11.8 A 500 K temos os seguintes dados:
Substância \Delta H_{\text {soo }}^{\circ} /(\mathrm{kJ} / \mathrm{mol}) S_{\text {soo }}^{\circ} /(\mathrm{J} / \mathrm{K} \mathrm{mol})
\mathrm{HI}(\mathrm{g}) 32,41 221,63
\mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}) 5,88 145,64
\mathrm{I}_{2}(\mathrm{~g}) 69,75 279,94
Um mol de \mathrm{H}_{2} e um mol de \mathrm{I}_{2} são colocados em um recipiente a 500 K . A essa temperatura, apenas os gases estão presentes e o equilíbrio
\mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{I}_{2}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons 2 \mathrm{HI}(\mathrm{~g})
é estabelecido. Calcule K_{p}, a 500 K , e a fração molar de HI presente a 500 K e 1 atm . Qual deverá ser a fração molar do HI a 500 K e 10 atm ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (todos os valores a 500\\ \text{K}; peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Para \mathrm{HI(g)}: \Delta H^\circ = 32{,}41\\ \mathrm{kJ/mol} e S^\circ = 221{,}63\\ \mathrm{J/(K\,mol)}.
  • Para \mathrm{H_2(g)}: \Delta H^\circ = 5{,}88\\ \mathrm{kJ/mol} e S^\circ = 145{,}64\\ \mathrm{J/(K\,mol)}.
  • Para \mathrm{I_2(g)}: \Delta H^\circ = 69{,}75\\ \mathrm{kJ/mol} e S^\circ = 279{,}94\\ \mathrm{J/(K\,mol)}.
O enunciado coloca inicialmente 1 mol de \mathrm{H_2} e 1 mol de \mathrm{I_2} em um recipiente a 500\\ \text{K}. A reação de equilíbrio é:
\mathrm{H_2(g)}+\mathrm{I_2(g)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{HI(g)}.
Perguntas:
  1. Calcular K_p a 500\\ \text{K}.
  2. Calcular a fração molar (ou seja, a fração molar) de \mathrm{HI} presente a 500\\ \text{K} e 1\\ \text{atm}.
  3. Calcular a fração molar de \mathrm{HI} a 500\\ \text{K} e 10\\ \text{atm}.

Passo 2

Entender a relação entre as grandezas termodinâmicas que vou usar (aulas rápidas).
  • A entalpia padrão de reação \Delta H^\circ_{\text{rxn}} é:
\Delta H^\circ_{\text{rxn}}=\sum \nu_i \,\Delta H^\circ_i(\text{produtos})-\sum \nu_j \,\Delta H^\circ_j(\text{reagentes}),
onde \nu são os coeficientes estequiométricos.
  • A entropia padrão de reação \Delta S^\circ_{\text{rxn}} é análoga:
\Delta S^\circ_{\text{rxn}}=\sum \nu_i \,S^\circ_i(\text{produtos})-\sum \nu_j \,S^\circ_j(\text{reagentes}).
  • A energia livre de Gibbs padrão de reação é:
\Delta G^\circ_{\text{rxn}}=\Delta H^\circ_{\text{rxn}}-T\,\Delta S^\circ_{\text{rxn}}.
Aqui é importante usar unidades consistentes: \Delta H^\circ em joules por mol (J/mol) se \Delta S^\circ está em J/(K mol) e T em K.
  • Relação entre \Delta G^\circ e a constante de equilíbrio em pressão K_p:
\Delta G^\circ_{\text{rxn}}=-R\,T\ln K_p,
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}. Assim
K_p=\exp\!\left(-\dfrac{\Delta G^\circ_{\text{rxn}}}{R\,T}\right).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números dados.

Passo 3

Calcular \Delta H^\circ_{\text{rxn}} e \Delta S^\circ_{\text{rxn}} usando os dados da tabela.
Reação: \mathrm{H_2}+\mathrm{I_2}\rightleftharpoons 2\mathrm{HI}. Então
\Delta H^\circ_{\text{rxn}}=2\Delta H^\circ(\mathrm{HI})-\Delta H^\circ(\mathrm{H_2})-\Delta H^\circ(\mathrm{I_2}).
Substituindo (atenção às unidades: dados de \Delta H^\circ estão em kJ/mol):
\Delta H^\circ_{\text{rxn}}=2(32{,}41)-5{,}88-69{,}75\\ \mathrm{kJ/mol}.
Agora calcule:
2(32{,}41)=64{,}82,
64{,}82-5{,}88-69{,}75=64{,}82-75{,}63=-10{,}81\\ \mathrm{kJ/mol}.
Portanto
\Delta H^\circ_{\text{rxn}}=-10{,}81\\ \mathrm{kJ/mol}.
Agora \Delta S^\circ_{\text{rxn}}:
\Delta S^\circ_{\text{rxn}}=2S^\circ(\mathrm{HI})-S^\circ(\mathrm{H_2})-S^\circ(\mathrm{I_2}).
Substituindo (estes S^\circ estão em \mathrm{J/(K\,mol)}):
\Delta S^\circ_{\text{rxn}}=2(221{,}63)-145{,}64-279{,}94\\ \mathrm{J/(K\,mol)}.
Cálculo:
2(221{,}63)=443{,}26,
443{,}26-145{,}64-279{,}94=443{,}26-425{,}58=17{,}68\\ \mathrm{J/(K\,mol)}.
Portanto
\Delta S^\circ_{\text{rxn}}=17{,}68\\ \mathrm{J/(K\,mol)}.

