.
Aqui \overline{V_{\mathrm{ac}}^{2}(t)}=\dfrac{60^{2}}{2} porque a amplitude da senoide é 60. Então
v_{\mathrm{rms}}^{2}=20^{2}+\frac{60^{2}}{2}=400+1800=2200.
Portanto
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{2200}=10\sqrt{22}\approx 46,904\\ \mathrm{V}.
Interpretação prática para a prova: você poderia também deduzir que o componente AC RMS é 60/\sqrt{2}=30\sqrt{2} e combinar com o DC por soma quadrática.

Passo 4

Cálculo do valor RMS da corrente i(t).
Escrevo i(t)=I_{\mathrm{dc}}+I_{\mathrm{ac}}(t) com I_{\mathrm{dc}}=1\\ \mathrm{A} e I_{\mathrm{ac}}(t)=-0,5\sin 100t. A amplitude da senoide é 0,5, logo
\overline{I_{\mathrm{ac}}^{2}(t)}=\frac{0,5^{2}}{2}=\frac{0,25}{2}=0,125.
Aplicando a mesma fórmula:
i_{\mathrm{rms}}^{2}=1^{2}+0,125=1,125.
Portanto
i_{\mathrm{rms}}=\sqrt{1,125}=\sqrt{\tfrac{9}{8}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\approx 1,06066\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Cálculo da potência média dissipada P.
Definição: a potência média é a média temporal do produto tensão vezes corrente:
P=\overline{v(t)\,i(t)}.
Expando v(t)i(t) usando v=V_{\mathrm{dc}}+V_{\mathrm{ac}} e i=I_{\mathrm{dc}}+I_{\mathrm{ac}}:
v(t)i(t)=V_{\mathrm{dc}}I_{\mathrm{dc}}+V_{\mathrm{dc}}I_{\mathrm{ac}}(t)+I_{\mathrm{dc}}V_{\mathrm{ac}}(t)+V_{\mathrm{ac}}(t)I_{\mathrm{ac}}(t).
Ao tirar média temporal, os dois termos V_{\mathrm{dc}}I_{\mathrm{ac}} e I_{\mathrm{dc}}V_{\mathrm{ac}} desaparecem porque I_{\mathrm{ac}} e V_{\mathrm{ac}} têm média zero. Resta
P=V_{\mathrm{dc}}I_{\mathrm{dc}}+\overline{V_{\mathrm{ac}}(t)I_{\mathrm{ac}}(t)}.
Calculo agora \overline{V_{\mathrm{ac}}(t)I_{\mathrm{ac}}(t)}. Aqui
V_{\mathrm{ac}}(t)I_{\mathrm{ac}}(t)=60\cos(100t)\times(-0,5\sin(100t))=-30\cos(100t)\sin(100t).
Usando a identidade \cos x\sin x=\tfrac{1}{2}\sin(2x):
V_{\mathrm{ac}}(t)I_{\mathrm{ac}}(t)=-15\sin(200t).
A média de \sin(200t) sobre um período é zero, logo \overline{V_{\mathrm{ac}}I_{\mathrm{ac}}}=0. Portanto
P=V_{\mathrm{dc}}I_{\mathrm{dc}}=20\times 1=20\\ \mathrm{W}.

Resposta

v_{\mathrm{rms}}=10\sqrt{22}\\ \mathrm{V}\approx 46,904\\ \mathrm{V}
i_{\mathrm{rms}}=\sqrt{1,125}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\\ \mathrm{A}\approx 1,06066\\ \mathrm{A}
P_{\text{média}}=20\\ \mathrm{W}é

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