11.1 Se v(t)=1.670 \cos 50 t \mathrm{~V} \mathrm{e} i(t)=-33 \operatorname{sen}\left(50 t-30^{\circ}\right) \mathrm{A}, calcule a potência instantânea e a potência média.

Passo 1

O enunciado dá as tensões e correntes em regime senoidal como
v(t)=1{,}670\cos(50\,t)\\ \mathrm{V},
i(t)=-33\operatorname{sen}\bigl(50\,t-30^\circ\bigr)\\ \mathrm{A},
e pede a potência instantânea p(t)=v(t)\,i(t) e a potência média P. Vamos usar a identidade de produto de cossenos para obter p(t) e, em seguida, calcular a média.

Passo 2

Primeiro, convém escrever i(t) também em forma de cosseno. Usamos
\operatorname{sen}\theta = \cos\bigl(\theta-90^\circ\bigr),
de modo que
i(t)=-33\operatorname{sen}\bigl(50\,t-30^\circ\bigr) =-33\cos\bigl(50\,t-30^\circ-90^\circ\bigr) =-33\cos\bigl(50\,t-120^\circ\bigr).
Como -\cos(\alpha)=\cos(\alpha+180^\circ), temos
i(t)=33\cos\bigl(50\,t+60^\circ\bigr).

Passo 3

Agora identificamos as amplitudes e fases em forma padrão
v(t)=V_m\cos\bigl(\omega t+\phi_v\bigr), \quad V_m=1{,}670,\\ \phi_v=0^\circ,
i(t)=I_m\cos\bigl(\omega t+\phi_i\bigr), \quad I_m=33,\\ \phi_i=60^\circ,
com \omega=50\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Usamos a identidade
\cos A\cos B = \tfrac12\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr],
para o produto p(t)=v(t)\,i(t). Assim
p(t) =V_mI_m\cos(\omega t+\phi_v)\cos(\omega t+\phi_i) =\frac{V_mI_m}{2}\Bigl[\cos(\phi_v-\phi_i)+\cos\bigl(2\omega t+\phi_v+\phi_i\bigr)\Bigr].
Substituindo V_m=1{,}670, I_m=33, \phi_v=0^\circ, \phi_i=60^\circ e 2\omega=100, obtém-se
p(t) =27{,}555\Bigl[\cos(-60^\circ)+\cos(100\,t+60^\circ)\Bigr] =27{,}555\Bigl[\tfrac12+\cos(100\,t+60^\circ)\Bigr] =13{,}7775+27{,}555\cos(100\,t+60^\circ)\\ \mathrm{W}.

Passo 5

A potência média P é o termo constante de p(t), ou seja
P=\frac{V_mI_m}{2}\cos(\phi_v-\phi_i) =27{,}555\cos(-60^\circ) =27{,}555\times\tfrac12 =13{,}7775\\ \mathrm{W}.

Resposta

p(t)=13{,}7775+27{,}555\cos\bigl(100\,t+60^\circ\bigr)\\ \mathrm{W},
P=13{,}7775\\ \mathrm{W}.

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