Passo 4

Calcular \Delta G^\circ_{\text{rxn}} a T=500\\ \text{K}.
Primeiro converto \Delta H^\circ_{\text{rxn}} para J/mol:
\Delta H^\circ_{\text{rxn}}=-10{,}81\\ \mathrm{kJ/mol}=-10{,}810\\ \mathrm{J/mol}.
Agora uso
\Delta G^\circ_{\text{rxn}}=\Delta H^\circ_{\text{rxn}}-T\,\Delta S^\circ_{\text{rxn}}.
Substituindo:
\Delta G^\circ_{\text{rxn}}=-10{,}810\\ \mathrm{J/mol}-500\\ \mathrm{K}\times 17{,}68\\ \mathrm{J/(K\,mol)}.
Calcule T\Delta S^\circ:
500\times 17{,}68=8{,}840\\ \mathrm{J/mol}.
Então
\Delta G^\circ_{\text{rxn}}=-10{,}810-8{,}840=-19{,}650\\ \mathrm{J/mol}.
Ou seja \Delta G^\circ_{\text{rxn}}=-19{,}650\\ \mathrm{J/mol} (aprox. -19{,}65\\ \mathrm{kJ/mol}).
Comentário rápido: \Delta G^\circ negativo indica que, sob condições padrão, a formação de HI é espontânea — teremos um equilíbrio deslocado para produtos.

Passo 5

Calcular K_p a 500\\ \text{K} usando \Delta G^\circ=-R T \ln K_p.
Isolando K_p:
K_p=\exp\!\left(-\dfrac{\Delta G^\circ_{\text{rxn}}}{R\,T}\right).
Substituo \Delta G^\circ=-19{,}650\\ \mathrm{J/mol}, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}, T=500\\ \mathrm{K}:
-\dfrac{\Delta G^\circ}{R\,T}=-\dfrac{-19{,}650}{8{,}314\times 500}=\dfrac{19{,}650}{4{,}157}=4{,}726\\ \text{(aprox.)}.
Logo
K_p=\exp(4{,}726)\approx 112{,}9\approx 1,13\times 10^{2}.
Portanto K_p a 500\\ \text{K} é aproximadamente 1,13\times10^{2} (ou cerca de 113).

Passo 6

Montar a expressão de equilíbrio e relacionar com frações molares (resolver a composição de equilíbrio).
Definimos a extensão de reação \xi tal que, partindo de 1 mol de \mathrm{H_2} e 1 mol de \mathrm{I_2} e 0 mol de \mathrm{HI}:
  • n(\mathrm{H_2})=1-\xi,
  • n(\mathrm{I_2})=1-\xi,
  • n(\mathrm{HI})=2\xi.
O número total de mols no equilíbrio é
n_{\text{tot}}=(1-\xi)+(1-\xi)+2\xi=2.
Observação importante: o total de mols é constante igual a 2 (isso ocorre porque \Delta n_{\text{gases}}=2-2=0).
As frações molares são:
y_{\mathrm{HI}}=\dfrac{2\xi}{2}=\xi,\qquad y_{\mathrm{H_2}}=\dfrac{1-\xi}{2}\times 2? \text{ (cuidado)}.
Vou escrever claramente: como n_{\text{tot}}=2,
y_{\mathrm{HI}}=\dfrac{2\xi}{2}=\xi,\qquad y_{\mathrm{H_2}}=\dfrac{1-\xi}{2}=\frac{1-\xi}{2},\qquad y_{\mathrm{I_2}}=\frac{1-\xi}{2}.
Mas perceba que \dfrac{1-\xi}{2} é a fração molar de \mathrm{H_2} e \mathrm{I_2}. Como y_{\mathrm{HI}}+\!y_{\mathrm{H_2}}+\!y_{\mathrm{I_2}}=\xi+(1-\xi)=1, tudo bate.
Agora a expressão de K_p em termos de pressões parciais é
K_p=\dfrac{(p_{\mathrm{HI}})^2}{p_{\mathrm{H_2}}\,p_{\mathrm{I_2}}}.
Com p_i=y_i\,P_{\text{total}} e como \Delta n=0, os fatores P_{\text{total}} se cancelam:
K_p=\dfrac{(y_{\mathrm{HI}})^2}{y_{\mathrm{H_2}}\,y_{\mathrm{I_2}}}.
Substituindo as frações molares em função de \xi:
K_p=\dfrac{\xi^2}{\left(\dfrac{1-\xi}{2}\right)\left(\dfrac{1-\xi}{2}\right)}=\dfrac{\xi^2}{\dfrac{(1-\xi)^2}{4}}=4\left(\dfrac{\xi}{1-\xi}\right)^2.
Observação útil: como os termos \dfrac{1-\xi}{2} aparecem duas vezes, o fator 4 surge. Outra forma (mais direta) é notar que, como y_{\mathrm{H_2}}=y_{\mathrm{I_2}}=(1-\xi)/2, então
K_p=\dfrac{\xi^2}{\big(\tfrac{1-\xi}{2}\big)^2}=4\left(\dfrac{\xi}{1-\xi}\right)^2.

Passo 7

Resolver para \xi a partir do valor de K_p.
Da relação anterior:
\sqrt{K_p}=2\,\dfrac{\xi}{1-\xi}.
Isolando \xi:
\dfrac{\xi}{1-\xi}=\dfrac{\sqrt{K_p}}{2}\quad\Rightarrow\quad \xi=\dfrac{\sqrt{K_p}}{2}\,(1-\xi).
\xi\left(1+\dfrac{\sqrt{K_p}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{K_p}}{2}\quad\Rightarrow\quad \xi=\dfrac{\dfrac{\sqrt{K_p}}{2}}{1+\dfrac{\sqrt{K_p}}{2}}=\dfrac{\sqrt{K_p}}{2+\sqrt{K_p}}.
Agora substituo K_p\approx 112{,}9. Calculo \sqrt{K_p}:
\sqrt{112{,}9}\approx 10{,}63.
Então
\xi=\dfrac{10{,}63}{2+10{,}63}=\dfrac{10{,}63}{12{,}63}\approx 0{,}842.
Mas atenção: acima eu usei frações molares escritas com fator 1/2; é útil conferir consistência com a forma mais simples obtida antes. Uma forma alternativa (e mais direta) é escrever p_i=y_i P e notar que, como n_{\text{tot}}=2, y_{\mathrm{H_2}}=y_{\mathrm{I_2}}=1-\xi se eu definisse y_{\mathrm{HI}}=\dfrac{2\xi}{2}=\xi e y_{\mathrm{H_2}}=\dfrac{1-\xi}{2}. Para evitar qualquer confusão com fatores, vamos reescrever de forma direta a partir de pressões parciais:
Método direto (mais simples e à prova de erro):
  • p_{\mathrm{HI}}=y_{\mathrm{HI}}P=\xi P.
  • p_{\mathrm{H_2}}=y_{\mathrm{H_2}}P=\dfrac{1-\xi}{2}P.
  • p_{\mathrm{I_2}}=y_{\mathrm{I_2}}P=\dfrac{1-\xi}{2}P.
Então
K_p=\dfrac{(\xi P)^2}{\left(\dfrac{1-\xi}{2}P\right)\left(\dfrac{1-\xi}{2}P\right)}=4\left(\dfrac{\xi}{1-\xi}\right)^2,
o que já tínhamos. Portanto o passo algébrico anterior estava correto e deu a fórmula
\xi=\dfrac{\sqrt{K_p}}{2+\sqrt{K_p}}.
Substituindo \sqrt{K_p}\approx 10{,}63:
\xi=\dfrac{10{,}63}{12{,}63}\approx 0{,}842.
Isso significa que a fração molar de \mathrm{HI} (que é y_{\mathrm{HI}}=\xi) vale aproximadamente 0{,}842 (ou 84{,}2\%) segundo esse cálculo.

Passo 8

Reconciliação com a forma alternativa (verificação): outra abordagem é simplificar a expressão de K_p sabendo que os números de mols finais somam 2 e escrevendo y_{\mathrm{H_2}}=y_{\mathrm{I_2}}=(1-\xi)/2. Se em vez de isolar por esse caminho tivéssemos montado a expressão
K_p=\dfrac{(y_{\mathrm{HI}})^2}{y_{\mathrm{H_2}}y_{\mathrm{I_2}}}=\dfrac{\xi^2}{\left(\dfrac{1-\xi}{2}\right)^2},
isso leva ao mesmo resultado \xi=\dfrac{\sqrt{K_p}}{2+\sqrt{K_p}}. Então o valor numérico \xi\approx 0{,}842 está confirmado.
Comentário sobre pressão total: como \Delta n=0 (número de mols gasosos nos produtos menos reagentes é zero), as pressões totais P_{\text{total}} se cancelam na expressão de K_p. Assim a composição em termos de frações molares é independente da pressão total. Portanto a fração molar de \mathrm{HI} será a mesma a 1\\ \text{atm} e a 10\\ \text{atm}.

Resposta

K_p(500\\ \text{K})\approx 1,13\times 10^{2}.
Fração molar de \mathrm{HI} a 500\\ \text{K} e 1\\ \text{atm}: y_{\mathrm{HI}}\approx 0{,}842 (84,2%).
Fração molar de \mathrm{HI} a 500\\ \text{K} e 10\\ \text{atm}: y_{\mathrm{HI}}\approx 0{,}842 (84,2%).

Exercícios relacionados